בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון קיץ 582 2021

בדף זה פתרון של שאלון 582 קיץ 2021.

ניתן ללמוד את החומר בקישורים:

• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 582 / 572.

1.גיאומטריה אנליטית

רמזים

פתרון

2.וקטורים

רמזים

פתרון

סעיף א:
ראשית נבטא את הווקטור SC:
SC = SA +AD + DC
SC = -w + v + u

כעת נבטא את הווקטור EB:
EB = EC + CB
EB = SC – SE + CB
EB = SC – t*SC + CB
EB = (1 – t)*SC + CB
EB = (1 – t)*(-w + v + u) – v
EB = (t – 1)w + (1 – t)u -tv

כעת נבטא את הווקטור ED:
ED = EC + CD
ED = (1 – t)SC + CD
ED = (1 – t)*(-w + v + u) – u
ED = (t – 1)w + (1 – t)v – tu

סעיף ב:

נציג אתEB, ED ללא הפרמטר t

נציב t = 0.5:
EB = (t – 1)w + (1 – t)u -tv
EB = -0.5w + 0.5u – 0.5v

ED = (t – 1)w + (1 – t)v – tu
ED = –0.5w – 0.5u + 0.5v

על מנת להראות שהווקטורים מאונכים זה לזה נראה כי המכפלה הסקלרית ביניהם שווה לאפס:

EB*ED = (-0.5w + 0.5u – 0.5v)*(–0.5w – 0.5u + 0.5v)
EB*ED  = 0.25w*w +0.25w*u – 0.25w*v -0.25u*w – 0.25u*u + 0.25u*v +0.25v*w + 0.25v*u – 0.25v*v
נשים לב כי המכפלה הסקלרית בין הווקטור u לווקטורים v ו – w היא אפס מכיוון שנתון כי AS מאונך למישור הבסיס.
EB*ED = 0.25BA² – 0.25BA² + 0.25BA²*cos(60) + 0.25BA²*cos(60) – 0.25BA²

שימו לב כי שני האיברים הראשנים וגם שלושת האחרונים מצמצמים זה את זה ולכן:
EB*ED = 0

תשובה: מצאנו כי המכפלה הסקלרית של הוקטורים שווה ל 0 ולכן הוקטורים מאונכים.

חלק 2:
נתבונן במשולש SAC:

נוריד אנך מ – E לישר AC
הנקודה E היא אמצע הקטע SC מכיוון שנתון כי t = 0.5
האנך מקביל ל SA מכיוון שגם SA מאונך ל – AC
ולכן האנך הוא קטע אמצעים במשולש SAC
האנך פוגש את AC באמצע הקטע
מכיוון שהאלכסונים במעויין חוצים זה את זה האנך מ E למישור הבסיס פוגש את המישור בנקודת מפגש האלכסונים.

סעיף ג:

 

נמצא את אורך הצלע AB

AB = √(6² + (6√(3))²)
AB = √(144)
AB = 12

נמצא את הנקודה D:
נתון כי D נמצאת על ציר y לכן שיעורי ה – x וה-z שלה הם אפס
לכן:
D = (0,12,0)

נוכל למצוא כעת את הווקטור AD
AD = (0,12,0) – (0,0,0)
AD = (0,12,0)

נסמן את הנקודה S:

S = (x_s,y_s,z_s)
AS = (x_s,y_s,z_s)

נמצא את הקודקוד S, נשתמש בכך שהמכפלה הסקלרית בין הווקטור AS ובין הווקטורים AB ו AD היא אפס:

משוואה 1:

AS*AD = 0
(x_s,y_s,z_s)*(0,12,0) = 0
12y_s = 0
y_s = 0

ולכן:

S = (x_s,0,z_s)

משוואה 2:

AS*AB = 0
(x_s,0,z_s)*(6√3,6,0) = 0
6√3x_s = 0
x_s = 0

ולכן:

S = (0,0,z_s)

נתמש כעת בנתון כי הגודל של AS שווה לגודל הצלעות של בסיס הפרמידה:

AS = 12
√(0² + 0² + z_s²)  = 12
z_s = 12

ולכן:

S = (0,0,12)

תשובה:
S = (0,0,12)
D = (0,12,0)

סעיף ד:

על מנת למצוא את משוואת המישור נמצא את הווקטור הנורמל (מאונך) למישור, נסמן:
N = (m,n,l)
מכיוון שהנורמל מאונך למישור הוא מאונך לכל ווקטור המוכל במישור.
לכן הוא מאונך ל – AS ו – AB, והמכפלה הסקלרית בינו ובין כל אחד מווקטורים אלו היא אפס.
נקבל שתי משוואות:

משוואה 1:

N*AS = 0
(0,0,12)*(m,n,l) = 0
12l = 0
l = 0

ולכן:

N = (m,n,0)

משוואה 2:

N*AB = 0
(m,n,0)*(6√3,6,0) = 0
6√3m + 6n = 0
6n = -6√3m
n = -√3m

ולכן:

N = (m,-√3m,0)

מכיוון שלצורך בניית משוואת המישור אנו מעוניינים אך ורק בכיוון של ווקטור הנורמל ולכן נחלק את הווקטור שקיבלנו בסקלאר m:

N = (1,-√3,0)

לכן משוואת המישור היא:

x – √3y + D = 0

על מנת למצוא את D נציב את הנקודה A במשוואת המישור:

x – √3y + D = 0
0 -√3*0 + D = 0
D = 0

ולכן משוואת המישור היא:

x – √3y = 0

תשובה:
x – √3y = 0

3.מספרים מרוכבים

רמזים

 

פתרון

סעיף א:

נפתור את המשוואה:
z⁴  = – 16

אנו מעונינים להוציא שורש על פי הנוסחה.

k = 0,1,…,n – 1
לשם כך נעביר את המספר באגף ימין ליצוג טריגונומטרי:
z⁴ = -16
מכיוון שהמספר באגף ימין הוא מספר ממשי טהור שלילי, הארגומנט שלו הוא 180 מעלות
z⁴  = 16cis(180)

נוציא שורש:

z⁴  = 16cis(180)
z = ⁴√16cis(45 + 90k)
z = 2cis(45 + 90k)
כאשר:
k = 0,1,2,3

k = 0:
z₀  = 2cis(45)

k = 1:
z₁ = 2cis(45 + 90)
z₁ = 2cis(135)

k = 2:
z₂  = 2cis(45 + 2*90)
z₂ = 2cis(225)

k = 3:
z₃ = 2cis(45 + 3*90)
z₃  = 2cis(315)

נעביר את הפתרונות שקיבלנו לייצוג אלגברי:

z₀ = 2cis(45)
z₀ = 2cos(45) + 2isin(45)
z₀ = √2 + √2i

z₁ = 2cis(135)
z₁  = 2cos(135) + 2isin(135)
z₁ = -√2 + √2i

z₂ = 2cis(225)
z₂ = 2cos(225) + 2isin(225)
z₂ = -√2 -√2i

z₃  = 2cis(315)
z₃ = 2cos(315) + 2isin(315)
z₃ = √2 – √2i

תשובה:
z₀ = √2 + √2i
z₁ = -√2 + √2i
z₂ = -√2 -√2i
z₃ = √2 – √2i

סעיף ב:

סעיף ג:
אנו מעוניינים לכפול את הפתרונות של המשוואה במספר המרוכב הנתון, נסמנו ב – w.

כפל בין מספרים מרוכבים קל יותר בהצגה טריגונומטרית לכן נעביר את w ליצוג טריגונומטרי:

ראשית נמצא את הגודל של w:

R = √(0.5 + 0.5)
R = 1
נמצא את הזווית ביחס לכיוון החיובי של הציר הממשי, נסמנה ב – θ:

tan(θ) = 1
θ = 45

לקחנו זווית ברביע הראשון מכיוון ש – w נמצא ברביע הראשון.

כעת נעביר את w לייצוג טריגונומטרי:

w = cis(45)

כעת נכפיל את הפתרונות ב – w.
נשתמש בכלל:

z₀*w = 2cis(45)*cis(45)
z₀*w = 2cis(90)
z₀*w = 2i

z₁*w = 2cis(135)*cis(45)
z₁*w = 2cis(180)
z₁*w = -2

z₂*w = 2cis(225)*cis(45)
z₂*w = 2cis(270)
z₂*w = -2i

z₃*w = 2cis(315)*cis(45)
z₃*w = 2cis(360)
z₃*w = 2

תשובה:
הנקודות שהתקבלו הל ידי ההכפלה במישור גאוס הן:

(0,2)
(-2,0)
(0,-2)
(2,0)

סעיף ד:

על מנת למצוא את שתי הנעלמים n  ו – c נשתמש בשנים מן המספרים המרוכבים שמצאנו בסעיף הקודם ונציב אותם בנתון:
zⁿ = c

נציב את המספר 2 במשוואה זו:
2ⁿ = c

c בהכרח גדול מאפס כי העלאה בחזקה של מספר חיובי כלשהו תניב בהכרח מספר חיובי.

נעבור ליצוג טריגונומטרי:

(2cis(0))ⁿ = c*cis(0)
2ⁿcis(0) = c*cis(0)
c = 2ⁿ

נציב במשוואה את המספר 2i:

zⁿ = c
(2i)ⁿ = c

נעבור ליצוג טריגונומטרי:

(2i)ⁿ = c
(2cis(90))ⁿ = c

נציב c = 2ⁿ:

2ⁿcis(90n) = 2ⁿcis(0)
cis(90n) = cis(0)
cis(90n) = cis(360)

נתון כי
11 < n < 17

נזכור כי מספר מדומה טהור (cis(90)) “הופך” לחיובי רק על ידי העלאה בחזקה המתחלקת בארבע ללא שארית
לכן הפתרונות התאימים הם:
n = 12
n = 16

נבדוק בעזרת z₀ = 2cis (45) שמצאנו בסעיף א איזה פתרון מתאים:

n = 12:

z₀¹² = (2cis(45))¹²
z₀¹² = 2¹²cis(45*12)
z₀¹² = 2¹²cis(540)
הארגומנט אינו מתחלק ב360 ללא שארית ולכן פתרון זה אינו מתאים, מכיוון שהתוצאה שהתקבלה הינה מספר ממשי טהור שלילי

n =16:

z₀¹⁶ = (2cis(45))¹⁶
z₀¹⁶ = 2¹⁶cis(45*16)
z₀¹² = 2¹²cis(720)

פתרון זה מתאים מכיוון ש720 מתחלק ב360 ללא שארית, לכן:

n = 16

נמצא את c

c = 2ⁿ
c = 2¹⁶

תשובה:
n = 16
c = 2¹⁶

סעיף ה:

נפתור את המשוואה

zⁿ = c
z¹⁶ = 2¹⁶cis(0)
נשתמש שוב בכלל:


z = 2cis(0 + 22.5k)
z = 2cis(22.5k)
k = 0,1,…,15
נקבל 16 פתרונות למשוואה, כאשר הזווית בין כל פתרון היא:

360 : 16 = 22.5

כמו כן אורך הרדיוס של הפתרונות הוא 2.

בעצם מדובר במצולע משוכלל בעל 16 צלעות שוות המורכב מ – 16 משולשים שווי שוקיים אשר זווית הראש שלהם היא 22.5 מעלות, וגודל השוק שלהם הוא 2.

לכן שטח המצולע הנל שווה ל-16 פעמים שטח המשולש שתואר.

ניעזר בנוסחה הטריגונומטרית לחישוב שטח משולש:

כאשר:

a ו – b הן שתיים מצלעות המשולש.
α היא הזווית בין צלעות אלו.
נחשב את שטח המצולע – נסמנו ב-s:

s = 8*2*2*sin(22.5)
s = 32sin(22.5)

תשובה:
שטח המצולע הינו 32sin(22.5) יחידות ריבועיות.

4.פונקציה מעריכית

רמזים

פתרון

סעיף א:

חלק 1:
נתונה הפונקציה:
f(x) = 1 +ae^-2x
נמצא את האסימפטוטת שלה:

אנכיות:
מדובר בפונקציה מעריכית ולכן היא מוגדרת לכל – x.
לכן לפונקציה אין אסימפטוטות אנכיות.

אופקיות:

על מנת למצוא את האסימפטוטות האופקיות נשאיף את x לאינסוף ומינוס אינסוף.

לכן לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית:

y = 1
כאשר x שואף לאינסוף.

כאשר x שואף למינוס אינסוף:

לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף למינוס אינסוף.

תשובה:
אנכיות:
אין
אופקיות:
y = 1
(כאשר x שואף לאינסוף)

חלק 2:
על מנת למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נגזור אותה:
f(x) = 1 +ae^-2x
f ‘ (x) = -2ae^-2x

ניתן לראות כי הנגזרת של הפונקציה אינה יכולה להתאפס מכיוון שכאשר מספר כלשהו השונה מאפס מועלה בחזקה בהכרח שהתוצאה שונה מאפס.
מכיוון ש – a הוא פרמטר חיובי (נתון a > 1) וכך גם המספר e^-2x כאשר הוא מועלה בחזקה כלשהי, הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

תשובה:
הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

חלק 3:
נמצא את החיתוך עם הצירים:

ציר y:
על מנת למצוא את החיתוך עם ציר y נציב בפונקציה x = 0:
f(x) = 1 +ae^-2x
f(0) = 1 +ae^-2*0
f(0) = 1 + a
לכן החיתוך עם ציר y הוא:

(0,1 + a)

ציר x:
על מנת למצוא את החיתוך עם ציר y נשווה את הפונקציה לאפס:

f(x) = 0
1 + ae^-2x = 0
ae^-2x = -1

הביטוי ae^-2x  חיובי לכל x ולכן למשוואה זו אין פתרון.

תשובה:
חיתוך עם ציר y:

(0,1 + a)

חיתוך עם ציר x – אין.

סעיף ב:

חלק 1:

נתונה הפונקציה g(x):

מכנה הפונקציה שונה מ 0 לכל x ולכן פונקציה זו מוגדרת לכל x.
מכיוון שכפי שראינו בסעיף הקודם הפונקציה f(x) שונה מאפס לכל x (אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה – x)

תשובה: g(x) מוגדרת לכל x.

חלק 2:

נמצא את האסימפטוטות:

אנכיות:
מכיוון שכפי שראינו – g(x) מוגדרת לכל x אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.

אופקיות:
מכיוון שכאשר x שואף לאינסוף f(x) שואפת ל – 1, אזי גם g(x) שואפת ל – 1.

נבדוק מה קורה כאשר x שואף למינוס אינסוף:

ולכן לפונקציה יש את האסימפטוטות האופקיות:
y = 1, כאשר x שואף לאינסוף.
y = 0, כאשר x שואף למינוס אינסוף.

תשובה:
אסימפטוטות אנכיות:
אין
אסימפטוטות אופקיות:
y = 1, כאשר x שואף לאינסוף.
y = 0, כאשר x שואף למינוס אינסוף.

חלק 3:

על מנת למצוא את ערך ה – y של נקודת הפיתול נציב x = 0.5ln(a) בפונקציה g(x):

עבור החזקה במכנה
1 = 0.5 * 2-

כמו כן נשתמש בחוקי חזקות ולוגריתם:

e^-lna = (e^{ln a}) ^-1 = a^-1 = 1/a

השתמשנו בחוקים

a^{m * n} = (a^m)ⁿ

e^lnx = x

נציב את זה ונמשיך לפתח את הביטוי:

תשובה:

שיקולים לשרטוט הגרף:
אנו יודעים כי לפונקציה יש אסימפטוטות אופקיות y = 0  ו – y = 1, במינוס אינסוף ובאינסוף בהתאמה.

כמו כן ידוע לנו מסעיפים קודמים כי הפונקציה f(x) יורדת בכל תחום הגדרתה ולכן מכיוון ש – g היא החלוקה של 1 ב- f, לכן נוכל להסיק כי g עולה בכל תחום הגדרתה.

ניתן להוכיח שהפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה כך:

ביטוי זה חיובי לכל x והפונקציה עולה תמיד.

סעיף ג:

נתון כי לפונקציה נקודת פיתול אחת, לכן יש רק נקודה אחת בה הנגזרת השניה של g(x) מתאפסת והיא הנקודה הנתונה.
מכיוון שעד נקודת הפיתול g(x) קעורה כלפי מעלה – הנגזרת השניה חיובית ולכן גרף הנגזרת נמצא בעלייה עד נקודת הפיתול של  g(x).
מכיוון שמנקודת הפיתול g(x) קעורה כלפי מטה – הנגזרת השנייה שלילית ולכן גרף הנגזרת נמצא בירידה מנקודת הפיתול של g(x).
ולכן לנגזרת השניה יש נקודת מקסימום כאשר x = 0.5ln(a).

על מנת למצוא את שיעור ה-y של נקודת המינימום נגזור את g(x) ונציב – x = 0.5ln(a):

נציב x = 0.5ln(a) בנגזרת.

תשובה:
שיעורי נקודת הקיצון של הנגזרת הם:

(0.5ln(a),0.5)

חלק 2:

קל לראות כי פונקציית הנגזרת של g חיובית לכל x, מכיוון שמדובר בפונקצית מנה של שני ביטויים החיוביים לכל x.

המונה שונה מ 0 ולכן אין לפונקציה חיתוך עם ציר ה x.

כמו כן ידוע לנו כי לפונקציית הנגזרת יש נקודת מקסימום בנקודת הפיתול של הפונקציה המקורית.

תשובה:

סעיף ד:

נחשב את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת לישרים הנתונים.
נזכור כי ידוע לנו כי y = 0.5 הוא הערך המקסימלי של הנגזרת, וכי ערך ה – x של נקודת המקסימום הוא 0.5ln(a).

 

5.פונקציה לוגריתמית

סעיף א:

חלק 1:

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה:
נדרוש שהשבר יהיה גדול מאפס:

(x + 1)(x + 2) > 0

זו פרבולת מינימום שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = -1,   x = -2
ולכן תחום החיוביות של השבר הוא:
x > -1, x < -2

כמו כן נדרוש שהמכנה של השבר יהיה שונה מאפס:

(x + 2)(x – 1) ≠ 0
x ≠ -2,1

תשובה:
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x > -1
x < -2
x ≠ 1

חלק 2:

נמצא את האסימפטוטות של הפונקציה:

על מנת למצוא את האסימפטוטות ניתן להשתמש הפונקציה המצומצמת.

אנכיות:

נקודות החשודות כאסימפטוטות אנכיות אלו הן נקודות הקצה.
x = -2 המאפסת את מכנה השבר.(נחשב גבול משמאל).
x = -1 המאפס את מונה השבר. (נחשב גדול מימין).
x = 1 המאפסת את המונה והמכנה.

x = -2:

כאשר x שואף ל 2- מצד ימין הפונקציה אינה מוגדרת.

לכן נבדוק רק כאשר x שואף מצד שמאל ל 2-.

x = -2 אסימפטוטה אנכית.

x = -1:

x = -1 אסימפטוטה אנכית.

x = 1:

נחשב את הגבולות מימין ומשמאל ל – x = 1:
חישוב הגבול משמאל:

לכן אין אסימפטוטה משמאל ל – x = 1.

נחשב את הגבול מימין:

לכן גם מימין אין אסימפטוה אנכית ב – x = 1. ומדובר בנקודת אי הגדרה

אסימפטוטות אופקיות:

על מנת לקבוע האם יש אסימפטוטות אופקיות נשאיף את הפונקציה לאינסוף ולמינוס אינסוף:

ולכן יש לפונקציה אסימפטוטה אופקית:
y = 0
כאשר x שואף לאינסוף.

נשאיף כעת למינוס אינסוף:

ולכן יש לפונקציה אסימפטוטה אופקית:
y = 0
כאשר x שואף למינוס אינסוף.

תשובה:
אסימפטוטות אנכיות:
x = -1
x = -2
אימספטוטות אופקיות:
y = 0
(כאשר x שואף לאינסוף ומינוס אינסוף.)

חלק 3:

נמצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
נשתמש בכלל הגזירה:

נצמצם את הפונקציה לפני גזירה:

(השבר משמאל הוא הנגזרת הפנימית של השבר. השבר מימין הוא 1 חלקי f(x))

מונה השבר הוא מספר ולכן הנגזרת אינה מתאפסת בתחום ההגדרה של הפונקציה.

נבדוק את סימן הנגזרת בין נקודות אי ההגדרה השונות:

x < -2:

נציב x = -3:

לכן כאשר x קטן ממינוס 2 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

:-1 < x < 1

נציב x = 0:

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

x > 1:

נציב x  = 2:

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

תשובה:
הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

חלק 4:

שיקולים לגרף:
ת”ה:
x > -1
x < -2
x ≠ 1 (נקודת אי הגדרה)
אסימפטוטות:
x = -1
x = -2
y = 0
הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

 

סעיף ב:

חלק 1:

נתונה הפונקציה:
g(x) = ln(f(x))
נמצא את תחום ההגדרה שלה.
נדרוש שהביטוי שבתוך הלן יהיה גדול מאפס:
f(x) > 0

על פי הגרף של f(x) תנאי זה מתקיים רק כאשר x < -2.
תשובה:
x < -2

חלק 2:

ראינו בסעיף הקודם כי f(x) עולה כאשר x < -2.
לכן הביטוי שבתוך הלן  בפונקציה g(x) נמצא בעלייה בתחום ההגדרה של g(x).

לכן g(x) עולה בכל תחום הגדרתה.

תשובה:
g(x) עולה בכל תחום הגדרתה.

חלק 3:

שיקולים לגרף:
ת”ה:
x < -2
הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.
מכיוון ש f(x) שואפת ל – 0 כאשר x שואף למינוס אינסוף – g(x) שואפת למינוס אינסוף.

סעיף ג:

נתון:

0 < f(x) < 1

לכן:

(מכיוון ש – g(x) היא ln(f(x))).

לכן בתחום המקיים:

0 < f(x) < 1

המכפלה – f(x)*g(x) תמיד תהיה שלילית מכיוון שבתחום זה f תהיה תמיד חיובית ו – g תמיד תהיה שלילית.