תרגיל 1
סעיף א’
נשרטט את האליפסה הנתונה:
אנו יודעים מנתוני השאלה כי a>b ולכן אורך הציר הגדול של האליפסה הוא על ציר הx ואורכו 2a.
על פי המשפט “אורך הציר הגדול של האליפסה הוא 13”:
2a = 13 / :2
a = 6.5
על מנת למצוא את b, c נעזר בנתונים לבניית משוואות נוספות.
בשאלה נתון כי היקף המשולש F1AF2 הוא 25 ולכן:
AF1 + AF2 + F1F2 = 25
נמצא את אורכי צלעות המשולש:
על פי הגדרת האליפסה:
אם נבחר נקודה כלשהי על האליפסה, סכום המרחקים של הנקודה מהמוקדים שווה ל-2a ולכן:
AF1 + AF2 = 2a
בנוסף, אנו יודעים שהמרחק בין המוקדים הוא:
F1F2 = 2c
נציב את אורכי הצלעות שמצאנו במשוואת היקף המשולש:
AF1 + AF2 + F1F2 = 25
2a + 2c = 25 /:2
a + c = 12.5
נציב את a שמצאנו (a=6.5):
6.5 + c = 12.5
c = 6
בשלב זה אנו יודעים את הערכים a=6, c=6.5
נשתמש בנוסחת האליפסה a2=b2+c2 למציאת b:
a2 = b2+c2
(6.5)2 = b2+62
b2 = 42.25-36 = 6.25
b = 2.5
נציב במשוואת האליפסה:
(x2/a2) + (y2/b2) = 1
(x2/42.25) + (y2/6.25) = 1
סעיף ב’
מציאת נקודה A:
מנתוני השאלה אנו יודעים ששטח המשולש F1AF2 הוא 12.
שטח משולש מחושב על ידי מכפלת הגובה בבסיס חלקי 2.
אורך גובה המשולש הוא yA.
בסיס המשולש אליו יורד הגובה הוא F1F2 כלומר 12.
מכאן שטח המשולש הוא:
(yA*12)/2 = 12
yA*6 = 12 /:6
yA = 2
נציב את נקודה A במשוואת האליפסה שמצאנו בסעיף הקודם:
(xA2/42.25) + (yA2/6.25) = 1
(xA2/42.25) + (22/6.25) = 1
(xA2/42.25) = 1-0.64 = 0.36 / *42.25
xA2 = 15.21
xA = 3.9
A (3.9 , 2)
סעיף ג’
דרך נקודה A עוברת פרבולה שמשוואתה y2=2px ומשיק לפרבולה החותך את ציר הx בנקודה L:
אנו יודעים שהפרבולה עוברת דרך נקודה A
לכן נציב את שיעורי הנקודה במשוואת הפרבולה:
yA2=2*p*xA
22=2*p*3.9
4=7.8p / :7.8
p=0.5128
נציב במשוואת המשיק לפרבולה:
y*yA = p(x+xA)
y*2 = 0.5128*(x+3.9) /:2
y = 0.2564*(x+3.9)
הנקודה L היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר הx
נציב y=0 במשוואת המשיק:
0 = 0.2564*(xL+3.9)
0 = xL+3.9
xL = -3.9
L (-3.9,0)
סעיף ד’
נשרטט את נקודת מפגש התיכונים במשולש ADL:
נקודה E היא אמצע הקטע AL ולכן:
XE = (-3.9+3.9)/2 = 0
YE = (0+2)/2 = 1
E (0,1)
אנו יודעים שנקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכונים ביחס של 2:1 ולכן:
XO= (1*XD+2*XE)/(2+1) = 3.9/3 = 1.3
YO= (1*YD+2*YE)/(2+1) = (YD+2)/3
כלומר המשותף לכל נקודות מפגש התיכונים במשולש ALD הוא ששיעורי הx שלהן שווה ל1.3.
תרגיל 2
מציאת וקטור מאונך למישור π:
ידוע שהישר L עובר דרך ראשית הצירים ודרך נקודה (P(-1,-1,2
לכן וקטור הכיוון של הישר הוא:
(0,0,0) – (-1,-1,2) = (1,1,2)
בנוסף, אנו יודעים שהישר L מאונך למישור π
ולכן הוקטור (1,1,2) מאונך למישור כך שמקדמי משוואת המישור הם:
a=1, b=1, c= -2
ומשוואת המישור היא:
x+y-2z+d=0
מציאת d:
על פי נתוני השאלה, נקודה P נמצאת על המישור ולכן ניתן להציב אותה במשוואתו:
x + y – 2z + d = 0
-1 -1 -2*(2) + d = 0
-6 + d = 0
d = 6
משוואת מישור π :
π : x+y-2z+6 = 0
סעיף ב’ 1
מציאת קודקוד A:
ידוע שקודקוד A הוא נקודת החיתוך של המישור π עם ציר ה-x
נציב y=0, z=0 במשוואת המישור:
x+y-2z+6 = 0
x + 0 -2*0 + 6 = 0
x = -6
A (-6,0,0)
מציאת קודקוד B:
ידוע שקודקוד B הוא נקודת החיתוך של המישור π עם ציר ה-y
נציב x=0, z=0 במשוואת המישור:
x+y-2z+6 = 0
0 + y – 2*0 + 6 = 0
y = -6
B (0,-6,0)
סעיף ב’ 2
נשרטט את הפרמידה והנקודות שמצאנו:
מכיוון שנקודות A,B,P נמצאות על מישור π שמהווה את בסיס הפרמידה
ונקודה P היא נקודת החיתוך של האנך למישור:
ניתן לדעת שנקודה P היא נקודת מפגש אלכסוני המלבן.
במלבן האלכסונים חוצים זה את זה ולכן נקודה P היא אמצע AC:
XP = (XA + XC )/2
-1 = (-6+ XC )/2
-2 = -6 + XC
XC = 4
YP = (YA + YC )/2
-1 = (0+ YC )/2
-2 = 0 + YC
YC = -2
ZP = (ZA + ZC )/2
2 = (0+ ZC )/2
4 = 0 + ZC
YC = 4
C(4,-2,4)
באופן דומה, הנקודה P היא אמצע הקטע BD ולכן:
XP = (XB + XD )/2
-1 = (0+ XD )/2
-2 = 0 + XD
XD = -2
YP = (YB + YD )/2
-1 = (-6+ YD )/2
-2 = -6 + YD
YD = 4
ZP = (ZB + ZD )/2
2 = (0+ ZD )/2
4 = 0 + ZD
YD = 4
D(-2,4,4)
סעיף ג’
מציאת מקדמי a,b,c של מישור ABO:
המישור מורכב מנקודות O, A, B
וקטור כיוון 1:
(0,0,0) – (-6,0,0) = (6,0,0)
וקטור כיוון 2:
(0,0,0) – (0, -6,0) = (0,6,0)
נמצא את המקדמים על ידי מכפלה וקטורית של שני וקטורי הכיוון:
(0*0 – 0*6, -[6*0-0*0], 6*6-0*0) = (0,0,36)
נשתמש בנוסחה למציאת זווית בין 2 מישורים על פי 2 וקטורי כיוון:
cosα = ( |h1*h2| ) / (|h1|*|h2|)
|h1*h2|=|(0,0,36)*(1,1,-2)|=|0+0+26*(-2)|=|-72|=72
|h1| = √(02+02+362) = 36
|h2| = √(12+12+(-2)2) = √6
cosα = 72 / (36*√6)= 2/√6
α=35.264
סעיף ד’ 1
מציאת |FG|:
נתונות הנקודות:
F(-4,-2,0) , G(-2,-4,0)
לכן:
FG = (-2,-4,0) – (-4,-2,0) = (-2+4, -4+2, 0-0) = (2,-2,0)
|FG| = √(22+(-2)2 + 02) = √(4+4) = √8
מציאת |AB|:
A(-6,0,0) , B(0,-6,0)
AB = (0,-6,0) – (-6,0,0) = (0+6, -6-0, 0-0) = (6,-6,0)
|AB| = √(62+(-6)2+02) = √(36+36) = √72
עלינו להראות ש |AB|*(1/3) = |FG| :
|AB|*(1/3) = √72 * (1/3) = 2√2
|FG| = √8 = 2√2
ולכן קשר זה מתקיים.
סעיף ד’ 2
נוסחת נפח פרמידה:
3 / (גובה*שטח בסיס) = V
דרך פתרון אפשרית:
אם גבהי 2 הפרמידות יהיו זהים, יחס שטחי הבסיסים שלהן יהיה שווה ליחס הנפחים כלומר ל 1/3.
על מנת ליצור פרמידה בעלת גובה זהה לפרמידה הנתונה, נבחר ששטח הבסיס FGHI יהיה מונח על שטח הבסיס הקיים ABCD:
בסעיף הקודם הוכחנו ש:
|AB|*(1/3) = |FG|
על מנת שיחס השטחים יהיה 1/3, נדרוש ש GH = FI = BC
FI = BC = (4, -2, 4) – (0, -6, 0) = (4,4,4)
F (-4,-2,0)
FI:
xI – (-4) = 4
xI = 0
yI – (-2) = 4
yI = 2
zI – 0 = 4
zI = 4
I (0,2,4)
G(-2,-4,0)
GH:
xH – (-2 )= 4
xH = 2
yH – (-4) = 4
yH = 0
zH – 0 = 4
zH = 4
H (2,0,4)
תרגיל 3
סעיף א’
Z3 = -1
-1 = 1cis(180)
לכן:
Z3 = 1cis(180)
לפי משפט דה מואבר:
Zk = 3√1 *cis[ (180/3) + (360k)/3 ]
Zk = 1*cis(60+120k)
k=0: Z0 = cis(60)
k=1: Z1 = cis(180)
k=2: Z2 = cis(300)
סעיף ב’
האיבר הראשון a1
מנת הסדרה q=2i
מספר האיברים n
נציב n+4 בנוסחת האיבר הכללי:
an = a1 * qn-1
an+4 = a1 * (2i)n+4-1 = a1 *(2i)n-1*(2i)4 = a1 *(2i)n-1 * 24 * i4 = 16*a1 *(2i)n-1
an+4 = 16an
סעיף ג’ 1
הנקודות A,B,C,D במישור גאוס מייצגות את איברי הסדרה הנתונה כלומר:
A = a1 , B = a2 , C = a3 , D = a4
נתון שנקודה A נמצאת ברביע הראשון לכן:
A = a1 = cis(60)
q = 2i = 2*cis(90)
B = a2 = a1 * q = cis(60)*2*cis(90) = 2*cis(150)
C = a3 = a2 * q = 2*cis(150)*2*cis(90) = 4*cis(240)
D = a4 = a3 * q = 4*cis(240)*2*cis(90) = 8*cis(330)
סעיף ג’ 2
מציאת שטח המרובע:
מכיוון שהזוויות בין הנקודות הן 90 מעלות, ניתן לדעת שאלכסוני המרובע מאונכים זה לזה.
שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2.
AC = 1 + 4 = 5
BD = 2 + 8 = 10
S = (AC*BD)/2
S = (5*10) / 2 = 25
שטח מרובע ABCD הוא 25.
סעיף ד’
נקודות ‘A’, B’, C’, D מייצגות את איברי הסדרה החמישי עד השמיני כלומר:
A’ = a5 , B’ = a6 , C’ = a7 , D’ = a8
נעזר בקשר שהוכחנו בסעיף א’:
an+4 = 16an
n=1: a1+4=a5 = 16a1 = 16cis(60)
n=2: a2+4=a6 = 16a2 = 16*2cis(150) = 32cis(150)
n=3: a3+4=a7 = 16a3 = 16*4cis(240) = 64cis(240)
n=4: a4+4=a8 = 16a4 = 16*8cis(330) = 128cis(330)
כלומר ערכי הרדיוסים של הפרמידה החדשה גדולים פי 16 מערכי הרדיוסים של הפרמידה הקודמת.
הזוויות זהות ולכן גם במקרה זה האלכסונים מאונכים זה לזה.
נמצא את אורכי האלכסונים:
A’C’ = 16 + 64 = 80
B’D’ = 32 + 128 = 160
שטח הפרמידה החדשה:
S = (A’C’ * B’D’) / 2 = (80*160)/2 = 6400
יחס השטחים הוא:
SA’B’C’D’/SABCD = 6400/25 = 256
תרגיל 4
סעיף א’
f(x) = e[a/(x-1)]+c
תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת כאשר המכנה בשבר שונה מאפס.
x-1 ≠ 0
x ≠ 1
סעיף ב’
על מנת למצוא את הנעלמים a,c ניצור 2 משוואות בעזרת הנתונים:
על פי המשפט “משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה היא y=1”:
נמצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה ונציב y=1
כאשר ∞→x :
f(x) = e(a/∞)+c = e0 + c = 1+c
כאשר ∞- →x :
f(x) = e(a/-∞)+c = e0 + c = 1+c
1+c=1
c=0
על פי המשפט הפונקציה חותכת את ציר ה-y כאשר y=e-4:
נציב את נקודת החיתוך עם ציר הy במשוואת הפונקציה:
f(x) = e[a/(x-1)]+0
e-4 = e[a/(0-1)]
-4 = a/(-1)
a = 4
סעיף ג’ 1
f(x) = e[4/(x-1)]
על מנת למצוא את תחומי העלייה והירידה, עלינו לגזור ולהשוות לאפס:
f(x) = e[4/(x-1)]
f'(x) = e[4/(x-1)] * [ (-4)/((x-1)2 ] = 0
הגורם השמאלי (e4/(x-1 תמיד חיובי (בסיס החזקה הוא e).
הגורם הימני תמיד שלילי (מונה שלילי, חלקי מכנה חיובי).
מכפלת גורם חיובי בגורם שלילי היא שלילית
כלומר הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה ואינה מתאפסת.
סעיף ג’ 2
תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה:
הפונקציה חיובית כאשר ערכי הy שלה חיוביים.
הפונקציה שלילית כאשר ערכי הy שלה שליליים.
הפונקציה משתנה מחיוביות לשליליות או משליליות לחיוביות בנקודות החיתוך עם ציר הX.
נמצא את נקודות החיתוך:
נציב y=0 במשוואת הפונקציה:
0 = e[4/(x-1)]
אין פתרון ולכן אין לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר הX.
כלומר הפונקציה חיובית/שלילית לכל תחומה.
נציב נקודה כלשהי בתחום ההגדרה:
למשל x=2
f(2) = e[4/(2-1)] > 0
כלומר הפונקציה חיובית בכל תחום הגדרתה.
סעיף ד’ 1
שרטוט גרף הפונקציה:
נבדוק כיצד הפונקציה מתנהגת סביב x=1:
f(1+) = e[4/(1.0001-1)]=e4/0.0001= e∞ = ∞
f(1–) = e[4/(0.0009-1)]=e4/-0.9991= e–∞ = 1/(e∞)=0
כלומר יש בנקודה (1,0) חור:
סעיף ד’ 2
הישר y=k חותך את גרף הפונקציה כאשר:
k > 1
או
0 < k < 1
סעיף ה’
השטח הרצוי הוא השטח הצבוע:
נמצא את נקודת הפיתול A:
נציב x=-1 במשוואת הפונקציה:
f(-1) = e[4/(-1-1)]=e4/-2= e-2
A(-1,e-2)
מציאת נקודה B:
נקודה B מקבילה לציר הx ולכן ערך הY שלה זהה לשל נקודה A.
היא נמצאת על ציר הY ולכן X=0.
B(0,e-2)
שטח משולש ABO הוא:
SABO = (e-2 * 1 )/ 2 = e-2 / 2
מהשרטוט ניתן לראות שהשטח הצבוע נמצא בתוך שטח משולש ABO ולכן הוא קטן ממנו.
כלומר:
S < e-2 / 2
תרגיל 5
סעיף א’ 1
ידוע שלפונקציה ולנגזרת יש אותו תחום הגדרה.
לכן ניתן למצוא את תחום ההגדרה של הפונקציה על סמך תחום ההגדרה של הנגזרת:
כאשר המכנה שונה מאפס
x≠0
כאשר תוכן הLN חיובי:
-x > 0
x < 0
לכן תחום ההגדרה הוא x<0
סעיף א’ 2
תחומי העלייה והירידה של הפונקציה:
תחומים אלו נקבעים על ידי השוואה של הנגזרת לאפס.
נשווה את הנגזרת הנתונה:
ln(-x) + 2 = 0
ln(-x) = -2
-x = e-2 / :(-1)
x = -e-2 = -0.135
נבדוק את תחומי העלייה והירידה בעזרת טבלה:
| x | 0 | e-1– | -e-2 | e-3– |
| ערך הנגזרת | לא מוגדר | חיובי | 0 | שלילי |
| עלייה או ירידה | עלייה | מינימום | ירידה |
תחומי עלייה:
-e-2 < x < 0
תחומי ירידה:
x < -e-2
סעיף א’ 3
מציאת תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה של הפונקציה:
נבדוק זאת על ידי השוואת הנגזרת השנייה לאפס:
מדובר בנגזרת מנה ולכן:
-1 – ln(-x) = 0
-1 = ln(-x)
-x = e-1 / :(-1)
x = -e-1 = -1/e
נציב את התחומים בטבלה:
| x | 0 | e-2– | -1/e | e- |
| ערך הנגזרת השנייה | לא מוגדר | חיובי | 0 | שלילי |
| קעירות כלפי מעלה או מטה | קעירות קלפי מעלה | נקודת פיתול | קעירות כלפי מטה |
תחומי קעירות מעלה:
-1/e < x < 0
תחומי קעירות מטה:
x < -1/e
סעיף ב’ 1
האסימפטוטות המאונכות לצירים של הנגזרת:
אסימפטוטה אנכית: לפי תחום ההגדרה כאשר x=0 מצד שמאל.
אסימפטוטה אופקית: y=0
סעיף ב’ 2
נקודת הפיתול של הפונקציה המקורית היא נקודת הקיצון של פונקציית הנגזרת
לכן לנגזרת נקודת מינימום כאשר כאשר x= -1/e2
נסמן את האסימפטוטות על הצירים ונשרטט על פי תחומי העלייה והירידה שמצאנו:
סעיף ג’ 1
נמצא את הפונקציה בעזרת אינטגרל של הנגזרת:
בסעיף זה נתון: f(-e-2)=0
נציב בפונקציה שקיבלנו:
f(x) = 0.5*ln2(-x)+2ln|x|+c
0 = 0.5*ln2(e-2)+2ln|e-2|+c
0 = 0.5*4 + 2*(-2) + c
0 = 2 – 4 + c = -2 + c
c = 2
הפונקציה היא:
f(x) = 0.5*ln2(-x)+2ln|x|+ 2
סעיף ג’ 2
שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה:
בסעיפים הקודמים מצאנו שלפונקציה יש נקודת מינימום כאשר x=-1/e2
נקודת פיתול כאשר x= -1/e
נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים:
חיתוך עם ציר הY:
נציב x=0 במשוואה הפונקציה: הפונקציה אינה מוגדרת בערך זה ולכן לא חותכת את ציר הY.
חיתוך עם ציר הX:
נציב y=0 במשוואת הפונקציה:
0 = 0.5*ln2(-x)+2ln|x|+ 2
נסמן:
ln|x| = t
0 = 0.5*t2+2t+ 2 /: 0.5
0 = t2+ 4t + 4
(t+2)2 = 0
t = -2
נציב חזרה:
ln|x| = -2
x = -e-2
