שאלון 581 חורף 2024

סעיף א

פי 3

סעיף ב

4.2 קמ”ש

סעיף ג

לצאת בשעות

7:40 – 7:50

נסמן את מהירות ההליכה של אלון V₁  ואת מהירות הרכיבה של דני V_2.

נרשום את הדרך שאלון עשה עד ההפסקה הראשונה שלו:

נתון לנו כי בריצה אלון עבר 1/6 מהדרך ולכן:

AB = 6V₁

הדרך שדני עשה עד הנקודה בה אלון עצר למנוחה:

11/6 * V₂ = 5.5V₁

11V₂ = 33V₁

V₂ = 3V₁

כלומר מהירות הרכיבה של דני גדולה פי 3 ממהירות ההליכה של אלון.

אנחנו צריכים למצוא את V_1.

אלון ודני הגיעו ליעדם בדיוק באותה השעה.

ניצור טבלה של הדרך המלאה שכל אחד מהם עבר.

אלון:

הזמן הכולל שלקח לאלון להגיע מעיר א’ לעיר ב’:

T = 0.5 + 0.5 + 2/6 + 2.25

= 43/12

נתון כי כאשר הגיע דני לנקודה שבה עצר אלון למנוחה בפעם הראשונה הוא הגביר את מהירות הרכיבה שלו למהירות
הגדולה ב־ 12.6 קמ”ש ממהירותו ההתחלתית.

טבלה לדני:

דני יצא שעה וארבעים דקות אחרי אלון, והם הגיעו ליעדם באותה השעה.

כדי להשוות בין הזמנים צריך להוסיף לדרך של דני שעה וארבעים דקות.

נשווה בין התוצאות-

 ( V₂ + 12.6 ) = 12 * 0.5V₁ = 6V₁

נזכור כי בסעיף א מצאנו כי –

V₂ = 3V₁

 ( 3V₁ + 12.6 )  = 6V₁

12.6 = 3V₁

 V₁ = 4.2 _קמ”ש

שלב א: נזהה את נקודת המנוחה השנייה של אלון

אם דני רוצה לחלוף על פני אלון במהלך המנוחה השנייה שלו, הוא צריך לעבור את המיקום שלו במנוחה בזמן שאלון במנוחה.

נציב את מהירות ההליכה של אלון שמצאנו בסעיף ב’.

אלון:

אז אלון במנוחה השנייה שלו במרחק 6.3 ק”מ מעיר א’ ממנה יצא.

באיזה זמנים הוא שם?

יצא ב8 בבוקר ועד למנוחה עברה שעה ועשר דקות. לכן הוא שם בשעות 9:10 – 9:20 (מנוחה של 10 דקות).

נזהה את הזמן שייקח לדני להגיע למנוחה

טבלה בשביל הדרך שדני צריך לעבור כדי להגיע לשם:

ייקח לו לפי הטבלה שעה וחצי להגיע לנקודה בה אלון נח בפעם השנייה. אז הוא צריך לצאת שעה וחצי לפני הזמן שאלון נמצא שם, כלומר בין השעות 7:40 – 7:50.

סעיף א

1. k > 2
2. k < 2
3. k = 2

סעיף ב

k = -3

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

-48,465

נמצא את d של הסדרה החשבונית A .

a₃ – a₁ = 2d = (-16 +2k) – ( -4 -4k) = -12 + 6k = 6 (k – 2)

d = 3 (k – 2)

1. הסדרה A עולה עבור d > 0:
   (k – 2) > 0
   k > 2
2. הסדרה A יורדת עבור d < 0:
   (k – 2) < 0
   k < 2
3. הסדרה A קבועה עבור d = 0:
   (k – 2) = 0
   k = 2

נתון :

a₁₇ = -232

נמצא את האיבר a₁₇ ונשווה לנתון.

A סדרה חשבונית, לכן מתקיים:

a_n = a₁ + (n -1)*d = -4 -4k + (n -1)* 3(k – 2)

a₁₇ = -4 -4k + 16* 3(k – 2) =

=-4 -4k +48k -96 = 44k – 100

a₁₇ = -232 = 44k – 100

44k = -132

k = -3

נתונה סדרה B המוגדרת:

b_n = a_n +24n + 17

נרצה להראות שהיא סדרה חשבונית.

d_A = 3 (k – 2) = 3 (-3 -2) = -15

נמצא את האיבר ה- b_n+1 :

b_n+1 = a_n+1 + 24(n + 1) + 17

b_n+1 – b_n  = (a_n+1 + 24(n + 1) + 17) – (a_n +24n + 17) =

= (a_n+1 – a_n ) + 24 = d_A + 24 = -15 + 24 = 9 = d_B

הוכחנו ש-B סדרה חשבונית עם הפרש 9 = d_B .

b₁² – b₂² + b₃² – b₄² + … + b₂₉² – b₃₀² =

=(b₁² – b₂² ) + (b₃² – b₄² ) + … + (b₂₉² – b₃₀² ) =

= (b₁ – b₂ )(b₁ + b₂ ) + (b₃ – b₄)(b₃ + b₄) + … + (b₂₉ – b₃₀ )(b₂₉ + b₃₀ )

הפרש בין שני איברים עוקבים בסדרה שווה ל-d ההפרש שלה.

(b₁ – b₂ ) = – d_B

וכך גם שאר ההפרשים בביטוי.

= – d_B(b₁ + b₂ ) – d_B(b₃ + b₄) -… – d_B(b₂₉ + b₃₀ ) =

= – d_B (b₁ + b₂ + b₃ + b₄ +… + b₂₉ + b₃₀) =

= – d_B * S₃₀

נמצא את סכום 30 האיברים הראשונים.

S₃₀ = (30 * (b₁ + b₃₀)) / 2

b₁ = a₁ +24 +17 = (-4 -4*(-3)) + 41 = 49

b₃₀ = b₁ + (30 -1)* d_B = 49 + 29*9 = 310

S₃₀ = 15 * (b₁ + b₃₀ ) = 15 * (49 + 310) = 5,385

אז לסיכום סכום הביטוי המבוקש:

b₁² – b₂² + b₃² – b₄² + … + b₂₉² – b₃₀² = – d_B * S₃₀ =

=-9* 5,385 = -48,465

סעיף א

p + k – 1

סעיף ב

p = 0.6

k = 0.7

סעיף ג

31/32

סעיף ד

648/3125

נכניס את הנתונים לטבלה דו מימדית.

מכיוון שאין מתנגדים מקרב המבוגרים שהשתתפו בסקר, הסתברות המתנגדים שווה להסתברות של המתנגדים הצעירים.

לכן ההסתברות שהתושב שנבחר היה צעיר התומך בהקמת הפארק:

 p – (1 – k) =

= p + k -1

נתון:

מחצית מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר תמכו בהקמת הפארק-

(1)

3/7 מן המשתתפים בסקר שתמכו בהקמת הפארק היו צעירים-

(2)

נפתור מערכת של שני משוואות-

 p + k – 1 = 0.5p  (1)

k = 1 – 0.5p

 p + k – 1 = (3/7) k  (2) 

p + (1 – 0.5p) – 1 = (3/7) * (1 – 0.5p)

1 + 0.5p – 1 = 3/7 – (3/14) p

(0.5 + 3/14)p = 3/7

(5/7) p = 3/7

p = 3/5 = 0.6

k = 1 – 0.5p = 1 – 0.5*0.6 = 1 – 0.3 = 0.7 (1)

לסיכום-

p = 0.6

k = 0.7

מראיינים באקראי 6 מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר.

ההסתברות שלפחות אחד מהם תמך בהקמת הפארק ולפחות אחד מהם התנגד להקמת הפארק

היא המשלימה של ההסתברות שכולם מתנגדים + כולם תומכים.

נחשב אותן באמצעות נוסחת ברנולי-

n = 6

k = 0 / 6

ההסתברות לכך שמבין הצעירים בחרו מישהו שמתנגד או תומך היא שווה –

p = 0.5

ההסתברות שכולם תומכים:

0.5⁶ = 1/64

זו גם ההסתברות שכולם מתנגדים.

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

P = 31/32

כעת מראיינים 5 תושבים שהשתתפו בסקר, ושואלים מה ההסתברות שבדיוק 3 מן המרואיינים צעירים, ושהמרואיין האחרון מהם היה צעיר.
ניתן לחשוב על זה בתור ההסתברות לבחירה של 2 צעירים מתוך 4 משתתפים ואז בחירה של צעיר בנפרד.
מבחינת ההסתברות הסופית זה יהיה כפל בין הסתברויות אלה. נחשב אותם:

הסתברות לבחירה של 2 צעירים מתוך 4 משתתפים-

n = 4

k = 2

p = 0.6

וההסתברות לבחור צעיר מבין המשתתפים – p = 0.6

לכן ההסתברות המבוקשת:

P = 648/3125

גם אם לא אומרים לנו: תמיד נחפש האם יש כאן מרובע חסום במעגל.

1.ראשית עלינו לשרטט את בניית העזר AF שתיצור את המרובע שאנו רוצים להוכיח.

2.לאחר בניית עזר עלינו להסתכל עם נוספה תכונה חדשה לשרטוט.

3.כדי להוכיח שמרובע חסום במעגל צריך להוכיח שסכום זוויות נגדיות בו שווה ל 180.

מכוון שבסעיף הקודם מצאנו קשר לזווית D.

סביר שעכשיו נשתמש בקשר זה כדי להוכיח

∠D + ∠AFG = 180

צריך להוכיח ש CE הוא חוצה זווית.

ניתן להוכיח זאת באמצעות:

AB = BF

אבל אין לנו מידע לגבי אורכי צלעות.

אבל יש לנו הרבה מידע לגבי קשרים בין זוויות.

לכן ננסה להוכיח:

∠ACE = ∠FCE

סעיף א,ב,ג

הוכחה

סעיף ד

GE = 30

CG  = 60

מש”ל א’

מש”ל ב’

	טענה	נימוק
16	∠DGC + ∠DAF  = 180°	(15) זוויות נגדיות במרובע חסום GDAF
17	∠DAF + ∠CAH  = 180°	זוויות צמודות על ישר CD
18	∠DGC = ∠CAH	(16), (17), כלל המעבר
19	∠GCE = 180° – (∠CGE + ∠CEG)	זוויות במשולש ΔCEG
20	∠ACH = 180° – (∠CAH + ∠CHA)	זוויות במשולש ΔAHC
21	∠CEG = ∠CHA	נתון
22	∠GCE = ∠ACH	(18), (19), (20), (21) כלל המעבר
23	EC חוצה זווית	(22) במשולש ΔDCG
24		משפט חוצה זווית למשולש ΔDCG

מש”ל ג’

 36² + (18 + GE)² = (2 * GE)²

1296 + 324 + 36*GE + GE² = 4* GE²

3* GE² – 36*GE -1620 = 0

GE = 30

(האפשרות השלילית לא רלוונטית לאורך גיאומטרי).

לסיכום-

GE = 30

CG  = 60

סעיף א

∠ODE = 90°

∠OCA = 90°

∠COD = 2α + 60°

∠CED = 120° – 2α

סעיף ב

סעיף ג

α = 28.955°

סעיף ד

0.549

נתון מעגל שמרכזו O והרדיוס שלו R .
הקטע ED משיק למעגל –

∠ODE = 90°

הנקודה C היא אמצע המיתר AB.
הישר OC מאונך ל-AB , כי קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

∠OCA = 90°

בנוסף נתון שהמרחק של הנקודה O מן המיתר AB הוא 0.5R.

המרחק בין ישר לנקודה הוא האנך היוצא ממנה ולכן

OC = 0.5R

נשים לב בנוסף שכיוון ש-D ו-A על המעגל

OA = OD = R

נתבונן במשולש ΔOCA ונשים לב שמדובר ב”משולש זהב” או “משולש 90 60 30”:

משולש ישר זווית שהיתר שלו באורך כפול מאחת הצלעות. לכן מתקיים בהתאמה-

∠CAO = 30°

∠COA = 60°

נתון גם הסימון :

∠AOD = 2α

סכום הזווית O:

∠COD = ∠COA + ∠AOD = 2α + 60°

סכום זוויות במרובע הוא 360° ולכן זווית E:

∠CED = 180° – (2α + 60° ) = 120° – 2α

סיכום הזוויות במרובע ODCE:

∠ODE = 90°

∠OCA = 90°

∠COD = 2α + 60°

∠CED = 120° – 2α

כדי למצוא ביטוי לצלע DE נרצה להתרכז במשולש ADE ולמצוא צלע וזוויות
על מנת לחלץ ביטוי עבור DE טריגונומטרית (באמצעות משפט הסינוסים).
את הזווית E כבר יש לנו, נותר למצוא את AD שמולה ואת הזווית DAE.

נתבונן במשולש OBA. ניתן לראות שהוא שווה שוקיים, לכן הזוויות מקיימות-

∠ADO = ∠DAO = 0.5* (180° – 2α) = 90° – α

נמצא ביטוי לצלע AD באמצעות משפט הקוסינוסים:

AD² = R² +R² – 2*R*R*cos(2α) =

=2R² -2R²*cos(2α) = 2R²  * (1- cos(2α))

נשתמש בזהות הטריגונומטרית הבאה-

1- cos(2α) = 2sin²α

AD² = 2R²  * 2sin²α = 4R² sin²α

AD = 2Rsinα

נותר למצוא את הזווית שמול DE.

נתבונן בסכום הזוויות על הישר CE:

180° = ∠CAO + ∠OAD + ∠DAE = 30° + (90° – α) + ∠DAE

∠DAE = 180° – (120° + α) = 60° + α

כעת ניתן להשתמש במשפט הסינוסים למצוא את DE:

נציב את מה שמצאנו ואת הזווית DEA מהסעיף הקודם-

נתון בנוסף שרדיוס המעגל שחוסם את המשולש ODA הוא

4/7 R

נשתמש במשפט הסינוסים:

נשתמש בזהות לזווית כפולה של סינוסים-

sin(2a) = 2* sin(a) * cos(a)

cosα = 7/8

α = 28.955°

*שימו לב שהמחשבון במצב degree ולא רדיאנים.

מבקשים כעת את היחס בין המעגל החוסם את DOCE ושטח המעגל הנתון.

מעגל החוסם את DOCE יחסום גם את המשולש ODE, לכן אם נמצא את אורך הצלע OE נוכל להשתמש במשפט הסינוסים כדי לקבל את הרדיוס של המעגל החדש.

המשולש ODE הוא ישר זווית, נשתמש בפיתגורס-

OE² = DE² + CD²

נציב את אלפא שמצאנו בסעיף ג בביטוי מסעיף ב-

OE² = (1.0955R)² + R² = 2.2R²

OE = 1.483 R

משפט הסינוסים עבור ODE:

2R_# = OE = 1.483 R

R_# = 0.741 R

# מסמן את הרדיוס של המעגל החוסם את DOCE.

שטח מעגל הוא S = πR² לכן היחס בין שטחי המעגלים יהיה היחס בין הרדיוסים שלהם בריבוע:

* ניתן היה באותה מידה לפתור עם האלכסון CD עם המשולש OCD, היה מתקבל אותו הרדיוס והיחס.

סעיף א1:

תחום ההגדרה:

0 ≤ x ≤4

x > 4

סעיף א2:

אסימפטוטה אנכית x = 4

אסימפטוטה אופקית y = 0

סעיף א3:

חיתוך ציר x:

(16,0)

חיתוך ציר y:

(0,-1)

סעיף א4:

max (0, -1) , max (36, 1/8)

סעיף ב:

סעיף ג:

הוכחה

סעיף ד1:

לא נכון

סעיף ד2:

נכון

סעיף ה:

הביטוי שבתוך השורש צריך להיות גדול או שווה ל 0.

המכנה שונה מ 0.

ה-x בשורש ולכן חייב להיות חיובי. x ≥ 0 .
בנוסף, המכנה מתאפס עבור-

לכן תחום ההגדרה:

0 ≤ x ≤4

x > 4

אנכית

נבדוק לאן הפונקציה שואפת בנקודות אי ההגדרה.

אופקית

לאן הפונקציה שואפת כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.

אנכית

x = 4 מאפס את המכנה. זו אסימפטוטה אנכית כיוון שלא מאפס את המונה.

אופקית

4- במונה ובמכנה זניחים.

לכן כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף :

כאשר הפונקציה שואפת למינוס אינסוף הפונקציה אינה מוגדרת.

אסימפטוטה אופקית y = 0.

חיתוך ציר x

חיתוך ציר y:

נקודות החיתוך: (1-, 0) , (16,0)

נבצע גזירה:

כיוון שהביטוי במונה כולו בכפל, ניתן להוריד את השבר למכנה-

√x – 2 = 0

√x = 2

√x = √4

x = 4

נקודה זו מחוץ לתחום ההגדרה.

אפשרות שנייה:

6 – √x = 0

6 = √x

√36 = √x

36 = x

נקודה זו בתחום ההגדרה, וחשודה כקיצון.

נחשב את ערך ה y של הנקודה:

מצאנו שנקודות הקיצון הן:
max (0, -1) , max (36, 1/8) .

תחום ההגדרה:

0 ≤ x ≤4

,x > 4

אסימפטוטות: x = 4 , y = 0

חיתוך צירים: (1-, 0) , (16,0)

קיצון: max (0, -1) , max (36, 1/8)

יש לגזור את הפונקציה g(x).

נמצא את g ‘ (x).

מכוון ש f(x) = g ‘ (x)

נסתכל על הגרף של f(x) ונראה אם ערכו מגיע ל 2.

טענה 1

אם קיים משיק לגרף הפונקציה g(x) ששיפועו 2, צריך להתקיים:

g ‘ (x) = 2 = f (x).

ראינו בסעיפים הקודמים שהמקסימום של f(x) הוא 1/8 ואין ערך של f(x) השווה ל 2.

לכן הטענה לא נכונה.

לפונקציה g(x) יכולה להיות נקודת פיתול כאשר הנגזרת השנייה שלה שווה ל 0 וגם משנה סימן משני איברי הנקודה.

כלומר כאשר f ‘ (x) = 0 ומשנה סימן.

וזה קורה כאשר לפונקציה f(x) יש קיצון.

טענה 2

לפונקציה יש נקודת פיתול כאש הנגזרת השנייה שווה 0 ומשנה סימן משני איברי הנקודה.

g ” (x) = f ‘ (x) = 0

(1/8, 36).

זה אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.

מדובר באינטגרל של פונקציה ונגזרתה הפנימית.

סעיף א:

a = 1

סעיף ב1:

תחום ההגדרה:

-2π ≤ x ≤ -π/2

-π/2 ≤ x ≤ 3π/2

 3π/2 ≤ x ≤ 2π

סעיף ב2:

נקודות החיתוך עם הצירים:

(1-, 0) , (0, 2/π)  (3π/2 , 0-)

סעיף ב3:

נקודות הקיצון:

min (-2π , -1)

max (-3π/2, 0)

max (π/2, 0)

max (2π, -1)

סעיף ג:

סעיף ד:

5 פתרונות

סעיף ה

הטענה נכונה

נגזור את הפונקציה ונמצא את ערכי ה x של הקיצון.

באמצעותם נמצא את ערך ה y של הקיצון.

נתון ש- a פרמטר חיובי ושונה מ 0.

נבחר נקודה k=0, x=π/2. נוודא קיצון באמצעות נגזרת שנייה.

המכנה תמיד חיובי, נבדוק את סימן המונה בנקודה שבחרנו.

מצאנו שזו נקודת מקסימום.

נתון שגרף הפונקציה משיק ל-X בכל נקודות הקיצון.

לכן:

f(0.5π) = 0

נבדוק תחום הגדרה במכנה

בתחום -2π≤ x ≤2π.

הנקודות שמאפסות את המכנה הן:

אז תחום ההגדרה כולו:

-2π ≤ x ≤ -π/2

-π/2 ≤ x ≤ 1.5π

 1.5π ≤ x ≤ 2π

נקודות החיתוך עם הצירים: (1-, 0) , (0, 2/π)  (3π/2 , 0-)

בסעיף א כבר מצאנו את הנגזרת, נציב a=1.

אז נקודות הקיצון מתקבלות בנקודות:

בתחום ההגדרה שלנו מתקבלות הנקודות:

הנקודה של k=-1 נמצאת מחוץ לתחום ההגדרה.

מכנה הנגזרת תמיד חיובי אז מספיק לבדוק את הסימן של המונה בהצבה.

נבדוק את סוגן:

f ‘ ( -7π/4) = + 0.485

f ‘ ( -3π/4) = – 16.485

f ‘ (0) = + 2

f ‘ ( 3π/4) = – 0.485

f ‘ ( 7π/4) = + 16.485

f (-2π) = -1

f (2π) = -1

קיבלנו את נקודות הקיצון הבאות:

min (-2π , -1)

max (-3π/2, 0)

max (π/2, 0)

max (2π, -1)

תחום ההגדרה:

-2π ≤ x ≤ -π/2

-π/2 ≤ x ≤ 3π/2

 3π/2 ≤ x ≤ 2π

חיתוך צירים: (1-, 0) , (0, 2/π)  (3π/2 , 0-)

קיצון:

min (-2π , -1)

max (-3π/2, 0)

max (π/2, 0)

max (2π, -1)

נתבונן בגרף ובחיתוך שלו עם הישר y = -1 :

ניתן לראות שיש 5 נקודות חיתוך, כלומר 5 פתרונות למשוואה f(x) = -1.

ניתן לשרטט בתוך השטח של האינטגרל משולש ששטחו 0.5π.

מכך נסיק את שטחו של האינטגרל.

המשמעות שהפונקציה קעורה כלפי מטה היא שהגרף נמצא מעל הצורה בתחום המדובר.

נגדיר פונקציה חדשה: g(x) = f(x) + 1

נמצא את נקודות החיתוך של g(x) עם ציר ה x.

g(x) = 0 = f(x) + 1

f(x) = -1 

נתבונן במשולש שנוצר בין הגרף לציר x בקטע-

0 < x < π

נתון שהפונקציה קעורה מטה בכל חלקי תחום הגדרתה.

לכן גרף הפונקציה נמצא מעל גרף המשולש.

והשטח בין הגרף לציר x בקטע הנתון בהכרח גדול משטח המשולש,

נחשב את שטח המשולש

ניתן לראות שהוא בין שתי נקודות החיתוך

(0,0) , (π , 0)

ולכן אורך הבסיס הוא π.

וביניהם נקודות הקיצון שהוזזה למעלה ביחידה אחת:

max (π/2, 1)

ולכן אורך הגובה הוא:

0.5π

שטח המשולש בין הנקודות האלו:

S = π/2

השטח המוגבל על ידי הפונקציה גדול יותר.

לכן הטענה:

נכונה.

סעיף א:

t (k – t – 1)

סעיף ב:

סעיף ג:

נתון שרוחב גינה B הוא 2 מטרים ושטחה הוא 2t + 2 מ”ר.

נסמן:

y אורך גינה B.

מתקיים:

2y = 2t + 2

y = t + 1

לכן אורך גינה B הוא (t + 1) מטרים.

האורך הכולל של שתי הגינות הוא k מטרים.

לכן האורך של גינה A הוא (k – t – 1) מטרים.

שטח גינה A:

S_A = t (k – t – 1) מ”ר.

תחום ההגדרה הוא

0 < t < k – 1

כדי למצוא את יחס השטחים המינימלי נבצע גזירה ונמצא את נקודת המינימום.

נפתח את המונה בנפרד.

קיבלנו סך הכל את הנגזרת, נשווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון.

הנקודה מהחיסור נמצאת מחוץ לתחום ההגדרה.

נבדוק שהנקודה

t = √k – 1

היא מינימום.

במקרה זה לא נוח לזהות את סוג הקיצון בעזרת טבלה.

נשים לב שהמכנה תמיד חיובי. לכן המונה הוא שקובע את סימן הנגזרת.

נזהה את תחום החיוביות והשליליות של המונה על ידי שרטוט הפרבולה המתאימה.

זו פרבולה שהמקדם של t²  בה הוא חיובי, לכן פרבולת מינימום.

נקודות החיתוך עם ציר ה x:

t = -1 – √k

t = √k – 1

הנקודה :

t = -1 – √k לא בתחום ההגדרה של t וגם לא מינימום.

ובנקודה:

t = √k – 1

הנגזרת עוברת משליליות לחיוביות ולכן זו נקודת מינימום.

וזו נקודת המינימום של יחס השטחים בין הגינות.

הפונקציה החדשה g (x) היא הזזה של הפונקציה הקודמת.

לכן ניתן להגדיר אותה כך:

לגזור כך:

ואז על סמך החקירה הקודמת למצוא מתי

g ‘ (x) = 0

וגם את סוג הקיצון.

היחס בין שטח הגינה A לשטח הגינה B הפוך לסעיף הקודם.

נגזור ונשווה לאפס כדי למצוא את הערך המקסימלי.

לכן h ‘ (t) ו  f ‘ (t) מתאפסות עבור אותם ערכים.

ואת הנקודה היחידה בתחום המקיימת זאת מצאנו כבר בסעיף ב:

t = √k – 1

כיוון שבנגזרת h'(t) יש סימן (-) לפני f'(t) והמכנה חיובי, הן הפוכות סימן.

כאשר h(t) עולה, f(t) יורדת, ולכן נקודת המינימום של f(t) היא נקודת מקסימום של h(t).