בדף זה נלמד כיצד פותרים משוואות בהן יש יותר נעלמים ממשוואות. למשל:
- שתי משוואות עם שלושה נעלמים
- או שלוש משוואות עם 4 נעלמים.
הדף זה נכתב כאן באתר בהקשר של לימוד וקטורים.
הכלל הבסיסי אומר:
שכל משתנה שנוסף למשוואה נותן לנו יותר “חופש” בפתרון המשוואה, יותר פתרונות היכולים להיות נכונים.
לעומת זאת
כל משוואה נוספת במערכת המשוואות היא “תנאי” שבו המשתנים צריכים לעמוד.
כאשר יש לנו יותר משתנים ממשוואות יש לנו יותר “חופש” מ”תנאים” ולכן בהרבה מהתרגילים מסוג זה שנפתור יהיו אינסוף פתרונות.
הפתרונות הללו יצטרכו להתאים לתבנית מסוימת.
למשל:
x = 2
זו משוואה עם פתרון יחיד.
כאשר נוסיף משתנה:
x + y = 2
נקבל משוואה עם אינסוף פתרונות.
המבנה של הפתרונות יהיה:
אם x = t
אז ערך ה y הוא:
y = 2-t.
פתרון של שתי משוואות עם שלושה נעלמים
נתונים שני וקטורים:
(u (2,1,6
(w (1,5,2
ואנו צריכים למצוא את הוקטור המאונך להם (v(A,B,C
שלב א: בניית משוואות
נסתמך על כך שהמכפלה הסקלרית בין שני וקטורים שווה ל 0 ונבנה את שתי המשוואות:
v*u = 2A + B + 6C = 0
v*w = A + 5B+ 2C = 0
שלב ב: מציאת התבנית של הפתרון
כמו בכול מערכת משוואות אנחנו צריכים לצמצם את מספר הנעלמים על מנת להגיע לפתרון.
נעשה זאת בשיטת השוואת המקדמים.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונחסר ממנה את המשוואה הראשונה.
נקבל:
8B – 2C = 0
C=4B
C = 4B זו התבנית של הפתרונות.
אנחנו יכולים לבחור את המספר ההתחלתי ממנו יגיע הפתרון.
נבחר:
B = 1
לכן:
C = 4.
שלב ג: מציאת המשתנה החסר
נציב B = 1, C = 4 במשוואה השנייה שבנינו ונמצאת את A.
v*w = A + 5B+ 2C = 0
A + 5 + 8 = 0
A = -13.
תשובה: הוקטור המאונך לשני הוקטורים הוא (v(-13,1,4.
*הערה: הוקטור המאונך יכול לכלול מספרים אחרים אבל היחס בין המרכיבים שלו (A,B,C) צריך להישמר.
פתרון 3 משוואות עם 4 נעלמים
שלבים לפתרון
- בניית המשוואות.
- הפיכת 3 משוואות עם 4 נעלמים ל 2 משוואות עם 3 נעלמים.
- הגעה למצב של משוואה עם נעלם אחד ושני משתנים.
- מצב זה נותן לנו את תבנית הפתרון.
- הצבה של מספר שאנו רוצים בתבנית ומציאה באמצעותו את המשתנים האחרים.
הדגש העיקרי בעיניי הוא שמ 3 משוואות עם 4 נעלמים אנו שואפים להגיע ל 2 משוואות עם 3 נעלמים.
כלומר אנו מצמצמים משתנה משני משוואות ולא ממשוואה אחת בלבד.
פתרון של 3 משוואות עם 4 נעלמים נבצע בדרך כלל כאשר נרצה למצוא משוואה אלגברית של מישור על פי 3 נקודות שעליו.
(P (1,4,1
(R(5,2,3
(S(4,1,0
שלב א: בניית המשוואות
נציב את שלושת הנקודות במשוואת המישור
Ax + By + Cz + D = 0
ונקבל:
A + 4B + C + D = 0
5A + 2B + 3C + D = 0
4A +B + D = 0
שלב ב: מציאת התבנית של הפתרון
כמו בכול מערכת משוואות עלינו לצמצם את מספר הנעלמים.
בשלב ראשון נשאף לקבל שתי משוואות שאינן כוללת את D.
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה.
4A – 2B +2C = 0
נחסר את המשוואה השלישית מהמשוואה השנייה.
A + B + 3C = 0
עכשיו נשתמש בשתי המשוואות על מנת לצמצם את מספר המשתנים.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונחבר את המשוואות.
6A + 8C = 0
A = – 1.33C
זו התבנית של הפתרון.
נציב C = 1 ונקבל:
A = -1.33
נציב את שני המספרים הללו במשוואה
A + B + 3C = 0
ונמצא את B.
B – 1.33 + 3 = 0
B = -1.66
בינתיים משוואת המישור היא:
1.33x – 1.66y + z + D = 0-
נציב את (P (1,4,1 במשוואת המישור על מנת למצוא את D.
D -1.33 – 6.66 + 1 = 0
D = 7
תשובה: משוואת המישור היא:
1.33x – 1.66y + z + 7 = 0-
עוד באתר: