משפט דה מואבר, העלאה בחזקה של מספר מרוכב

 

משפט דה – מואבר הוא נוסחה להעלאה בחזקה של מספר מרוכב (כאשר הוא בהצגה טריגונומטרית – קוטבית).

המשפט אומר כך:

אם נגדיר את המספר המרוכב כ:
(z = r*cis(θ

אז העלאה בחזקת n של המספר תהיה:

(zⁿ = [r * cis(θ)]ⁿ = rⁿ * cis(n*θ

לדוגמה כאשר נתון:
z = 3cis 70

אז חזקת 4 (לדוגמה) תהיה:
z⁴ = 3⁴ * cis 280

ננסה להבין את ההיגיון של משפט דה מואבר בעזרת הידע שלנו לגבי כפל מספרים מרוכבים בהצגה טריגונומטרית

כפל מספרים מרוכבים בהצגה טריגונומטרית נעשה בצורה הזו:

אם שני המספרים המרוכבים הם:

(z₁ = r₁ * cis(θ₁
(z₂ = r₂ * cis(θ₂

כפל המספרים הוא:

z₁ * z₂ = r₁ * r₂  * cis (θ₁ + θ₂)

על פי פעולת כפל זו, אם אנו רוצים להעלות בחזקה את המספר המרוכב:

(z = r*cis(θ

נקבל:

חזקת 2:
z² = z * z = r * r cis (θ + θ)
z² = r² cis (2θ)

חזקת 3:
z³ = z * z = r * r * r cis (θ + θ + θ)
z³ = r³ cis (3θ)

לכן עבור החזקה מסדר n נקבל:

zⁿ = rⁿ cis (nθ)

מה עושים כאשר רוצים להעלות בחזקה מספר מרוכב הנמצא בהצגה אלגברית?

מעבירים את המספר להצגה טריגונומטרית ואז משתמשים במשפט משפט דה מואבר.
או
אם החזקה היא נמוכה אז ניתן להשתמש בפעולת הכפל מספר פעמים בהצגה אלגברית במקום בחזקה.

• דף זה הוא הפרק השמיני בנושא מספרים מרוכבים, פרקים נוספים תוכלו למצוא בקישור.

תרגילים

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• שאלון 582.