בדף זה פתרון של שאלון 582 קיץ 2021.
ניתן ללמוד את החומר בקישורים:
שאלה 1
סעיף א’
על פי הנתונים, נשרטט את המשולש:
נסמן את שיעורי נקודה G:
(G(x1,y1
מציאת משוואת הישר OG:
הנקודות שנמצאות על הישר הן נקודות ( O( 0,0 ) , G( x1,y1
נמצא בעזרתן את השיפוע:
נמצא את משוואת הישר בעזרת השיפוע שמצאנו ונקודה G:
x1*y = y1*x
-y1*x + x1*y = 0
על פי נתוני השאלה, המרחק בין נקודה (M(2,6 לישר OG הוא 6 (אורך הגובה לצלע).
נציב בנוסחת המרחק בין נקודה לישר:
נעלה את שני האגפים בריבוע ונבצע כפל בהצלבה:
36*(y12+x12) = (6x1-2y1)2
36y12+36x12 = 36x12 – 24x1y1 + 4y12
32y12+24x1y1 = 0
8y1*(4y1 + 3x1) = 0
y1=0
או
4y1+3x1 = 0
4y1 = -3x1 / :4
y1 = -0.75x1
תשובה: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות G נמצא על הישרים y=0 , y = -0.75x
סעיף ב’ 1
נשרטט מעגל שמרכזו בנקודה (M(2,6
ועוברים דרכו 2 משיקים y=0 , y = -0.75x:
המשיק y=0 מקביל לציר הx ומאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
לכן ניתן למצוא את שיעורי נקודה P.
P נמצאת בדיוק מתחת לנקודת מרכז המעגל ולכן שיעור ה-x שלה זהה.
שיעור ה-y הוא 0 בדומה לכל הנקודות על משיק זה.
מכאן:
(P(2,0
אורך הרדיוס PM הוא 6.
נציב בנוסחת משוואת מעגל:
(x-a)2 + (y-b)2 = R2
(x-2)2 + (y-6)2 = 36
סעיף ב’ 2
את שיעורי נקודה P מצאנו בסעיף הקודם:
(P(2,0
מציאת שיעורי נקודה Q:
נקודה Q היא נקודת המפגש בין המשיק y= -0.75x לישר QM.
נמצא את משוואת הישר QM ונשווה ביניהם.
מכיוון שהישר QM נמצא על הרדיוס לנקודת ההשקה, הוא מאונך למשיק.
לכן מכפלת השיפועים של הישרים היא 1-.
mQM = 4/3
מציאת משוואת QM בעזרת שיפוע ונקודה (השיפוע שמצאנו ונקודה M):
y – 6 = (4/3) * (x-2)
y = (4/3)* x – (4/3)*2 + 6
y = (4/3)* x + 10/3
נשווה בין 2 הישרים למציאת נקודה Q:
-0.75x = (4/3)x + 10/3
-(25/12)*x = 10/3
x = -1.6
נציב במשוואת המשיק למציאת שיעור y:
y = -0.75*(-1.6) = 1.2
Q (-1.6 , 1.2)
סעיף ג’
נשרטט את המרובע המתואר:
על מנת להוכיח שמרובע הוא בר חסימה, עלינו להראות שסכום זוג זוויות נגדיות בו שווה ל180 מעלות.
המשיק בנקודה Q עובר דרך ראשית הצירים
לכן QO ⊥ QM.
בנוסף, הצלע MP מקבילה לציר הy וPO מאונכת לציר הy
מכאן PO ⊥ MP.
∠MQO = ∠MPO = 90
מדובר בזוויות נגדיות שסכומן 180 מעלות.
במרובע סכום כל הזוויות הוא 360.
לכן סכום הזוויות הנותרות QMP, QOP הוא 180.
כך שהמרובע QMPO הוא בר חסימה.
נמצא את משוואת המעגל החוסם:
אם נחבר את הקטע MO, נראה שנשענות עליו זוויות בנות 90 מעלות
לכן MO הוא קוטר המעגל ונקודת המרכז נמצאת על אמצע הקטע.
נמצא את נקודת האמצע בין M ו O:
אורך הרדיוס הוא המרחק בין מרכז המעגל לנקודה O:
d=√(x1-x2)2+(y1-y2)2
R=√(1-0)2+(3-0)2=√10
משוואת המעגל החוסם היא:
(x-1)2 + (y-3)2 = 10
תרגיל 2
הסימון הנהוג לוקטור הוא חץ מעל האותיות.
בתרגיל הבא הוקטורים יסומנו ללא חץ, בצורה הזו AB.
סעיף א’
על מנת להביע את וקטור AM, נחפש מסלול של וקטורים המחבר בין נקודה A לM ונחבר את חלקיו.
ישנם מספר מסלולים אפשריים.
במקרה זה נבחר במסלול הבא:
AM = AK + KC + CC’ + C’M
נמצא כל אחד מהגורמים בביטוי:
*וקטור AK:
חלק מוקטור w שאורכו מA ל ‘A.
נתון שאורכו גדול פי 2 מאורך ‘KA.
לכן AK =(2/3)*w
*וקטור KC נתון כוקטור v.
*וקטור ‘CC:
מכיוון שמדובר במנסרה ישרה, שווה לוקטור המקביל אליו ‘AA, כלומר וקטור w.
*וקטור C’M:
מחצית מוקטור ‘C’B.
אנו יודעים שבמנסרה ישרה C’B’=CB.
CB = CK + KB = -v + u
לכן:
C’B’ = -v + u
C’M = 0.5*C’B’ = 0.5*(-v+u)= -0.5v + 0.5u
נבחר את הוקטורים שמצאנו למציאת וקטור AM:
AM = AK + KC + CC’ + C’M
AM = (2/3)w + v + w – 0.5v + 0.5u
AM = (5/3)w + 0.5v + 0.5u
סעיף ב’
נתון KP=∝*u + β*v
על מנת למצוא את ∝,β, נמצא הצגה של KP בדרך נוספת ונשווה ביניהם.
ניתן לייצג את KP על ידי המסלול K -> A -> P
כלומר:
KP = KA + AP
KP = -(2/3)*w + t*AM
נציג את וקטור AM שמצאנו בסעיף הקודם:
KP = -(2/3)*w + t*[(5/3)w + 0.5v + 0.5u]
KP = -(2/3)*w + (5/3)*t*w + 0.5*t*v + 0.5*t*u
KP = [(5/3)t – (2/3)]*w + 0.5*t*v + 0.5*t*u
נשווה בין 2 ההצגות של KP:
∝*u + β*v = [(5/3)t – (2/3)]*w + 0.5*t*v + 0.5*t*u
נבצע השוואת מקדמים:
∝ = 0.5*t
β = 0.5*t
0 = (5/3)*t – (2/3)
נבודד את t מהמשוואה השלישית:
(5/3)*t = (2/3)
t = 2/5
נציב במשוואות 1,2:
∝ = 0.5*t = 0.5*(2/5) = 1/5
β = 0.5*t = 0.5*(2/5) = 1/5
סעיף ג’ 1
על מנת להוכיח שהנקודה P נמצאת על המישור KBC, צריכים להתקיים שני תנאים:
1. KP היא קומבינציה ליניארית של KC,KB.
2. הוקטורים KB,KC אינם תלויים ליניארית, כך שהם קובעים את המישור KBC.
*בדיקת תנאי ראשון:
אנו יודעים מהסעיף הקודם כי:
KP=0.2*u + 0.2*v
לכן הוקטור KP הוא קומבינציה ליניארית של הוקטורים KB, KC.
*בדיקת התנאי השני:
נבדוק האם הוקטורים תלויים ליניארית זה בזה:
(5,5,-5) = ∝*(10,-5,0)
5 = 10∝
5 = -5∝
-5 = 0∝
לא קיים סקלר שמקיים את שלושת המשוואות
לכן הוקטורים אינם תלויים ליניארית והם מגדירים את המישור KBC.
כלומר הנקודה P נמצאת על המישור KBC.
סעיף ג’ 2
נמצא את ההצגה הפרמטרית של המישור באמצעות נקודה P ו2 וקטורי כיוון:
(0,4,6) + t(5,5,-5) + s(10,-5,0)
(a,b,c)*(5,5,-5) = 0
(a,b,c)*(10,-5,0) = 0
נפתח את המשוואות:
5a + 5b – 5c = 0
10a -5b = 0
נצמצם היכן שניתן:
a + b – c = 0
2a = b
נציב את משוואה 2 במשוואה 1:
a + 2a – c = 0
c = 3a
נבחר a=1 ונקבל:
b = 2a = 2*1 = 2
c = 3a = 3*1 = 3
x + 2y + 3z + d = 0
מציאת d:
נציב את נקודה P במשוואת המישור:
P(0,4,6)
x + 2y + 3z + d = 0
0 + 2*4 + 3*6 + d = 0
8 + 18 + d = 0
d = -26
משוואת המישור היא:
x + 2y + 3z – 26 = 0
סעיף ג’ 3
מציאת שיעורי נקודה K:
נעזר בביטוי שמצאנו בסעיף ב’:
KP = 0.2*u + 0.2*v
נציב את u,v הנתונים:
KP = 0.2*(5,5,-5) + 0.2*(10,-5,0)
KP = (1,1,-1) + (2,-1,0) = (3,0,-1)
בנוסף, נמצא את ההצגה האלגברית של KP באמצעות הנקודה K וP:
P – K = (0,4,6) – (x,y,z) = (-x, 4-y, 6-z)
נשווה ביניהם:
3 = -x
0 = 4-y
-1 = 6-z
x = -3
y = 4
z = 7
K(-3,4,7)
שאלה 3
סעיף א’ 1
נפשט את הביטוי z1/z2:
נשתמש בנוסחה:
צורת כתיבה נוספת:
z1/z2 = cos(-4∝/3) + i*sin(-4∝/3)
נתון ש z1/z2 הוא מספר ממשי
לכן נאפס את החלק המדומה בביטוי:
sin(-4∝/3) = 0
-4∝/3 = π*k
∝ = -0.75π*k
עבור K= -1:
∝ =0.75π
עבור K=0:
∝ = 0
קיבלנו ∝ מחוץ לתחום.
לכן בתחום π/2 < ∝ < π :
∝ = 0.75π
נציב:
z1/z2 = cis (-4∝/3) = cis [(-4*(3/4)*π)/3] = cis (-π)
= cis (π) = cos(π) + i*sin(π) = -1 + 0 = -1
סעיף א’ 2
נציב את ∝ שמצאנו:
z1 = cis(3π/4)
z2 = cis[(7/3)*(3π/4)]= cis(21π/12) = cis(7π/4)
נמצא את המכפלה ביניהם:
z1*z2 = cis(3π/4) * cis(7π/4)
נשתמש בנוסחה:
cis(θ1)*cis(θ2)=cis(θ1+θ2)
cis(3π/4) * cis(7π/4) = cis[(3π/4)+(7π/4)] =
= cis(10π/4) = cis(5π/2) = cis (0.5π) = i
z1*z1 = i
כלומר קיבלנו שהמכפלה היא מספר מדומה.
סעיף ב’
w = (z1/z2) + z1*z2
בסעיפים הקודמים מצאנו ש:
z1/z2 = -1
z1*z2 = i
לכן:
w = (z1/z2) + z1*z2 = -1 + i
נעביר את w להצגה טריגונומטרית:
a= -1, b=1
r = √(a2+b2) = √[(-1)2 + 12] = √2
tan(θ) = b/a
tan(θ) = 1/-1 = -1
θ = -45+180k
k=1:
θ = -45+180 = 135
w = √2*cis(135)
עלינו למצוא את כל הפתרונות של המשוואה z3 = w6
לכן נעלה את w בחזקת 6:
w6 = (√2*cis(135))6
לצורך הפישוט נשתמש בנוסחה:
(r*cisθ)n = rn*cis(n*θ)
(√2*cis(135))6 = 8*cis(6*135) = 8*cis(810) = 8*cis(90)
z3 = w6 = 8cis(π/2)
נשתמש בנוסחה:
z = 81/3 * cis[(1/3)*(π/2+2πk)] = 2*cis(π/6 + 2πk/3)
עבור K=0:
z1 = 2*cis(π/6)
עבור K=1:
z2 = 2*cis(5π/6)
עבור K=2:
z3 = 2*cis(3π/2)
סעיף ג’ 1
האם הפתרונות יכולים להתאים לקודקוד של משושה משוכלל במישור של גאוס ? אם כן מצא את שיעוריהם של שאר הקודקודים .
עבור מצולעים משוכללים בעל n צלעות, הזוויות שהן הקודקודים הן בקפיצות של:
360/n
360/6 = 60
לכן עבור משושה, הזוויות הן בקפיצות של 60 מעלות.
בפתרונות שקיבלנו בסעיף הקודם, הזוויות הן: 30,150,270
כלומר בקפיצות של 120.
הרדיוסים של שלושת הפתרונות זהים
לכן הם עשויים להתאים לקודקודים של מצולע משוכלל.
כדי ליצור משושה במישור גאוס, נכניס קודקוד באמצע כל 2 פתרונות שמצאנו
בדרך זו, הקפיצה בין הקודקודים תהיה 60.
חישוב קודקודי המשושה:
z4 = 2*cis(30+60) = 2*cis(90) = 2*(0 + i) = 2i
(0,2)
z5 = 2*cis(150+60) = 2*cis(210) =
= 2*(cos210 + i*sin210) = 2*[-(√3)/2 -0.5i] = -√3 – i
(-√3,-1)
z6 = 2*cis(270+60) = 2*cis(330) =
= 2*(cos330 + i*sin330) = 2*[(√3)/2 -0.5i] = √3 – i
(√3,-1)
סעיף ג’ 2
דוגמה למספר טבעי גדול מ 6 שעבורו הפתרונות מסעיף ב’ מהווים קודקודים של מצלוע משוכלל בעל n קודקודים:
בסעיף הקודם הראינו ששלושת הפתרונות הם קופצים בזווית של 120 מעלות.
לאחר ש”הכנסנו” קודקוד נוסף בין כל זוג פתרונות, ששת הפתרונות קפצו בזוויות של 60 מעלות וקיבלנו משושה משוכלל.
באותו אופן, נוכל להכניס בין כל זוג פתרונות, קודקודים נוספים ולקבל מצולעים משוכללים גדולים יותר.
למשל:
אם נרצה לחלק את הזווית 120 ל3 זוויות:
גודל כל זווית 40 מעלות ומספר צלעות המשושה יהיה 9.
אם נרצה לחלק את הזווית 120 ל4 זוויות:
גודל כל זווית יהיה 30 ומספר צלעות המשושה יהיה 12.
וכך הלאה.
כלומר כל מספר n טבעי שגדול מ6 ומתחלק ב-3.
למשל: 9 או 12.
שאלה 4
סעיף א’ 1
נתונה הפונקציה:
f(x) = ln[(ex-b)2 + 1]
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך הln חיובי.
(ex-b)2 + 1 > 0
(ex-b)2 > -1
מתקיים תמיד ולכן הפונקציה מוגדרת לכל x.
סעיף א’ 2
על פי הגדרת פונקציית ln
נקודת החיתוך עם ציר הx היא כאשר x=1 והפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.
על פי הביטוי בתוך הln בפונקציה הנתונה:
(ex-b)2 + 1
ניתן לראות שהביטוי גדול מ1 (הוסיפו ל1 גודל חיובי)
לכן, בתחום זה פונקציית ln תמיד תהיה גדולה שווה ל-0.
סעיף א’ 3
מציאת אסיפטוטות אופקיות:
מימין כאשר ∞→x :
∞→y
לכן אין אסימפטוטה.
משמאל כאשר ∞- →x :
y → ln(b2+1)
וזו האסיפטוטה האופקית.
סעיף א’ 4
מציאת נקודות קיצון:
נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:
2*ex*(ex-b)=0 :/2*ex
ex-b=0
ex=b
x = ln(b)
| x | 2lnb | lnb | 0.5lnb |
| ערך הנגזרת | חיובית | 0 | שלילית |
| עלייה או ירידה | עלייה | נקודת מינימום | ירידה |
f'(2lnb) = 2*(e2lnb-b)*e2lnb = 2*(b2-b)*b2 > 0
f'(0.5lnb) = 2*(e0.5lnb-b)*e0.5lnb = 2*(b0.5-b)*b0.5 < 0
נציב בפונקצייה למציאת ערך y:
f(lnb) = ln[ (elnb-b)2 + 1 ] =
ln [(b-b)2 + 1] = ln1 = 0
(lnb,0)
נקודת מינימום (b>0)
סעיף א’ 5
סעיף ב’
בסעיף א’ 3 מצאנו שהאסימפטוטה האופקית של הפונקציה בצד שמאל היא:
y = ln(b2+1)
נשווה אותה לאסימפטוטה y=ln5 למציאת ערכי b:
ln(b2+1) = ln(5)
b2+1 = 5
b2 = 4
b = ±2
סעיף ג’
בסעיפים הקודמים מצאנו שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=lnb
נקודה זו מוגדרת רק כאשר b>0
לכן לא קיימת נקודת קיצון כאשר b= -2.
נבדוק האם במקרה זה הפונקציה יורדת או עולה על ידי הנגזרת:
כל האיברים בנגזרת חיוביים ולכן הפונקציה עולה.
תרגיל 5
סעיף א’
נתונה הפונקציה:
f(x) = ex(x-5)
הנגזרות של הפונקציה הן:
f'(x) = ex*(x-5) + ex*1 = ex*x-5ex+ ex = ex*x-4ex = ex(x-4)
f”(x) = ex*(x-4) + ex*1 = ex*x-4ex+ ex = ex*x-3ex = ex(x-3)
סעיף ב’
f”'(x) = ex*(x-3) + ex*1 = ex*x-3ex+ ex = ex*x-2ex = ex(x-2)
החוקיות מתקיימת.
סעיף ג’ 1
נקודות חיתוך עם ציר הy:
נציב x=0 במשוואת הפונקציה-
f(n)(0) = e0(0-5+n) = 1*(-5+n) = -5+n
(0, -5+n)
נקודות חיתוך עם ציר הx:
נציב y=0 במשוואה הפונקציה-
0 = ex(x-5+n) /: ex
x-5+n = 0
x = 5-n
(5-n, 0)
סעיף ג’ 2
האסימפטוטה האופקית של הפונקצייה:
מציאת אסיפטוטות אופקיות:
מימין כאשר ∞→x :
∞→y
לכן אין אסימפטוטה.
משמאל כאשר ∞- →x :
y → 0
וזו האסיפטוטה האופקית.
סעיף ג’ 3
מציאת נקודות הקיצון:
נגזור ונשווה ל-0.
f(n)(x) = ex(x-5+n)
f(n+1)(x) = ex(x-4+n) = 0
x-4+n = 0
x = 4-n
נמצא את שיעור הy של הנקודה:
f(4-n) = e4-n(4-n-5+n) = -e4-n
נגזור פעם נוספת, למציאת סוג הנקודה:
f(n+2)(x) = ex(x-3+n)
f(n+2)(4-n) = e4-n(4-n-3+n) = e4-n > 0
נקודת מינימום
(4-n, -e4-n)
סעיף ג’ 4
נמצא את נקודת החיתוך של הפונקציות על ידי השווה ביניהן:
f(k)(x) = ex(x-5+k)
f(m)(x) = ex(x-5+m)
ex(x-5+k) = ex(x-5+m)
כאשר m=k
אך נתון בשאלה ש m≠k ולכן לא ייתכן שהם נפגשים.
סעיף ג’ 5
סעיף ד’
נמצא את הפונקציה הקדומה בעזרת אינטגרל:
F(x) = ∫f(x) dx = ∫ex(x-5) dx = ex(x-6) + c
נציב את ראשית הצירים
F(0) = e0(0-6) + c = -6 + c = 0
c = 6
F(x) = ex(x-6) – 6
בדיקת התשובה בעזרת גזירה:
f'(x) = ex(x-6) + ex*1 = ex*x-6*ex+ex = ex(x-5)
התקבלה הפונקציה המקורית.