מציאת ישר חיתוך של שני מישורים

בדף זה נלמד כיצד למצוא ישר חיתוך של שני מישורים.

על מנת למצוא את ישר החיתוך יש שיטה פופולרית של מציאת שתי נקודות על הישר ובעזרת שתי הנקודות למצוא את המשוואה הפרמטרית של הישר.
שיטה זו בהחלט טובה ומספיקה.

אבל בדף זה נלמד עוד שיטה.
בשיטה זו נגדיר בעזרת פרמטר את x,y,z.

ובנוסף נדבר על עוד תכונה של ישר החיתוך תכונה שיכול להיות לה שימוש.

דרך ראשונה: על ידי מציאת שתי נקודות על ישר החיתוך

אם נמצא שתי נקודות הנמצאות על שני המישורים ונמצאות גם על ישר החיתוך נוכל לבנות את משוואת הישר.
על מנת למצוא את שתי הנקודות:

1. נצמצם את 2 המשוואות עם 3 הנעלמים למשוואה אחת עם 2 נעלמים.
2. המשוואה האחת שקיבלנו היא “תבנית” הפתרון. מציבים מספר בתוך התבנית ומקבלים את הערך של המשתנה השני של המשוואה.
3. מציבים את שני הערכים שקיבלנו במשוואת אחת המישורים ומקבלים את ערך המשתנה השלישי. שלושת הערכים שקיבלנו זו הנקודה הראשונה.
4. חוזרים על התהליך משלב 2 ומוצאים נקודה שנייה הנמצאת על שני המישורים.
5. מוצאים משוואה פרמטרית של ישר על פי שתי נקודות.

תרגיל
מצאו את המצב ההדדי של המישורים:
2x + 3y +4z + 5 = 0
x +2y + 4z – 3 = 0

פתרון
שלב א: מציאת המצב ההדדי בין המישורים
וקטורי הנורמל של המישורים הם:
(u (2,3,4
(v (1,2,4
האם קיים t סקלר המקיים:
tu= v
(אם כן המישורים מוכלים או מקבילים).

עבור x צריך t = 0.5
עבור y צריך t = 0.66

לכן לא קיים סקלר t המקיים את המשוואה.
ושני המישורים הללו הם מישורים נחתכים.

שלב ב: מציאת הנקודה הראשונה המשותפת לשני המישורים
ישר החיתוך הוא הפתרון של שתי המשוואות הללו:
2x + 3y +4z + 5 = 0
x +2y + 4z – 3 = 0

נצמצם את מספר הנעלמים על ידי הכפלת המשוואה השנייה פי 2 וחיסור המשוואה הראשונה ממנה.
y +4z -11= 0
y = -4z + 11
נציב  z = 1 ונקבל y = 7

נציב את שני הערכים הללו במשוואת אחד המישורים ונמצא את ערך ה x בנקודה:
x +2y + 4z – 3 = 0
x + 14 + 4 – 3 = 0
x = 15
הנקודה הראשונה היא (1, 7, 15).

שלב ג: מציאת הנקודה השנייה
גם הנקודה השנייה מקיימת
y = -4z + 11
נציב z = 0
ונקבל y = 11.

נציב את שני הערכים הללו במשוואת אחד המישורים (לא משנה איזה מישור)
x +2y + 4z – 3 = 0
x + 22 + 0 – 3 = 0
x = -19

הנקודה השנייה היא (0, 11, 19-).

שלב ד: מציאת ישר החיתוך
נמצא את המשוואה הפרמטרית של הישר העובר בנקודות
(1, 7, 15)
(0, 11, 19-)

נחסר את הנקודות ונמצא את וקטור הכיוון
(1, 4-, 34)
נשתמש באחת הנקודות על מנת ליצור את המשוואה הפרמטרית של הישר ונקבל:
(L : (1, 7, 15) + t(34, -4, 1

דרך שנייה: על ידי הגדרת פרמטר

דרך שנייה היא להגדיר את אחד המשתנים x,y,z כפרמטר t. כאשר t נמצא על ישר החיתוך.

באמצעות t נגדיר את שני המשתנים האחרים וכך נמצא את הקשר בין שלושת המשתנים.

נתונים לנו שני מישורים
x + 4y + 2z +2 = 0
x + 2y + 6z = 0

מצאו את ישר החיתוך שלהם.

פתרון
שלב א: נגדיר משתנה כפרמטר
נגדיר x = t.
נקבל את שתי המשוואות
t + 4y + 2z +2 = 0
t + 2y + 6z = 0

שלב ב: נגדיר את שלושת המשתנים באמצעות t
עכשיו נגדיר את y,z באמצעות t.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונחסר ממנה את המשוואה הראשונה.
נקבל:
t + 10z – 2 = 0
z = – 0.1t + 0.2

נציב את ערך ה z שקיבלנו באחד מהמשוואות הראשוניות הכוללות את t.
למשל:

t + 2y + 6z = 0

ונקבל:

t + 2y – 0.6t + 1.2 = 0

y = -0.2t – 0.6

שלב ג: נבנה את הנקודה הכללית של ישר החיתוך ונעבור ממנה אל משוואת הישר

מצאנו כי ישר החיתוך מקיים:
x = t

y = -0.2t – 0.6

z = – 0.1t + 0.2

לכן הנקודה הכללית של ישר החיתוך היא:

t,  -0.2t – 0.6, – 0.1t + 0.2

נעבור מהנקודה הכללית למשוואת הישר ונקבל:

(L : (0, -0.6, 0.2) + t(1, -0.2, -0.1

זו משוואת ישר החיתוך.

רעיון שלישי: הנורמל של שני המישורים מאונך לישר החיתוך

x + 3y + 2z – 2 = 0
3x + y + z + 4 = 0

לכל אחד מהמישורים הללו יש נורמל.

הנורמל של כל אחד מהמישורים מאונך למישור כולו ולכן מאונך גם לישר החיתוך.

לכן המכפלה הסקלרית של וקטור הכיוון של ישר החיתוך בכול אחד מהנורמלים תהיה 0.

תכונה זו תתן לנו בקלות יחסית את וקטור הכיוון של ישר החיתוך אך לא תהיה לנו נקודה על הישר המאפשרת למצוא את המשוואה הפרמטרית של הישר.

לכן שיטה זו שימושית רק במקרים מסוימים וטוב להבין אותה “לכל מקרה שלא יהיה”.

פתרון
x + 3y + 2z – 2 = 0
3x + y + z + 4 = 0

וקטורי הנורמל של המישורים הם:
1,3,2
3,1,1

נניח כי וקטור הכיוון של של הישר הוא:

(v (e,f,g

המכפלה הסקלרית של v עם כל אחד מהוקטורים שווה ל 0.

לכן שתי המשוואות שלנו הם:
e + 3f + 2g = 0

3e + f + g = 0

נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ו נחסר ממנה את המשוואה הראשונה
5e – f = 0
5e = f
נציב f = 1
ונקבל e = 0.2.

נציב באחת משתי המשוואות של המכפלה הסקלרית ונמצא את g.

3e + f + g = 0

g + 0.6 + 1 = 0
g = -1.6

תשובה: וקטור הכיוון של ישר החיתוך הוא (1.6-, 1, 0.2).

עוד באתר:

• וקטורים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.