במשוואה אלגברית של המישור יש 4 נעלמים
Ax + By + Cz + D = 0
יש 3 שיטות למצוא משוואה אלגברית של מישור.
- בעזרת וקטור הנורמל למישור ונקודה שעל המישור.
- בעזרת 2 וקטורים בלתי תלויים הנמצאים על המישור.
- בעזרת 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר יחד.
בדף זה נפתור תרגיל מכול סוג.
בסוף בדף נסביר כיצד כל זה קשור למעבר ממשוואת מישור פרמטרית למשוואת מישור אלגברית.
המעבר הזה מתבסס על שיטות 2 ו 3 עם התאמות קטנות בלבד.
1.משוואה אלגברית בעזרת וקטור הנורמל ונקודה על המישור
מצאו את משוואת המישור העובר בנקודה (5,2,6) והמאונך לישר (L (3,1,2)+ t(2,7,8
פתרון
משוואת המישור
Ax + By + Cz + D = 0
מכוון שהישר מאונך למישור אז וקטור הכיוון של הישר מאונך למישור.
ולכן:
A = 2
B = 7
C = 8
כרגע משוואת המישור נראית כך:
2x + 7y + 8z + D = 0
נותר לנו למצוא את D ונעשה זאת בעזרת הצבת הנקודה (5,2,6) במשוואת המישור.
D + 2*5 + 7*2 + 8*6 = 0
D + 72 = 0
D = -72
משוואות המישור היא:
2x + 7y + 8z – 72 = 0
2.נתונות 3 נקודות: מוצאים את וקטור הנורמל
משולש נקודות שאינן על ישר אחד ניתן ליצור 2 וקטורים ואז למצוא את וקטור הנורמל של שני הוקטורים.
הוקטור המאונך לשני הוקטורים יהיה מאונך למישור כולו.
כי אם ישר מאונך לשני ישרים בלתי תלויים במישור הוא מאונך למישור כולו.
וכאשר נמצא את וקטור הנורמל הדרך למשוואת מישור על פי נורמל ונקודה קצרה.
שלבים לפתרון
- בודקים ששלושת הנקודות אינן על ישר אחד.
- בונים 2 וקטורים מ 3 הנקודות.
- מגדירים וקטור נורמל (v (A,B,C.
- מכפילים את וקטור הנורמל בשני הוקטורים שמצאנו, מקבלים שתי משוואות עם 3 נעלמים.
- הופכים את המשוואות למשוואה אחת עם שני נעלמים. ממשוואה זו נקבל את התבנית של הפתרון.
- מציבים מספר בתבנית וכך מוצאים את שלושת הנעלמים שהם וקטור הנורמל (A,B,C).
- לאחר שמצאנו את וקטור הנורמל מוצאים את משוואת המישור על פי נקודה ווקטור הנורמל.
וכיצד זה קשור למעבר מהצגה פרמטרית לאלגברית של מישור
בהצגה פרמטרית של מישור אנו מקבלים 2 וקטורים ונקודה.
נמצא את האנך לשני הוקטורים הללו והוא יהיה הנורמל של המישור.
תרגיל
נתונות 3 נקודות
(P (1,0,1
(R (3,1,7
(S (2,5,3
מצאו את משוואת המישור שהן מגדירות.
פתרון
שלב א: בדיקה שהנקודות אינן על ישר אחד.
נבנה את הוקטורים PR, PS.
(PR (2,1,6
(PS (1,5,2
נחפש t המקיים:
PR = tPS
עבור x אנו צריכים t= 2.
עבןר y אנו צריכים t = 0.2.
לכן אין t המקיים את המשוואה הזו ושלושת הנקודות אינן על ישר אחד. שלושת הנקודות נמצאות על מישור.
שלב ב: הגדרת וקטור הנורמל בניית משוואות
נגדיר את וקטור הנורמל כ (v (A,B,C.
נסתמך על כך שהמכפלה הסקלרית בין שני וקטורים מאונכים שווה ל 0 ונבנה את שתי המשוואות:
v*PR = 2A + B + 6C = 0
v*PS = A + 5B+ 2C = 0
שלב ג: מציאת התבנית של הפתרון
כמו בכול מערכת משוואות אנחנו צריכים לצמצם את מספר הנעלמים על מנת להגיע לפתרון.
נעשה זאת בשיטת השוואת המקדמים.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונחסר ממנה את המשוואה הראשונה.
נקבל:
9B – 2C = 0
C=4B
C = 4B זו התבנית של הפתרונות.
אנחנו יכולים לבחור את המספר ההתחלתי ממנו יגיע הפתרון.
נבחר:
B = 1
לכן:
C = 4.
שלב ד: מציאת המשתנה החסר
נציב B = 1, C = 4 במשוואה השנייה שבנינו ונמצאת את A.
v*w = A + 5B+ 2C = 0
A + 5 + 8 = 0
A = -13.
תשובה: הוקטור המאונך לשני הוקטורים הוא (v(-13,1,4.
*הערה: הוקטור המאונך יכול לכלול מספרים אחרים אבל היחס בין המרכיבים שלו (A,B,C) צריך להישמר.
3.נתונות 3 נקודות: מציבים אותן במשוואת המישור
שלבים לפתרון
- בדיקה ששלושת הנקודות לא נמצאות על ישר אחד. AB ≠ tAC.
- הצבת שלושת הנקודות במשוואה האלגברית של המישור. נקבל 3 משוואות עם 4 נעלמים.
- הפיכת 3 משוואות עם 4 נעלמים ל 2 משוואות עם 3 נעלמים.
- הגעה למצב של משוואה עם נעלם אחד ושני משתנים.
- מצב זה נותן לנו את תבנית הפתרון.
- הצבה של מספר שאנו רוצים בתבנית ומציאה באמצעותו את המשתנים האחרים.
תרגיל
מצאו את המשוואה האלגברית של המישור העובר דרך שלושת הנקודות.
(P (1,4,1
(R(5,2,3
(S(4,1,0
שלב א: בדיקה שהנקודות אינן נמצאות על ישר אחד
נבנה את הוקטורים PR, PS.
(PR (4,-2,2
(PS (3,-3,-1
נחפש t המקיים:
PR = tPS
ניתן לראות שעבור x צריך t = 1.33.
עבור y צריך t = -0.66.
לכן אין t המקיים את השוויון PR = tPS
ושלושת הנקודות לא נמצאות על ישר אחד והן יוצרות מישורץ
שלב ב: בניית שלושת המשוואות
נציב את שלושת הנקודות במשוואת המישור
Ax + By + Cz + D = 0
ונקבל:
A + 4B + C + D = 0
5A + 2B + 3C + D = 0
4A +B + D = 0
שלב ג: מציאת התבנית של הפתרון
כמו בכול מערכת משוואות עלינו לצמצם את מספר הנעלמים.
בשלב ראשון נשאף לקבל שתי משוואות שאינן כוללת את D.
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה.
4A – 2B +2C = 0
נחסר את המשוואה השלישית מהמשוואה השנייה.
A + B + 3C = 0
עכשיו נשתמש בשתי המשוואות על מנת לצמצם את מספר המשתנים.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונחבר את המשוואות.
6A + 8C = 0
A = – 1.33C
זו התבנית של הפתרון.
נציב C = 1 ונקבל:
A = -1.33
שלב ד: מציאת המשתנים הנוספים
נציב את שני המספרים הללו במשוואה
A + B + 3C = 0
ונמצא את B.
B – 1.33 + 3 = 0
B = -1.66
בינתיים משוואת המישור היא:
1.33x – 1.66y + z + D = 0-
נציב את (P (1,4,1 במשוואת המישור על מנת למצוא את D.
D -1.33 – 6.66 + 1 = 0
D = 7
תשובה: משוואת המישור היא:
1.33x – 1.66y + z + 7 = 0-
עוד באתר: