בדף זה נלמד על מציאת מספר הפתרונות של משוואה ריבועית עם פרמטר.
הקדמה
נסביר מושגים שיכול להיות שתיתקלו בהם:
דיסקרימיננטה / דלתא
בהקשר של משוואה ריבועית הכוונה היא לערך של
b² – 4ac
שורשים
שורש הוא הפעולה הזו √
אבל שורש בהקשר של משוואה ריבועית יכול לשמש במקום המילה “פתרון”.
כאשר אומרים “מספר השורשים של משוואה ריבועית” – הכוונה היא למספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
פרמטר
פרמטר הוא מספר אשר ערכו לא ידוע.
כאשר אנו פוגשים את הפרמטר בתוך משוואה אנו נתייחס אליו כמספר.
“להתייחסות כמספר” יש משמעויות במשוואה ריבועית
למשל אם m הוא פרמטר במשוואה:
mx² + 2x – 10 = 0
אז הפתרון של המשוואה יהיה:
x =
ויש לזה משמעויות אחרות בתחומים אחרים של המתמטיקה.
לסיכום
פרמטר מייצג מספר וככל שתכירו יותר שאלות איתו תבינו כיצד מתייחסים אליו אחרת ממשתנה.
חזרה על מספר פתרונות ללא פרמטר
כאשר למדנו על מספר הפתרונות של משוואה ריבועית אמרנו שמספר הפתרונות נקבע על ידי הביטוי:
b² – 4ac
ומספר הפתרונות הוא בהתאם לכללים הבאים:
b² – 4ac > 0 יש שני פתרונות.
b²- 4ac = 0 יש פתרון אחד.
b²- 4ac < 0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.
למשל למשוואה:
x² +3x + 10 = 0
נחשב:
3² – 4*10 = -31 < 0
ולכן אנו יכולים לדעת כי למשוואה הריבועית הזו אין פתרונות מבלי שפתרנו את המשוואה.
מספר הפתרונות של משוואה ריבועית עם פרמטר
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
כאשר משוואה ריבועית כוללת פרמטר מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית תלוי בערכו של הפרמטר.
דוגמה 1
קבעו עבור אלו ערכי m למשוואה הריבועית הבאה אין פתרונות.
x² + 10x + m = 0
פתרון
הדלתא היא:
10² – 4m < 0
100 – 4m < 0
100 < 4m
25 < m
תשובה: כאשר m > 25 למשוואה אין פתרונות.
ואני רוצה לחזור על ההיגיון של הפתרון
כאשר m > 25. הדלתא
10² – 4m
שלילית
ולכן למשוואה הריבועית אין פתרון.
דוגמה 2
קבעו עבור אלו ערכי m למשוואה הריבועית הבאה יש שני פתרונות או פתרון יחיד.
x² + mx + 16 = 0
פתרון
אנו צריכים שהדלתא תהיה גדולה או שווה ל 0.
m² – 64 ≥ 0
(m – 8) (m + 8) ≥ 0
כדי להבין את תחומי החיוביות נשרטט את הפרבולה המתאימה לאי שוויון.
זאת פרבולת מינימום עם חיתוך ב:
x = -8, x = 8
הפתרון הוא:
m ≥ 8 או m ≤ -8
אלו הערכים שעבורם למשוואה הריבועית יש פתרון יחיד או שני פתרונות.
אחזור שוב על ההיגיון של הפתרון
m ≥ 8 או m ≤ -8
כאשר שני האי שוויונות הללו מתקיימים אז גם האי שוויון הזה מתקיים:
m² – 64 ≥ 0
וכאשר האי שוויון הזה מתקיים למשוואה הריבועית יש שני פתרונות או פתרון יחיד.
דוגמה 3
קבעו עבור אלו ערכי m למשוואה הריבועית הבאה יש שני פתרונות
x² + mx – 7 = 0
פתרון
נראה מתי הדלתא גדולה מ 0.
m² – 4 * (-7) > 0
m² + 28 > 0
m² > -28
m² חיובי תמיד ולכן גדול תמיד מ 28-.
ולכן עבור כל m למשוואה הריבועית יש שני פתרונות.
אחזור על ההיגיון של הפתרון
m² > -49 הוא אי שוויון המתקיים לכל m.
לכן האי שוויון הבא מתקיים לכל m.
m² – 4 * (-7) > 0
ולכן למשוואה הריבועית יש שני פתרונות לכל m.
*אם רוצים שפרבולה תהיה תמיד מעל או מתחת ישר
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.