דף זה הוא הפרק השני בלימוד מספרים מרוכבים.
בדף זה נעשה היכרות עם המספרים המרוכבים ונלמד את שלושת הפעולות היסודיות:
- חיבור.
- חיסור.
- כפל.
סרטון הסבר
1.חיבור מספרים מרוכבים
כאשר אנו מחברים מספרים מרוכבים, החיבור יתבצע בנפרד עבור החלק הממשי, ועבור החלק המדומה.
-עבור החלק הממשי פשוט נחבר את שני המספרים הממשיים.
-עבור החלק המדומה , נוציא גורם משותף i , וישארו לנו שני מספרים ממשיים – אותם נוכל לחבר כרגיל.
לדוגמה:
נגדיר שני מספרים מרוכבים
z1 = a + bi
z2 = c + di
אזי הסכום שלהם הוא:
= z1 + z2 = a + bi + c + di
(a + c) + i*(b + d) =
תרגילים
חברו את המספרים המרוכבים הבאים:
תרגיל 1
z1 = 2 + 3i
z2 = 4 + i
פתרון התרגיל
בחיבור מספרים מרוכבים, נחבר בנפרד את החלקים הממשיים ואת החלקים המדומים.
עבור החלקים המדומים נוציא גורם משותף i .
(z1 + z2 = 2 + 3i + 4 + i
= (2+4) + i*(3+1
תשובה:
z1 + z2 = 6 + 4i
תרגיל 2
z1 = 1 + 2i
z2 = 3 – 4i
פתרון התרגיל
בחיבור מספרים מרוכבים, נחבר בנפרד את החלקים הממשיים ואת החלקים המדומים.
עבור החלקים המדומים נוציא גורם משותף i .
z1 + z2 = 1 + 2i + (3 – 4i)
= (1 + 3) + i*(2 – 4)
תשובה:
z1 + z2 = 4 – 2i
תרגיל 3
z1 = -2i
z2 = 5 + 6i
פתרון התרגיל
נשים לב כי z1 הוא מדומה טהור, לכן החלק הממשי שלו הוא 0.
z1 + z2 = 0 – 2i + (5 + 6i)
= (0 + 5) + i*(-2 + 6)
תשובה:
z1 + z2 = 5 + 4i
תרגיל 4
z1 = 3 – i
z2 = 4
פתרון התרגיל
נשים לב כי z2 הוא ממשי טהור, לכן החלק המדומה שלו הוא 0.
(z1 + z2 = 3 – i + 4
= (3 + 4) + i*(-1 + 0)
תשובה:
z1 + z2 = 7 – i
2.חיסור מספרים מרוכבים
חיסור מספרים מרוכבים ייעשה בצורה דומה לחיבור , כפי שכבר ראינו.
-עבור החלק הממשי נחסר את שני המספרים הממשיים.
-עבור החלק המדומה , נוציא גורם משותף i , וישארו לנו שני מספרים ממשיים – אותם נוכל לחסר כרגיל.
תרגילים
חסרו את המספרים המרוכבים הבאים:
תרגיל 1
z1 = 6 + 3i
z2 = 3 + 2i
פתרון התרגיל
בחיסור מספרים מרוכבים, נחסר בנפרד את החלקים הממשיים ואת החלקים המדומים.
עבור החלקים המדומים נוציא גורם משותף i .
z1 – z2 = 6 + 3i – (3 + 2i)
= (6 – 3) + i*(3 – 2)
תשובה:
z1 – z2 = 3 + i
תרגיל 2
z1 = 4 – 3i
z2 = 1 – 3i
פתרון התרגיל
z1 – z2 = 4 – 3i – (1 – 3i)
= (4 – 1) + i*(-3 – (-3))
תשובה:
z1 – z2 = 3
מסקנה – בחיבור / חיסור של 2 מספרים מרוכבים – יכול להתקבל מספר ממשי טהור.
תרגיל 3
z1 = 1 – i
z2 = 1 – 5i
פתרון התרגיל
z1 – z2 = 1 – i – (1 – 5i)
= (1 – 1) + i*(-1 – (-5))
תשובה:
z1 – z2 = 4i
מסקנה – בחיבור / חיסור של 2 מספרים מרוכבים – יכול להתקבל מספר מדומה טהור.
3.כפל של מספרים מרוכבים
כפל של מספרים מרוכבים דומה לכפל של מספרים ממשיים.
הכפל יתבצע באמצעות פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים.
חשוב לזכור: i2 = -1 .
לכן כאשר נכפול שני איברים מדומים – הם יהפכו למספר ממשי.
תרגילים
כפלו את המספרים המרוכבים הבאים:
תרגיל 1
z1 = 2 + 2i
z2 = 3 + i
פתרון התרגיל
z1 * z2 = (2 + 2i) * (3 + i)
= 2 * 3 + 2 * i + 2i * 3 + 2i * i
נזכור כי i2 = -1. לכן:
(z1 * z2 = 6 + 2i + 6i +2 * (-1
נותר לכנס איברים דומים.
תשובה:
z1 * z2 = 4 + 8i
תרגיל 2
z1 = 1 – i
z2 = -2 + 4i
פתרון התרגיל
z1 * z2 = (1 – i) * (-2 + 4i)
= 1 * -2 + 1 * 4i + (-i) * (-2) + (-i) * 4i
נזכור כי i2 = -1. לכן:
(z1 * z2 = – 2 + 4i + 2i – 4 * (-1
נותר לכנס איברים דומים.
תשובה:
z1 * z2 = 2 + 6i
תרגיל 3
z1 = i
z2 = 4 – 5i
פתרון התרגיל
(z1 * z2 = (i) * (4 – 5i) = 4*i + i * (-5i
נזכור כי i2 = -1. לכן:
(z1 * z2 = 4i – 5 * (-1
נותר לכנס איברים דומים.
תשובה:
z1 * z2 = 5 + 4i
תרגיל 3
z1 = -3 – 2i
z2 = 4
פתרון התרגיל
z1 * z2 = (-3 – 2i) * (4) = -3 * 4 – 2i * 4
המספר המרוכב z2 הוא ממשי טהור , לכן אין כאן מכפלה של i בעצמו.
תשובה:
z1 * z2 = -12 – 8i
תרגיל 4
z1 = 2 + i
z2 = 2 – i
פתרון התרגיל
(z1 * z2 = (2 + i) * (2 – i) = 2 * 2 – 2 * i + 2 * i + i * (-i
נזכור כי i2 = -1. לכן:
z1 * z2 = 4 – 2i + 2i + 1
נותר לכנס איברים דומים.
תשובה:
z1 * z2 = 5
מסקנה: במקרים מסוימים, מכפלת שני מספרים מרוכבים תהיה מספר ממשי.
עוד באתר:
מוסבר בצורה ברורה, יעילה וטובה!!
אחלה של התחלה בנושא, קל להבנה.
תודה רבה😁
תודה! ובהצלחה בהמשך החומר.
סיכום מצויין לכול המתחילים ומסביר את הבסיסי היטב
קצר וקולע !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
תודה רבה!
נושא מעט מוזר …
הוא מוזר כי לרוב לא לומדים ומכירים אותו בבית הספר.