פתרון בגרות 581 קיץ 2024

סעיף א1

V = 12 _קמ”ש

סעיף א2

6 ק”מ

סעיף ב

כן, הם נפגשים

נניח שלוקח לדני זמן t להגיע למכולת.

אז ביום ראשון אורי הגיע בזמן t עד 4.8 ק”מ מהבריכה, ואז ביום שני הגיע עד הבריכה עם 24 דקות נוספות.

לכן אורי רכב את 4.8 הק”מ האחרונים לבריכה ב-24 דקות.

24/60 = 0.4 שעות

_אוריV = 4.8 / 0.4 = 12 _קמ”ש

נעשה טבלה של התנועה שלהם ביום ראשון:

הזמנים שווים:

12 ( x + 2.3) = 18 ( 7.7 – x) /:12

x + 2.3 = 1.5 ( 7.7 – x) = 11.5 – 1.5 x

2.5 x = 9.25

x = 3.7 ק”מ

הגדרנו את x בתור המרחק בין הבית של אורי למכולת, לכן המרחק בין הבית של דני למכולת:

2.3 + x = 2.3 + 3.7 = 6 ק”מ

נבדוק בין אילו זמנים דני נמצא בקטע בין הבית של אורי למכולת.

דני	מהירות	זמן	דרך
מהבית של דני אל הבית של אורי	18		2.3
מהבית של אורי למכולת	18		3.7
עצירה במכולת	0	30 דקות	0
מהמכולת לבית של אורי	18		3.7

אם כך דני נכנס לקטע בין הבית של אורי למכולת לאחר

ויצא מהקטע אחרי:

12.333 + 30 + 12.333 = 54.666 _דקות

נמצא מתי אורי בקטע:

אורי	מהירות	זמן	דרך
יציאה באיחור	0	45 דקות	0
מהבית של אורי למכולת	12		3.7

לכן אורי נמצא בקטע בין 45 דקות מיציאתו של דני ועד 63.5 דקות מיציאתו של דני.

מצאנו שדני נמצא בקטע בין 7.666 דקות ועד 54.666 דקות.

לכן הם יפגשו בנסיעה בקטע שבין הבית של אורי למכולת- בזמן שדני בדרכו חזרה, לפי הטבלה הראשונה.

סעיף א

q_B = q²

סעיף ב

1. נכון
2. לא נכון
3. נכון

סעיף ג

q = – 1/3

סעיף ד

m = 9

נראה כי B סדרה מתכנסת:

b_n = a_n * a_n+2

b_n+1 = a_n+1 * a_n+3

הראנו כי B סדרה הנדסית, ומנתה q².

טענה 1

הסדרה A לא עולה ולא יורדת

נתון כי A סדרה הנדסית עם מנה

-1 < q < 0

מנתה שבר שלילי ולכן היא מחליפה סימן ומגמה.
עבור איברים חיוביים, זו סדרה יורדת כי המנה שלה שבר.
עבור איברים שליליים, זו סדרה עולה כי המנה שלה שבר.

הסבר ויזואלי:

מנה שהיא שבר הולכת ומקטינה את האיברים.
בשביל מספר חיובי זה אומר מגמת ירידה,
אבל בשביל מספר שלילי זה אומר שהאיברים מתקרבים ל-0, לכן הם במגמת עלייה.

הטענה נכונה.

טענה 2

הסדרה B היא סדרה עולה

מנתה של B היא q². נתון כי

-1 < q < 0

לכן:

0 < q² < 1

כלומר המנה של B היא שבר.

נשים לב שהאיברים של B תמיד חיוביים:

b_n = a_n * a_n+2 

A סדרה שמחליפה סימן בין איברים עוקבים.
לכן הסימן של a_n ו- a_n+2 שני איברים אחריו, הוא אותו סימן- ומכפלתם חיובית.

B סדרה חיובית עם מנה שהיא שבר, לכן היא יורדת.

הטענה אינה נכונה.

טענה 3
האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה A יוצרים סדרה עולה

נתון:

a₁ = 1

לכן האיברים במקומות האי-זוגיים של A הם חיוביים.

מכאן שהאיברים במקומות הזוגיים של A הם שליליים.

כפי שהראינו בטענה 1, האיברים השליליים של A יוצרים סדרה עולה.

הטענה נכונה.

נתון כי B סדרה אינסופית שסכומה 1/8.

b₁ = a₁ * a₃ = a₁ * (a₁ * q² ) =

= a₁² * q² = q²

8 q² = 1 – q²

9 q² = 1

q² = 1/9

-נתון שהמנה שלילית

q = – 1/3

נתון:

c_n = a_n / b_n

c₃ +c₄ + … + c_m = 44,307

זהו הסכום עד האיבר ה-m בלי שני האיברים הראשונים.

נחשב את הסכום עד m ונחסר את שני האיברים הראשונים של C ונשווה עם הנתון.

סכום חלקי של סדרה הנדסית-

נפשט את הביטוי c_n–

המנה של הסדרה C היא

q_c = q / q² = 1 / q = -3

האיבר הראשון של C:

אז סכום הסדרה C עד האיבר ה-m:

נשתמש בסכום הנתון בשאלה ונמצא את m:

44307 = S_m – (c₁ + c₂)

-19684 = (-3)^m – 1

 -19683 = (-3)⁹  = (-3)^m

m = 9

סעיף א

0.7

סעיף ב

0.3087

סעיף ג

0.2401

סעיף ד

0.05733

סעיף ה

0.1

נתון כי ההסתברות שממתמודד ענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא 0.83193.

ההסתברות שמתמודד ענה נכון על 4 שאלות לכל היותר שווה להסתברות המשלימה לכך שמתמודד ענה נכון על כל 5 השאלות.

ההסתברות לענות נכון על 5 שאלות היא p⁵ .

1 – p⁵ = 0.83193

p⁵ = 0.16807

p = 0.7

מבקשים את ההסתברות לענות נכון על 3 שאלות בדיוק.

נשתמש בנוסחת ברנולי:

= 0.3087

מקבלים נקודות לפי מספר השאלה,
אז הנקודות המירביות הן-

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

שואלים מה ההסתברות לקבל לפחות 14 נקודות, כלומר 14 בדיוק או 15.

לקבל 15 נקודות זה לענות נכון על כל השאלות.
בסעיף א חישבנו ומצאנו שההסתברות לכך היא-

p⁵ = 0.16807

ההסתברות לקבל 14 נקודות, מהתבוננות באפשרויות שיש לנו לקבלת נקודות,
זו ההסתברות לטעות בשאלה הראשונה (ו”לאבד” נקודה מהסכום המירבי), ולענות נכון על כל השאר.

ההסתברות לטעות בראשונה ולענות נכון על השנייה עד החמישית היא:

(1 – p) * p⁴ = 0.3 * 0.7⁴ = 0.07203

לכן ההסתברות לקבל לפחות 14 נקודות היא:

0.16807 + 0.07203 = 0.2401

* הערה- כאן לא השתמשנו בנוסחת ברנולי כי הפעם יש משמעות לסדר.
כל סדר אחר של טעות אחת והצלחה בשאר לא היה מתאים למה שביקשו, לכן לא נכפיל בכמות האפשרויות לסידור.

האפשרויות לקבלת 6 נקודות בדיוק הן:

1. לענות נכון על השאלה הראשונה, שנייה ושלישית, ולטעות בשאר.
2. לענות נכון על השאלה השנייה והרביעית, ולטעות בשאר.
3. לענות נכון על השאלה הראשונה והחמישית, ולטעות בשאר.

נחשב את ההסתברות של כל אחת מהאפשרויות האלה:

ההסתברות לאפשרות הראשונה היא-

(0.7)³ * (0.3)² = 0.03087

באותו האופן, ההסתברויות לאפשרות השנייה והשלישית הן-

(0.7)² * (0.3)³ = 0.01323

סך הכל ההסתברות לקבל בדיוק 6 נקודות היא:

0.03087 + 0.01323 + 0.01323 = 0.05733

נתון כי אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות.

ההסתברות שצברה 6 נקודות היא הסתברות מותנית:

A – אחינועם צברה 6 נקודות.

B- אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות.

החיתוך ביניהם הוא לקבל 6 נקודות וגם לענות נכון על 3 שאלות,
כלומר לענות נכון על השאלה הראשונה שנייה ושלישית (חישבנו בסעיף ד’):

P(A∩B) = (0.7)³ * (0.3)² = 0.03087

בסעיף ב’ מצאנו את ההסתברות לענות נכון על 3 שאלות בדיוק:

P(B) = 0.3087

לכן לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

P(A l B) = P(A∩B) / P(B) =

= 0.03087 / 0.3087 = 0.1

סעיף א, ב1

הוכחה

סעיף ב2

סעיף ב3

סעיף ג

S_AEC = 2.75 S

	טענה	נימוק
22	BD חוצה זווית ADC	(13) חוצה את ADC לשתי זוויות שוות
23		משפט חוצה זווית במשולש ADC
24		(23) סידור משוואה
25		נתון
26	CD = (7/4) CF	(25) סידור משוואה
27		(24) (25) כלל המעבר
28	AD = (7/4) AF	(27) סידור משוואה
29	AC = AF + CF	חיבור קטעים על ישר AC
30	AD = AF + CF	(21) כלל המעבר

חישוב:

AD = (7/4) AF = AF + CF

(3/4) AF = CF

CD = (7/4) CF = (7/4) *(3/4) AF = (21/16) AF

31

חישוב, מש”ל ב2

סעיף א

סעיף ב

α = 24.295° ≈ 24.3°

סעיף ג

1.844∼

סעיף ד

בוטל!

נשתמש במשפט הקוסינוסים כדי לבטא את BP ו-AP:

הזווית השלישית במשולש ABP היא

180° – (α + β)

נשתמש בזהות הבאה של סינוס-

sin (180° – (α + β) ) = sin (α + β)

AP

BP

נתון כי BD מאונך ל-AE.

APB משולש ישר זווית ומתקיים-

180° – (α + β) = 90°

α + β = 90°

β = 90° – α

בנוסף נתון ששטח ABD הוא 0.25k², נחשב את שטח ABD ונשווה לנתון.

בהתחלה היה נתון

BP = 3 PD

PD = 0.333 BP

BD הוא סכום הקטעים PD ו-BP לכן-

BD = PD + BP = 1.333 BP

AP הגובה במשולש ABD, אז שטח המשולש ניתן ע”י:

S_ABD = 0.5 * AP * BD =

= 0.5 * AP * 1.333 * BP =

= 0.666 * AP * BP =

נשווה לשטח ABD הנתון לנו:

מצאנו כי α + β = 90° אז המכנה-

sin (α + β ) = 1

sinβ = sin (90° – α) = cos(α)

נציב בביטוי שקיבלנו-

sinα * sinβ = sinα * cos(α) = 0.375

נשתמש בזהות הבאה:

sin (2α) = 2 * sin(α) * cos(α)

sinα * cos(α) = 0.5 * sin (2α) = 0.375

sin (2α) = 0.75

אפשרות 1

2α = 48.59°

α = 24.295° ≈ 24.3°

אפשרות 2

2α  = 180º – 48.59° = 131.41°

α = 65.705°

β = 90° – α = 24.295°

זו סתירה לכך שנתון α < β.

אפשרות זו נפסלת.

לסיכום:

α = 24.295° ≈ 24.3°

מצאנו:

α = 24.3º

β = 65.7º

נשתמש בכך שלמשולשים AEC, AEB יש צלע משותפת AE:

ΔAEC:

משפט הסינוסים-

ΔAEB:

באותו האופן-

אז יחס הרדיוסים:

נרצה להביע את היחס בין הסינוסים של הזוויות האלה.

נשים לב כי אלה גם זוויות במשולש ABC,
לכן באמצעות משפט הסינוסים נוכל להפוך את היחס מתלוי בזוויות לתלוי באורכי צלעות:

ΔABC:

AB כבר נתון שמסומן ב-k. נביע את AC עם k.

AC = 2*AD

נמצא את AD מתוך חישוב צלעות במשולש ADB.

BD = 1.333  BP = 0.548 k

משפט הקוסינוסים במשולש ABD:

AD² = BD² + AB² – 2 * BD * AB * cosβ

AD² = 0.301 k² + k² – 0.451 k² =

=0.85 k²

AD = 0.922 k

AC = 2 * AD = 1.844 k

נציב בביטוי ליחס הרדיוסים:

מצאנו שהיחס הוא 1.844

סעיף א1

x ≠  ± √a

סעיף א2

x =  ± √a

y = 0

סעיף א3

עולה-

– √a < x < √a

יורדת-

x > √a

x < – √a

סעיף ב

סעיף ג

g(x) קעורה מעלה:

– √a < x < √a

g(x) קעורה מטה:

x > √a

x < – √a

סעיף ד1

סעיף ד2

סעיף ה1

אופקיות – x =  ± √a

אנכית- y = 0

סעיף ה2

0 < x < √a

x < – √a

תחום ההגדרה של f(x):

נתון כי a פרמטר חיובי.

( x² – a)² ≠ 0

x² – a ≠ 0

x²  ≠  a

x ≠  ± √a

אסימפטוטות אנכיות:

x =  ± √a

כי לא מאפס מונה.

אסימפטוטות אופקיות:

y = 0

לסיכום:

x =  ± √a

y = 0

נמצא את הנגזרת כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה:

אין נקודות קיצון בתחום ההגדרה, כי

x² – a ≠ 0

וגם-

( -3 x² – a) < 0

תחומי עלייה:

הפונקציה עולה כאשר נגזרתה חיובית.

מהסתכלות בנגזרת, המכנה חיובי לכל x בתחום.

במונה-

( -3 x² – a) < 0

לכל x.

לכן בשביל מונה חיובי, צריך להתקיים-

x² – a  < 0

x² < a

– √a < x < √a

ובתחום זה הפונקציה עולה.

תחומי ירידה:

הפונקציה יורדת כאשר נגזרתה שלילית.

כבר אמרנו שהמכנה חיובי לכל x, אז המונה צריך להיות שלילי.

הפעם בשביל מונה שלילי נדרוש-

x² – a  > 0

x² > a

x > √a

x < – √a

ובתחום זה הפונקציה יורדת.

לסיכום:

עולה-

– √a < x < √a

יורדת-

x > √a

x < – √a

מצאנו עד כה:

ת.ה.-

x ≠  ± √a

אסימפטוטות-

x =  ± √a

y = 0

עולה-

– √a < x < √a

יורדת-

x > √a

x < – √a

אין נקודות קיצון בתחום ההגדרה.

נבדוק נקודות חיתוך עם הצירים:

f (0) = 0

(0, 0)

נשרטט את גרף הפונקציה f(x):

נתונה כעת הפונקציה g(x) המקיימת-

g ‘ (x) = f (x)

עם אותו תחום ההגדרה כמו f(x)-

x ≠  ± √a

תחומי קעירות נקבעים לפי חיוביות ושליליות של הנגזרת השנייה,

ונשים לב כי-

g ” (x) = f ‘ (x)

לכן g(x) קעורה מעלה כאשר f ‘ (x) חיובית, כלומר בתחומי העלייה של f (x) שמצאנו בסעיף א3.

באותו אופן g(x) קעורה מטה כאשר f ‘ (x) שלילית, כלומר בתחומי הירידה של f (x).

לכן:

g(x) קעורה מעלה

– √a < x < √a

g(x) קעורה מטה

x > √a

x < – √a

נמצא את g(x) באמצעות אינטגרל:

g ‘ (x) = f(x)

נשתמש בנוסחה הבאה של אינטגרל עם נגזרת הפנימית במונה:

במקרה שלנו הפונקציה היא

f (x) = x² – a

f ‘ (x) = 2x

נמצא את C. נתון לנו כי g(x) עוברת בנקודה (0,0):

C = – 2/a

נרכז את כל מה שידוע לנו על g(x) :

x ≠  ± √a

בעלת אסימפטוטות אופקיות-

x = ± √a

נמצא את האופקית-

y = – 2/ a

g(x) עוברת בנקודה (0,0)

קעורה מעלה

– √a < x < √a

קעורה מטה

x > √a

x < – √a

בנוסף, בגלל ש- g ‘ (x) = f(x),  היא עולה ויורדת לפי החיוביות/ שליליות של f(x).

נסתכל על הגרף מסעיף ב ונקבע את תחומי העלייה והירידה של g(x):

עולה-

x > √a

0 < x < √a

יורדת-

x < – √a

– √a < x < 0

נשרטט את הגרף על פי תכונות אלה:

נתונה כעת:

h(x) = f(x) * g(x)

מכך אנו מסיקים כי ערכי ה y של h(x) הם מכפלת ערכי ה y של f(x), g(x).

אסימפטוטות אנכיות

נתון כי היא מוגדרת באותם התחומים כמו f(x)

x ≠  ± √a

עבור x השואף לערכים הללו הפונקציות f(x), g(x) שואפות לאינסוף / מינוס אינסוף ולכן גם מכפלת ערכי ה y שלהם שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף.

ולכן אסימפטוטות אנכיות הן x =  ± √a

אסימפטוטות אופקיות

הפונקציה h(x) שואפת למכפלת הערכים של f(x), g(x).

עבור x שואף לאינסוף.

h(∞) = f(∞) * g(∞) = 0 * (-2/a) = 0

עבור x שואף למינוס אינסוף:

h(-∞) = f(-∞) * g(-∞) = 0 * (-2/a) = 0

לכן y = 0 היא אסימפטוטה אופקית.

דרך נוספת לכתיבת הפתרון עבור אסימפטוטות אופקיות

y = 0

לסיכום:

אופקיות  x =  ± √a

אנכית y = 0

בשביל תחומים שבהם h(x) חיובית נרצה שהפונקציות g(x) ו-f(x) יהיו באותו הסימן,
כלומר שליליות או חיוביות שתיהן.

מהסתכלות בגרפים נבדוק באילו תחומים הן בעלות אותו סימן:

ניתן לראות שפונקציית המכפלה h(x) תהיה חיובית בתחומים:

0 < x < √a

x < – √a

סעיף א1

סעיף א2

הוכחה

סעיף א3

(± 0.5π, 0)

(0,0)

סעיף א4

min ( ± 0.42 π, – 0.25) , max ( 0,0) , max (± 0.5 π, 0)

סעיף ב

סעיף ג

– 0.5 π < x < 0

0 < x < 0.5 π

סעיף ד

גרף 4

סעיף ה

k = 6S/ π = 1.9 S

הפונקציה הנתונה:

בתחום

-π ≤ x ≤ π

נמצא את תחום ההגדרה.

ההגבלה בתחום ההגדרה נובעת מהשורש:

בתחום הנתון לנו k הרלוונטיים הם 0, 1-:

אפשר למצוא תחום הגדרה גם גרפית.
אנחנו מחפשים את התחום בו קוסינוס חיובי בין פאי למינוס פאי.
הגרף של קוסינוס בתחום זה:

לכן הוא חיובי בין נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-x, שידוע לנו שהם-

פונקציה זוגית היא פונקציה המקיימת:

f (- x) = f (x)

נשתמש בכך שקוסינוס פונקציה זוגית המקיימת-

cos(- x) = cos(x)

הראנו כי הפונקציה זוגית על פי הגדרה.

חיתוך עם ציר ה-x:

ובתחום ההגדרה שלנו k הרלוונטיים הם 0, 1-:

(± 0.5π, 0)

x = πk

ובתחום ההגדרה שלנו k הרלוונטי היחיד הוא 0:

(0,0)

אז מצאנו גם את החיתוך עם ציר ה-y.

לסיכום:

(± 0.5π, 0)

(0,0)

נמצא את הנגזרת ונחפש נקודות קיצון:

נשים לב כי אינה מוגדרת בנקודות

x ≠ ± 0.5π

sin(x) = 0

x = πk

בתחום שלנו נשאר עם

x = 0

cos(x) = 1/4

x₁ = + 0.42π = 1.32

x₂ = – 0.42π = – 1.32

כדי למצוא את סוגם של נקודות הקיצון החשודות נמלא טבלה:

↗

↘

↗

↘

f ‘ ( – 0.45π) = – 0.26 = (-)

f ‘ (  0.45π) =  0.26 = (+)

f ‘ ( – 0.1π) = 0.15 = (+)

f ‘ (  0.1π) = – 0.15 = (-)

f ( 0.42 π) = – 0.25

f ( – 0.42 π) = – 0.25

לסיכום:

min ( ± 0.42 π, – 0.25) , max ( 0,0) , max (± 0.5 π, 0)

נסכם את כל הידוע לנו על הפונקציה:

תחום ההגדרה-

הפונקציה זוגית

נק’ חיתוך:

(± 0.5π, 0)

(0,0)

נק’ קיצון:

min ( ± 0.42 π, – 0.25) , max ( 0,0) , max (± 0.5 π, 0)

נשרטט את הפונקציה:

מהתבוננות בגרף ניתן לראות שאין לפונקציה תחומי חיוביות.

לכן תחומי השליליות:

– 0.5 π < x < 0

0 < x < 0.5 π

מצאנו כי הנגזרת היא:

וכי אינה מוגדרת עבור

x ≠ ± 0.5π

לכן יש לה אסימפטוטות אנכיות:

x = ± 0.5π

מכך ניתן לפסול את גרפים (1) , (2).

בנוסף, כיוון והראינו כי f(x) זוגית, הנגזרת שלה אי זוגית.

לכן

f ‘ (- x) = – f ‘ (x)

 הנגזרת מגיעה אל אותם הערכים בסימנים הפוכים עבור x חיובי ושלילי.

לכן גרף (4) הוא גרף הנגזרת.

נתונה הפונקציה –

g (x) = k – f (x)

עם k חיובי, והמוגדרת באותו תחום כמו f(x).

נתון כי מסמנים ב־ S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x) ועל ידי ציר ה־ x בתחום בין 0 ל־ 0.5π.

נשרטט את הגרף של g(x). מדובר בהזזה למעלה ושיקוף של הפונקציה f(x):

נתבונן בגרפים של g(x) ו-f(x) ביחד, ונמצא את השטח ביניהם.

נשים לב כי השטח בין f(x)  בתחום בין 0 ל־ 0.5π לבין ציר ה-x שווה גם לשטח בין f(x)  בתחום בין 0 ל־ 0.5π-,

וכנל עבור השטחים בין בין g(x) בשני התחומים לבין הישר y = k:

אז בין הפונקציות לישרים כלוא שטח של 4S . נחשב את שטח המלבן:

אורך – k

רוחב – π

שטח המלבן: πk

נתון כי השטח כולו בין הפונקציות הוא 10S. נשווה לשטח שחישבנו:

4S + πk = 10S

πk = 6S

k = 6S/ π = 1.9 S

סעיף א

x = 1.5R

סעיף ב

S_AFE + S_CDF = 0.65 R²

חלק ראשון של הרמז: הבנה מה מבקשים

מבקשים:

“הביעו באמצעות R את הערך של x שבעבורו שטח המלבן ACDE מקסימלי”

מכוון שמבקשים שטח מלבן מקסימלי – עלינו לבנות פונקציה של שטח המלבן.

מכוון שאומרים הביעו באמצעות R המשמעות היא שגם R וגם x יהיו חלק מהפונקציה.

חלק שני של הרמז: בניית הפונקציה

מה שחסר לנו כדי לתאר את שטח המלבן זה רוחב המלבן (CD).

נחשוב על בניית עזר שתאפשר לנו לתאר את CD בעזרת R,x.

נסו להבין מה הקשר בין סכום שטחי שני המשולשים לשטח המלבן שמצאנו את נקודת המקסימום שלו.

נתון:

AB = 2R קוטר במעגל.

AC = x

AC > R

עלינו לבטא את שטח המלבן ACDE.

מה שחסר לנו זו הצלע DC ומותר לנו לבטא אותה באמצעות x, R.

נוסיף בניית עזר של רדיוס המעגל ממרכזו לנקודה D ונשתמש במשפט פיתגורס.

כך ניצור משולש שבעזרתו ניתן לבטא את DC.

DC² = R² – (R – x)² =

= R² – R² +2Rx – x² =

= 2Rx – x²

אז שטח המלבן:

נמצא את ה-x עבורו השטח מקסימלי באמצעות הנגזרת-

3Rx – 2x² = 0

x(3R – 2x) = 0

x = 0

מצב זה אינו אפשרי.

3R = 2x

x = 1.5R

מקרה זה הוא מקרה שבו למרות שנקודת הקיצון מוגדרת באמצעות פרמטר ניתן למצוא את סוג הקיצון בעזרת טבלה:

מכנה הנגזרת חיובי ולכן כדי לקבוע את סימן הנגזרת מספיק להציב במונה הנגזרת

x  = R

3R* R – 2R² = R² > 0

x  = 2R

3R* R – 2(2R)² = -5R² < 0

דרך פתרון שנייה (שרטוט גרף הנגזרת)

המכנה חיובי בתחום ההגדרה.

המונה הוא פרבולת מקסימום עם נקודות חיתוך ב:

x = 0

x = 1.5R

ב x = 1.5R הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות ולכן זו נקודת מקסימום.

סכום שטחי המשולשים שווה למחצית משטח המלבן.

S_AFE + S_CDF = 0.5S_ACDE

הדבר נובע מכך ששטח משולש AFC שווה למחצית משטח המלבן

לכן הסכום המקסימלי של שטחי המשולשים מתקבל כאשר שטח המלבן מקסימלי.

נחשב את שטח המלבן המקסימלי:

= ( 1.5R) (0.866 R) = 1.3 R²

סכום שטחי המשולשים המקסימלי הוא חצי משטח המלבן:

S_AFE + S_CDF = 0.65 R²