מכפלה סקלרית בוקטורים אלגבריים

בדף זה נלמד כיצד מבצעים מכפלה סקלרית בין שני וקטורים בייצוג אלגברי.

מכפלה סקלרית היא מכפלה של וקטור בוקטור והתוצאה שלה היא סקלר.

מכפלה סקלרית היא מכפלה עם תכונות שונות מהתכונות של פעולת הכפל הרגילה אליה אנו רגילים.

על מנת לבצע מכפלה סקלרית עלינו לדעת לחשב אורך של וקטור, ובכך נתחיל.

1.אורך של וקטור

האורך של וקטור מסומן בצורה הזו
|v|

אם נתון לנו וקטור:
(v(x1, y1, z1
האורך של וקטור מחושב על ידי הנוסחה:
v|² = x1² + y1²+ z1²|

בנוסחה נתון האורך בריבוע של הוקטור.
על מנת למצוא את האורך עצמו מוצאים שורש.

דוגמה מספרית
נתון הוקטור (v(2, 5, 3.
אורך הוקטור הוא:
9 + 25 + 4 = v|² = 2² + 5²+ 3²|
38 = v|²|
6.164 =38√ =|v|

2.מכפלה סקלרית

למדנו כבר על מכפלה של סקלר בוקטור. התוצאה של המכפלה הזו הייתה וקטור חדש.

בדף זה נלמד על מכפלה של וקטור בוקטור והתוצאה של מכפלה מהסוג הזה היא סקלר.

הסימון של המכפלה הסקלרית הוא על ידי נקודה, בדומה לסימון של כפל בחטיבת הביניים.
באתר זה אין לנו אפשרות לסמן נקודה בצורה הזו לכן נסמן מכפלה סקלרית באמצעות * .

נוסחה לחישוב מכפלה סקלרית

המכפלה הסקלרית בין הוקטורים u,v היא:
v * u = |v| * |u| cos a

נדגיש שוב: התוצאה של המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים היא סקלר.

הרבה פעמים משתמשים בנוסחה הזו לצורך מציאת זווית בין וקטורים.
בצורה הזו:
מכפלה סקלרית מציאת הזווית

מה היא הזווית a המסומנת בנוסחה?
זו הזווית החדה הנוצרת כאשר מזיזים את הוקטורים לנקודת מוצא אחת.

זווית בין שני וקטורים

נוסחה חשובה נוספת למכפלה סקלרית היא:

המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים
( v(x1, y1, z1 ו- (u(x2, y2, z2
היא:
x1x2 + y1y2 + z1z2

דוגמה מספרית
המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים האלו (OT (4,2,3)  ,  OP (1,6,5 היא:
5*3 +6*2 + 4*1
31.

מתי וקטורים מאונכים זה לזה?

לנושא של וקטורים מאונכים יש שימושים רבים.

כאשר הוקטורים מאונכים מתקיים:
a = 90
cos a = 0
לכן כאשר וקטורים מאונכים תוצאת המכפלה הסקלרית היא 0.

תכונות המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית היא מכפלה של שני וקטורים, היא גם כוללת בתוכה את הזווית בין הוקטורים.
לכן זו פעולה אחרת מהמושג "כפל" שאליו התרגלנו.
יש תכונות של "כפל" הקיימות גם במכפלה הסקלרית ויש תכונות של כפל שאינן במכפלה הסקלרית.

תכונות של כפל הקיימות גם במכפלה הסקלרית:

תכונה 1: חילוף
v * u = u * v

תכונה 2: פילוג
v *(u + w) = v*u + v * w

תכונה 3: (כאשר t הוא סקלר)
t (v*u) = (tv)*u

תכונה 4: מכפלת סקלרית של וקטור בעצמו
v* v =|v|²
(הזווית בין וקטור לעצמו היא 0).
cos 0 = 1

v * v = |v| * |v| * cos 0 = |v|²

תוצאת המכפלה הסקלרית כאשר הוקטורים מאונכים
v * u = 0

תוצאת המכפלה הסקלרית כאשר הוקטורים מקבילים
כאשר הוקטורים מקבילים הזווית בניהם היא 0.
cos a = 1
לכן :
|v * u = |v| |u

תכונות "כפל" שלא קיימות במכפלה הסקלרית

תכונה 1: אין צמצום
אם נתון:
v * u = v *w
לא ניתן להסיק מזה את השוויון u = w
כלומר לא ניתן לצמצם את v.

תכונה 2: אין את חוק הקיבוץ
v(u*w) ≠ (v*u)w
שימו לב שבשני צדדי המשוואה בתוך הסוגריים יש מכפלה סקלרית בין וקטורים ולאחר מיכן יש מכפלה של וקטור במספר.

תרגילים

תרגיל 1 (חישוב זווית בין וקטורים)
אורך שני וקטורים u,v הוא u|=4, |v|=2|  והמכפלה הסקלרית שלהם היא u*v = 3.
חשבו את הזווית שבין הוקטורים.

דרך הפתרון:
משתמשים בנוסחה:

פתרון
הנוסחה לזווית שבין וקטורים היא:


a = 68
תשובה: הזווית שבין שני הוקטורים היא 68 מעלות.

תרגיל 2 (מציאת וקטור מאונך לשני וקטורים)
נתונים הוקטורים (u (2,5,1) , v(6,1,4.
מצאו וקטור המאונך לשניהם.

דרך הפתרון:

  1. נגדיר וקטור ( p(a,b,c
  2. ניצור את המכפלה שלו עם כל אחד מהוקטורים שהוא אמור להיות מאונך אליהם.
  3. נגדיר שנים מתוך השלשה a,b,c  בעזרת השלישי.
  4. נמצא את הוקטור המאונך.

פתרון
נניח כי הוקטור ( p(a,b,c מאונך לשני הוקטורים.
המכפלה של שני וקטורים מאונכים שווה ל 0 לכן מתקיים:
p*v = 6a+b+4c = 0
p * u = 2a + 5b +c = 0

נבודד את c במשוואה השנייה ונציב במשוואה הראשונה:
c = -2a – 5b  (משוואה 3)
6a + b-8a-20b = -2a -19b = 0
a = -9.5b

נציב במשוואה 3.
c = 14b
עכשיו ניתן להגדיר את הוקטור P באמצעות b  בלבד:
( p (-9.5b, b, 14b
כל מספר שנבחר עבור b ייתן לנו וקטור מאונך (מלבד 0). נציב b=1.
( p (-9.5, 1, 14

ניתן לבדוק שהוקטורים מאונכים:
p*v = 6a+b+4c = 0
p * u = 2a + 5b +c = 0
p*v = -57+1+56=0
p*u = -19 + 5 +14 = 0

תשובה: מכוון שמכפלת הוקטורים שווה ל 0 הוקטור p מאונך לשני הוקטורים.

עוד באתר:

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם:
1.וואטסאפ: 0527-586-585
2.דרך המייל: help@m-math.co.il

מי שאינו מנוי יכול להשאיר שאלה על ידי השארת תגובה באתר.

כתיבת תגובה

השאירו שאלה או תגובה באתר. אין צורך להשאיר אימייל (השירות זמין לכולם ללא תשלום).

2 מחשבות על “מכפלה סקלרית בוקטורים אלגבריים”

  1. היי, יש לי שאלה ולא הצלחתי למצוא הסבר לבעיה מהסוג הזה.
    נתון שהזווית בין הוקטורים (5,-2,t)=u ו- (5,4,7)=v היא בת 135 מעלות. חשב את הערך של t.
    אשמח מאד לתשובה….
    תודה!

כתיבת תגובה

השאירו שאלה או תגובה באתר. אין צורך להשאיר אימייל (השירות זמין לכולם ללא תשלום).