משיק לפונקציה תרגילים

המשיק והנקודה:

1. עוברים בנקודת ההשקה.
2. יש להם שיפוע שווה בנקודת ההשקה.

לכן:

מציאת נקודת ההשקה

נציב x = 2 בפונקציה.

f(x) = x² + 3x – 4

f(2) = 2² + 3* 2 – 4 = 6

נקודת ההשקה (2,6).

מציאת השיפוע בנקודת ההשקה

f(x) = x² + 3x – 4

f ‘ (x) = 2x + 3

בנקודת ההשקה:

f ‘ (2) = 2 * 2 + 3 = 7

תשובה: התנאים שהמשיק צריך לקיים:

שיפוע 7.

לעבור בנקודה (2,6).

נמצא את נקודת ההשקה

f(x) = x²  – 7

x²  – 7 = 2

x² = 9

x = 3  או  x = -3

x = -3 נמצאת ברביע השני והיא הנקודה האפשרית היחידה.

לכן נקודת ההשקה היא (2, 3-).

נמצא את השיפוע בנקודה ההשקה

f(x) = x²  – 7

f ‘ (x) = 2x

f ‘ (-3) = 2* -3 = -6

תשובה:

המשיק צריך לעבור בנקודה (2, 3-).

שיפוע המשיק הוא 6-.

על מנת למצוא את משוואת המשיק עלינו למצוא שיפוע ונקודה דרכם עובר המשיק.

מציאת נקודה

ערך ה x בנקודה הוא 3, נציב במשוואת הפונקציה ונמצא את את ערך ה y.

f (x) = x² + 1

f (3) = 3² + 1 = 10

3,10 היא נקודת ההשקה.

מציאת השיפוע

נציב x = 3 בנגזרת ונמצא את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה שהוא גם שיפוע המשיק.

f ‘ (x) = 2x

f ‘ (3) = 2 * 3 = 6

מציאת משוואת המשיק

נמצא משוואת ישר ששיפועו 6 ועובר בנקודה (3,10).

y = 6x – 8

על מנת למצוא את משוואת המשיק עלינו למצוא שיפוע ונקודה דרכם עובר המשיק.

שלב א: נגזור את הפונקציה

f ‘ (x) = 2x

שלב ב: נמצא את ערך הנגזרת בנקודת ההשקה (שהוא שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה)

ערך הנגזרת בנקודת ההשקה שווה לשיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה וגם לשיפוע המשיק.

נקודה ההשקה היא x = 3, נציב זאת בנגזרת:

f ‘ (x) = 2x

f ‘ (3) = 2*3 = 6

6 הוא שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה ושיפוע המשיק.

שלב ג: מציאת נקודת ההשקה

נציב x = 3 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודת ההשקה.

f (x) = x² + 1

f (3) = 3² + 1 = 10

נקודת ההשקה היא (3,10).

שלב ד: מציאת משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה

שיפוע המשיק 6.

נקודת ההשקה היא (3,10).

נמצא משוואת משיק על פי שיפוע ונקודה.
(y – y₁=m (x – x₁

(y – 10 = 6 (x – 3

y – 10= 6x – 18

y = 6x – 8