מכפלה סקלרית בוקטורים אלגבריים

בדף זה נלמד כיצד מבצעים מכפלה סקלרית בין שני וקטורים בייצוג אלגברי.

מכפלה סקלרית היא מכפלה של וקטור בוקטור והתוצאה שלה היא סקלר.

מכפלה סקלרית היא מכפלה עם תכונות שונות מהתכונות של פעולת הכפל הרגילה אליה אנו רגילים.

על מנת לבצע מכפלה סקלרית עלינו לדעת לחשב אורך של וקטור, ובכך נתחיל.

סרטון הסבר

You are unauthorized to view this page.

1.אורך של וקטור

האורך של וקטור מסומן בצורה הזו
|v|

אם נתון לנו וקטור:
(v(x1, y1, z1
האורך של וקטור מחושב על ידי הנוסחה:
v|² = x1² + y1²+ z1²|

בנוסחה נתון האורך בריבוע של הוקטור.
על מנת למצוא את האורך עצמו מוצאים שורש.

דוגמה מספרית
נתון הוקטור (v(2, 5, 3.
אורך הוקטור הוא:
9 + 25 + 4 = v|² = 2² + 5²+ 3²|
38 = v|²|
6.164 =38√ =|v|

2.מכפלה סקלרית

למדנו כבר על מכפלה של סקלר בוקטור. התוצאה של המכפלה הזו הייתה וקטור חדש.

בדף זה נלמד על מכפלה של וקטור בוקטור והתוצאה של מכפלה מהסוג הזה היא סקלר.

הסימון של המכפלה הסקלרית הוא על ידי נקודה, בדומה לסימון של כפל בחטיבת הביניים.
באתר זה אין לנו אפשרות לסמן נקודה בצורה הזו לכן נסמן מכפלה סקלרית באמצעות * .

נוסחה לחישוב מכפלה סקלרית

המכפלה הסקלרית בין הוקטורים u,v היא:
v * u = |v| * |u| cos a

נדגיש שוב: התוצאה של המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים היא סקלר.

הרבה פעמים משתמשים בנוסחה הזו לצורך מציאת זווית בין וקטורים.
בצורה הזו:
מכפלה סקלרית מציאת הזווית

מה היא הזווית a המסומנת בנוסחה?
זו הזווית החדה הנוצרת כאשר מזיזים את הוקטורים לנקודת מוצא אחת.

זווית בין שני וקטורים

נוסחה חשובה נוספת למכפלה סקלרית היא:

המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים
( v(x1, y1, z1 ו- (u(x2, y2, z2
היא:
x1x2 + y1y2 + z1z2

דוגמה מספרית
המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים האלו (OT (4,2,3)  ,  OP (1,6,5 היא:
5*3 +6*2 + 4*1
31.

מתי וקטורים מאונכים זה לזה?

לנושא של וקטורים מאונכים יש שימושים רבים.

כאשר הוקטורים מאונכים מתקיים:
a = 90
cos a = 0
לכן כאשר וקטורים מאונכים תוצאת המכפלה הסקלרית היא 0.

תכונות המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית היא מכפלה של שני וקטורים, היא גם כוללת בתוכה את הזווית בין הוקטורים.
לכן זו פעולה אחרת מהמושג “כפל” שאליו התרגלנו.
יש תכונות של “כפל” הקיימות גם במכפלה הסקלרית ויש תכונות של כפל שאינן במכפלה הסקלרית.

תכונות של כפל הקיימות גם במכפלה הסקלרית:

תכונה 1: חילוף
v * u = u * v

תכונה 2: פילוג
v *(u + w) = v*u + v * w

תכונה 3: (כאשר t הוא סקלר)
t (v*u) = (tv)*u

תכונה 4: מכפלת סקלרית של וקטור בעצמו
v* v =|v|²
(הזווית בין וקטור לעצמו היא 0).
cos 0 = 1

v * v = |v| * |v| * cos 0 = |v|²

תוצאת המכפלה הסקלרית כאשר הוקטורים מאונכים
v * u = 0

תוצאת המכפלה הסקלרית כאשר הוקטורים מקבילים
כאשר הוקטורים מקבילים הזווית בניהם היא 0.
cos a = 1
לכן :
|v * u = |v| |u

תכונות “כפל” שלא קיימות במכפלה הסקלרית

תכונה 1: אין צמצום
אם נתון:
v * u = v *w
לא ניתן להסיק מזה את השוויון u = w
כלומר לא ניתן לצמצם את v.

תכונה 2: אין את חוק הקיבוץ
v(u*w) ≠ (v*u)w
שימו לב שבשני צדדי המשוואה בתוך הסוגריים יש מכפלה סקלרית בין וקטורים ולאחר מיכן יש מכפלה של וקטור במספר.

תרגילים

You are unauthorized to view this page.

עוד באתר:

6 מחשבות על “מכפלה סקלרית בוקטורים אלגבריים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. היי, מה מסמל ה cos a
    מה ההיגיון, למה כשהווקטורים מאונכים cos a שווה ל 0
    וכשהווקטורים מקבילים זה שווה ל 1?
    תודה על האתר
    מוסבר ממש ברור!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      cos 90 שווה 0 ולכן זה כך.
      כאשר הוקטורים מקבילים אין זווית בניהם.

  2. האם ניתן להסיק להיפך, כאשר המכפלה הסקלרית היא אפס זה אומר שהווקטורים מאונכים?

  3. היי, יש לי שאלה ולא הצלחתי למצוא הסבר לבעיה מהסוג הזה.
    נתון שהזווית בין הוקטורים (5,-2,t)=u ו- (5,4,7)=v היא בת 135 מעלות. חשב את הערך של t.
    אשמח מאד לתשובה….
    תודה!