בדף זה נלמד:
- שלושת המצבים ההדדיים בין מישורים בהצגה אלגברית וכיצד לזהות אותם.
- כיצד מוצאים ישר חיתוך בין שני מישורים נחתכים.
- תרגילים עבור שלושת סוגי המצבים.
3 סוגים של מצבים הדדיים בין מישורים
מישורים יכולים להיות:
- מוכלים.
- מקבילים.
- נחתכים.
למישורים מוכלים או מקבילים יש את אותו נורמל.
אם יש להם גם את אותו D אז מדובר מישור אחד הוא הכפלה של אחר.
למשל:
Ax +By + Cz+ D = 0
50Ax +50By + 50Cz+ 50D = 0
אם יש להם אותו נורמל ו- D שונה אז המישורים מקבילים.
למשל:
Ax +By + Cz+ D = 0
2Ax +2By +2Cz+ 3D = 0
מישורים נחתכים
בכול מקרה אחר.
בכול מקרה שהנורמל של מישור אחד הוא לא כפולה של הנורמל של המישור השני המישורים נחתכים.
בהרבה מקרים של מישורים נחתכים יבקשו מאיתנו את ישר החיתוך.
- מצב הדדי של מישורים בהצגה פרמטרית – שימושי פחות וארוך יותר. אבל אם אתם צריכים לדעת יש מידע בקישור.
כיצד מוצאים ישר חיתוך?
- על ידי פתרון 2 משוואות עם 3 נעלמים נמצא שתי נקודות על שני המישורים.
הפתרון נעשה על ידי צמצום שתי המשוואות למשוואה אחת עם שני נעלמים. - נבנה משתי הנקודות הללו משוואת ישר – שהוא ישר החיתוך.
תרגיל
מצאו את המצב ההדדי של המישורים:
2x + 3y +4z – 5 = 0
x +2y + 4z + 3 = 0
פתרון
שלב א: מציאת המצב ההדדי בין המישורים
וקטורי הנורמל של המישורים הם:
(u (2,3,4
(v (1,2,4
האם קיים t סקלר המקיים:
tu= v
(אם כן המישורים מוכלים או מקבילים).
עבור x צריך t = 0.5
עבור y צריך t = 0.66
לכן לא קיים סקלר t המקיים את המשוואה.
ושני המישורים הללו הם מישורים נחתכים.
שלב ב: מציאת הנקודה הראשונה המשותפת לשני המישורים:
ישר החיתוך הוא הפתרון של שתי המשוואות הללו:
2x + 3y +4z – 5 = 0
x +2y + 4z + 3 = 0
נצמצם את מספר הנעלמים על ידי חיסור המשוואות:
x + y – 8 = 0
y = 8 – x
נציב x = 1 ונקבל y = -7
נציב את שני הערכים הללו במשוואת אחד המישורים ונמצא את ערך ה x בנקודה:
x +2y + 4z + 3 = 0
1 – 14 + 4z + 3 = 0
z = 2.5
הנקודה הראשונה היא (2.5, 7-, 1).
שלב ג: מציאת הנקודה השנייה
גם הנקודה השנייה מקיימת
y = 8 – x
נציב x = 0
ונקבל y = 8.
נציב את שני הערכים הללו במשוואת אחד המישורים (לא משנה איזה מישור)
x +2y + 4z + 3 = 0
0 + 8 + 4z + 3 = 0
z = -2.75
הנקודה השנייה היא (2.75-, 8, 0).
שלב ד: מציאת ישר החיתוך
נמצא את המשוואה הפרמטרית של הישר העובר בנקודות
(2.5, 7-, 1).
(2.75-, 8, 0).
נחסר את הנקודות ונמצא את וקטור הכיוון
(5.25, 15-, 1)
נשתמש באחת הנקודות על מנת ליצור את המשוואה הפרמטרית של הישר ונקבל:
(L : (1, -7, 2.5) + t(1, -15, 5.25
- יש דרך נוספת למצוא ישר חיתוך. הסבר לדרך הזו בדף מציאת ישר חיתוך בין שני מישורים.
תרגילים
בתרגילים הבאים נתונים שני משוואות של מישורים.
זהו אם המישורים מקבילים, מוכלים או חותכים.
(אין צורך למצוא את ישר החיתוך).
תרגיל 1
2x – 3y + 4z – 2 = 0
10x -15y + 20z – 15 = 0
פתרון
וקטורי הנורמל הם:
(4, 3-, 2).
(20, 15-, 10)
ניתן לראות שאם מכפילים פי 5 את הוקטור הראשון מגיעים לוקטור השני.
לכן המישורים מקבילים או מתלכדים.
עבור D עם מכפילים פי 5 משוואות המישור לא יוצאות שוות לכן אלו מישורים מקבילים.
תרגיל 2
7x – 1y + 4z + 6 = 0
14x + 5y + 2z + 3 = 0
פתרון
וקטורי הנורמל הם:
(4, 1-, 7)
(2, 5, 14)
ניתן לראות שאין מספר שניתן להכפיל את אחד הוקטורים על מנת להגיע אל אל הוקטור השני.
לכן אלו מישורים נחתכים.
תרגיל 3
9x – 6y + 3 = 0
3x – 2y + 1 = 0
פתרון
וקטורי הנורמל הם:
(0, 6-, 9)
(0, 2-, 3)
ניתן לראות שאם מחלקים את הוקטור הראשון ב 3 אז מתקבל הוקטור השני.
לכן המישורים מקבילים או מוכלים.
כמו כן אם מחלקים את 3 = D במשוואת הראשון הראשונה ב 3 מתקבל D = 1 של משוואת המישור השנייה.
לכן המישורים מתלכדים.
עוד באתר:
אתר מעולה תודה רבה!!
תודה