מעגל קנוני

לדף זה שני חלקים.
בחלק הראשון נענה על 4 שאלות:

1. מה הוא מעגל קנוני?
2. מה היא משוואת מעגל קנוני?
3. כיצד מוצאים משוואת מעגל קנוני על פי נקודה שעל המעגל?
4. כיצד מוצאים נקודת חיתוך של מעגל קנוני עם הצירים?

בחלק השני נפתור תרגילים המתאימים לארבעת השאלות הללו.

שאלות ותשובות על מעגל קנוני

1.מה הוא מעגל קנוני?
מעגל קנוני הוא מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

2.מה היא משוואת המעגל הקנוני?
משוואת המעגל הקנוני היא
x² + y² = R²
כאשר R הוא רדיוס המעגל.

איך מגיעים למשוואה זו?
משוואת מעגל כלשהו היא:
x – a)² + (y – b)² = R²)
כאשר a,b היא נקודת מרכז המעגל.
כאשר נציב
a = 0,  b = 0
נקבל את משוואת המעגל הקנוני.
x – 0)² + (y – 0)² = R²)
x² + y² = R²

דוגמה

נתון מעגל קנוני שרדיוסו 5. מצא נקודה על המעגל שערך ה-x שלה הוא 3.

פתרון:

בגלל שערך ה-x של הנקודה נתון, אנחנו צריכים למצוא רק את ערך ה-y. כדי למצוא אותו נשתמש במשוואת המעגל הקנוני.

x² + y² = R²

3² + y² = 5²

9 + y² = 25

y² = 25 – 9 = 16

y = -4 או y = 4

לכן, שתי הנקודות הן:

.(3,-4) , (3,4)

3.כיצד מוצאים משוואה של מעגל קנוני על פי נקודה שעל המעגל?
דוגמה
ידוע שהנקודה 3,4 נמצאת על מעגל קנוני.
מה היא משוואת המעגל הקנוני?

פתרון
נשים לב שהדבר היחידי שאנו צריכים למצוא על מנת שתהיה לנו משוואת מעגל קנוני הוא R.

דרך ראשונה לפתרון
המרחק בין הנקודה שעל המעגל לבין מרכז המעגל בנקודה (0,0) הוא הרדיוס.
נחשב את המרחק בין הנקודות (0,0) ו (3,4) על פי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.

d²=(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²
d² = (3 – 0)² + (4 – 0)²
d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
d = √25 = 5

מצאנו כי המרחק בין הנקודות הוא 5.
מרחק זה הוא רדיוס המעגל.
לכן משוואת המעגל הקנוני היא:
x² + y² = 25

דרך שנייה לפתרון
אנו יודעים שהנקודה (3,4) נמצאת על המעגל ולכן הנקודה מקיימת את משוואת המעגל.
נציב
x = 3,  y = 4
במשוואות המעגל:
R² = x² + y²
R² = 3² + 4² = 9 + 16
R² = 25
R = √25

R = 5 או  R = -5
רדיוס הוא דבר שמבטא מרחק, לכן הוא חייב להיות חיובי.
R = -5 נפסל.
R = 5 זה הרדיוס.

לכן משוואת המעגל הקנוני היא:
x² + y² = 5²
x² + y² = 25

4.כיצד מוצאים את נקודות החיתוך של מעגל קנוני עם הצירים?
כמו שלמדנו בפרבולה:
מציבים x = 0 במשוואה ומוצאים נקודת חיתוך עם ציר ה y.
מציבים y = 0 ומוצאים נקודת חיתוך עם ציר ה x.

דוגמה
מצאו את נקודות החיתוך של המעגל
x² + y² = 9
עם הצירים.

פתרון
עבור נקודות חיתוך עם ציר ה x נציב y = 0
x² + 0² = 9
x²  = 9
x = 3  או  x = -3
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
(3,0)   (0, 3-)

למציאת נקודות החיתוך עם ציר ה y נציב x = 0.
y² + 0² = 9
y²  = 9
y = 3  או  y = -3
נקודות החיתוך עם ציר ה y הן:
(0,3)   (3-, 0)

נשים לב ש 4 נקודות החיתוך שקיבלנו עם הצירים הן:
(3,0)   (0, 3-)
(0,3)   (3-, 0)
וגם רדיוס המעגל שלנו הוא R = 3.

זה לא מקרי!
במעגל קנוני אחד הערכים של נקודות החיתוך שווה לרדיוס או למינוס רדיוס המעגל ואילו הערך השני שווה ל 0.

כך נראה השרטוט של המעגל הקנוני
x² + y² = 9
ונקודות החיתוך שלו עם הצירים.

תרגילים

בחלק זה 5 תרגילים.
על פי סוגי השאלות שלמדנו קודם לכן.

תרגיל 1 (מציאת משוואת המעגל על פי הרדיוס)
כתבו את משוואת המעגל הקנוני שרדיוסו.
R = 2,   R = 4    R = √7