פתרון בגרות במתמטיקה 581 קיץ 2023

נתנו לנו את הערך 3d כמייצג את המרחק בין A ל B.

ביום הראשון:

כל אחד מהרוכבים עבר 1/3 מהדרך שהם d קילומטרים.

מכוון ששואלים אותנו על הזמן נגדיר את הזמן כמשתנה.

t זמן התנועה בשעות של רוכב א ביום א.

t – 2.5 זמן התנועה בשעות של רוכב ב ביום א.

את המהירויות נמצא בעזרת חישוב בטבלה.

סיבות לכך שהיה עדיף לנו להגדיר את טור הזמן כמשתנה ולא את הטור של המהירות.

1. את טור הזמן יכולנו להגדיר בעזרת משתנה יחיד. עבור טור המהירות היינו צריכים להגדיר עם שני משתנים.
   הגדרת משתנה נוסף יכולה לסרבל את העבודה – ואפילו לגרות לאי אמון שבסוף יצא פתרון.
2. שאלו על הזמן – לכן זמן כמשתנה זה יתרון.

מיום זה אנו יכולים לקחת את המהירות להשתמש בה בטבלה של יום ב.

ביום ב הזמן הוא 9 שעות.

ביום ב שני כלי הרכב ביחד עברו את הדרך כולה שהיא 3d.

לכן המשוואה היא:

3d הוא גדול השונה מ 0 לכן ניתן לחלק בו.

נכפיל במכנה המשותף.

3(t – 2.5) + 3t = t(t – 2.5)

3t – 7.5 + 3t = t² – 2.5t

t² – 8.5t + 7.5 = 0

בעזרת מחשבון נמצא כי:

t = 7.5  או t = 1.

מכוון שרוכב ב נוסע

t – 2.5

הפתרון היחיד שמתאים לשאלה הוא t = 7.5 שעות.

מכוון שהם עצרו ב 15:30 אז זמן היציאה הוא 8:00.

הלקח מסעיף זה

1.לא להיבהל מכך שיש יותר נעלמים ממשוואות.

2.כאשר המרחק נתון לנו, גם באמצעות פרמטר, נציב אותו בטבלה.

טור אחר נגדיר באמצעות משתנה. כאשר אנו נעדיף לבחור משתנה השייך לטור שבו יש קשר בין המלבנים כך שנצטרך להגדיר פחות משתנים.

במקרה שלנו בגלל שבחרנו את הזמן יכולנו להשתמש במשתנה יחיד.

ולעומת זאת אם היינו בוחרים את המהירות כמשתנה היינו צריכים לבחור שני משתנים.

• משתנה לרוכב א.
• משתנה לרוכב ב.

המהירות של רוכב א היא d/t

קמ”ש.

המהירות של רוכב ב היא:

קמ”ש.

נציב 1 כאורך הדרך של כל אחד מהרוכבים.

ונחשב את הזמן.

דקות הופכים לשעות על ידי חלוקה ל 60.

לכן ההפרש בזמנים הוא:

1.25 : 60 = 1/48

המשוואה היא:

הזמן של רוכב א גדול יותר לכן נוסיף לרוכב ב את הזמן במשוואה.

נכפיל במכנה המשותף 48d

15 * 24 = 5 * 48 + d

120 = d

כאשר מסיימים שאלה להסתכל בהגדרה מה מצאנו ולא לענות אוטומטית.

d הוא לא המרחק אלא 3d הוא המרחק.

המרחק הוא 3d כלומר 360 קילומטר.

הלקח מסעיף זה

1.כאשר מסיימים שאלה להסתכל בהגדרה מה מצאנו ולא לענות אוטומטית.

2.מדקות לשעות עוברים על ידי חלוקת מספר הדקות ב 60.

סעיף א1 יכול להיפתר בצורה סבירה אם בוחרים משתנה נכון. בחירה פחות טובה יכולה להקשות על הפתרון.

קושי נוסף: לפתור משוואות הכוללות יותר נעלמים ממשוואות.

מלבד זה – שאלה לא קשה.

נקרא לסדרה החדשה כסדרה D.

D_n הוא האיבר הכללי של הסדרה.

אם היינו צריכים להוכיח שהסדרה D היא סדרה הנדסית היינו צריכים לחלק איברים כלשהם:

אך מכוון שכבר נתון לנו שזו סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ניתן לחלק שני איברים סמוכים כלשהם.

הלקח מסעיף זה

לדעת לפשט שברים, סעיף בסיסי של הצבה בנוסחה.

הערך של q בסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת הוא:

-1 < q < 1

q ≠ 0

כאשר q חיובי.

הסדרות יכולות להיות כמו זו אם האיבר הראשון חיובי

2,   1,   0.5,  0.25 …..

או כמו זו אם האיבר הראשון שלילי:

-2,   -1,   -0.5,  -0.25 …..

וכאשר q שלילי איברי הסדרה משנים את סימנם, למשל:

-2,   1,   -0.5,  0.25 …..

הסדרה A אינה עולה ואינה יורדת, וזה אומר שעבורה:

-1 < q < 0

הסדרה B עולה, וזה אומר:

1. שהאבר הראשון שלה שלילי.
2. ש q חיובי.

1.מנת הסדרה החדשה היא:

והתשובה היא לא נכון.

2.כל איברי הסדרה B שליליים.

זה נכון, כי רק כך זו תהיה סדרה עולה.

הלקח מסעיף זה

עלינו לדעת כיצד סדרה הנדסית מתנהגת עבור ערכי q שונים.

נותנים לנו משוואה הכוללת את c₁ ומבקשים שנמצא את c₁

לכן עלינו להפוך את המשוואה למשוואה עם נעלם אחד.

נחפש “תחליפים” ל C₁ , C_2.

נתון:

C₂ = – C₁

C₁ + d = – C₁

d = – 2C₁

מכך נמצא כי:

C₃ =  C₁ + 2d =  C₁ – 4C₁ = – 3C₁

C₃ =  – 3C₁

נציב את מה שמצאנו במשוואה:

הלקח מסעיף זה

כדי למצוא ערך של נעלם במשוואה שקיבלנו עלינו להפוך את המשוואה למשוואה עם נעלם אחד (לרוב).

כאשר כתוב לנו:

אנו צריכים לזהות שלמעשה כתוב כאן:

אז בעזרת הנוסחה לסכום של סדרה הנדסית אינסופית נגדיר את כל אחד מהסכומים.

וננסה ליצור משוואה הכוללת רק את q_B.

כמו כן :

• נפשט כל ביטוי בנפרד לפני שאנו מציבים אותו במשוואה.

הסכום של סדרה הנדסית אינסופית הוא:

וזה אומר שסכום הסדרה  A הוא:

שסכום הסדרה  B הוא:

שסכום הסדרה  D הוא:

לפני שנציב את כל הסכומים בנוסחה נפשט את הביטוי הבא, כך שבמקום 4 שורות הוא יכלול 2.

ועכשיו נבנה את המשוואה:

על מנת להקל על הכתיבה אגדיר:

q_B = x

ואמשיך:

16x = 15(x + 1/15 )(1 – x)

16x = (15x + 1)(1- x)

16x  = 15x – 15x² + 1 – x

15x² + 2x – 1 = 0

בעזרת מחשבון נמצא כי:

x = 0.2  או x = -0.333

אנו יודעים כי q_B הוא חיובי ונלכן התשובה היא:

q_B  = x = 0.2

תשובה: מנת הסדרה B היא 0.2.

הלקח מסעיף זה

1.כאשר אנו מקבלים משוואה כזו:

לא נציב אותם ישר אלא נפשט כל אחד מהסכומים בנפרד.

וגם את הביטוי:

ננסה לפשט, כלומר להפוך אותו ל 2 שורות במקום 4,  לפני שנשווה אותו ל S_D .

2.כאשר נקבל ביטוי כזה:

קודם נהפוך אותו לשבר עם 4 שורות, ואז שבר עם שני שורות.

שאלה שלא דורשת הבנה אלא אלגברה ויכולת לפשט משוואות.

שאלה לא קשה.

סעיף ד הקשה ביותר.

מכוון שמדובר ב:

תלמידי שנה א או תלמידי שנה ב.

בעד או נגד.

השאלה מתאימה לטבלה.

על פי המשפט “80% מן המשתתפים שבעד ההצעה הם תלמידי שנה א'”

כלומר 80% מתוך p  הם תלמידי שנה א.

נוכל לקבוע בעזרת חישוב אחוזים פשוט:

p (שנה א ∩ בעד) = 0.8p

ניתן גם לחשב בעזרת הסתברות מותנית:

p (שנה א ∩ בעד) = 0.8p

נוסיף לטבלה:

על פי המשפט “כי מספר תלמידי שנה א’ שבעד ההצעה שווה למספר תלמידי שנה ב’ שנגד ההצעה”

p (שנה א ∩ בעד) = p (שנה ב ∩ נגד) = 0.8p

נוסיף לטבלה ונשלים.

השאלה היא: “בחרו באקראי אחד מתלמידי שנה ב’. מהי ההסתברות שהוא נגד ההצעה?”

השאלה היא 0.8p מתוך p.

כלומר על פי ההיגיון נדע שהתשובה היא:

ובמבחן נכתוב כך:

הלקח מסעיף זה

הסעיף כולל מספר משפטים שעלינו לדעת להפוך אותם לטבלה.

כתוב “ידוע כי ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מבין תלמידי שנה א’ הוא בעד ההצעה, גדולה ב־ 13/35 מן ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מבין תלמידי שנה ב’ הוא בעד ההצעה.”

נכתוב את שני הדברים שהמשפט מדבר עליהם משני צדדי המשוואה:

נשים לב שאת השבר מימין ניתן לצמצם.

וכתוב שמה שמימין קטן יותר ולכן נוסיף לו 13/35.

5.6p = 4 – 4p

9.6p = 4

p = 5/12 = 0.4166

הלקח מסעיף זה

לדעת לבנות משוואה

נמלא את הטבלה עם הערך של p.

בעד ההצעה או שנה א נמצא בשלושת המקומות הבאים בטבלה.

סכום ההסתברויות הללו הוא:

8/12 = 0.75

הלקח מסעיף זה

להבין אלו הסתברויות כלולות ב “בעד ההצעה או שנה א “

מבין תלמידי שנה ב ההסתברות לבעד:

ההסתברות לנגד היא 0.8.

באלו מקרים יש לנו לפחות 2 בעד ולפחות 2 נגד?

• 2 בעד ו- 3 נגד.
• 3 בעד ו- 2 נגד:

לפחות 2 בעד ולפחות 2 נגד זה כולל את ההסתברויות:

3 בעד ו- 2 נגד:

2 בעד ו- 3 נגד:

ההסתברות המבוקשת היא סכום ההסתברויות:

הלקח מסעיף זה

להבין אלו אפשרות נכללות בלפחות 2 יצליחו וגם לפחות 2 יכשלו.

מדובר בשאלת הסתברות סטנדרטית שתלמידי 5 יחידות צריכים לדעת להתמודד איתה.

בעיניי סעיף א הוא הקשה יותר.

סעיפים ב,ג,ד גוללים ניסוחים עם קושי בינוני.

ΔACE ∼ ΔAEG

נסמן את הזוויות שאנו צריכים להוכיח כשוות.

כמובן שצריך להשתמש בנתונים הבולטים:

1. E חוצה את הקשת BC – ולכן שתי הזוויות השחורות שוות.
(זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות הן שוות)

2. GE משיק – ולכן על בסיס זווית בין משיק למיתר וגם זוויות היקפיות ניתן להגדיר הרבה זוויות באמצעות אותו משתנה (אלו הזוויות השחורות שבשרטוט).

3.אנו רואים שחלק משתי הזוויות האדומות שווה, לכן אנו בודקים אם ניתן להוכיח את החלק השני של הזווית האדומה.

וניתן להוכיח זאת על ידי זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר.

מצאנו שתי זוויות שוות ולכן המשולשים דומים.

דרך הוכחה נוספת

AE הוא מיתר נוסף הפוגש את המשיק GE.

ושתי הזוויות האדומות שוות על פי המשפט של זוויות בין משיק למיתר.

הלקח מסעיף זה:
1.שימוש בתכונה של זוויות בין משיק למיתר וזוויות היקפיות שוות – זה דבר נפוץ מאוד.

2.כאשר צריך להוכיח ששתי זוויות שוות וחלק מהזוויות הללו ידוע כשווה, נראה אם אנו יודעים להוכיח את החלק השני.

1.בסעיף הקודם הוכחנו דמיון משולשים ובסעיף הנוכחי קיבלנו גדלים של צלעות.

הפעולה הטבעית היא לבנות משוואה עם הצלעות הללו על פי יחס הדמיון.

קיבלנו משוואה שבה AC הוא הדבר היחיד שאינו ידוע וניתן למצוא אותו:

AC = 9

הלקח מסעיף זה
כאשר שני משולשים דומים הם בעלי צלע משותפת ניתן למצוא צלעות נוספות גם כשידועות שתי צלעות בלבד (במקרים “רגילים” צריך 3 צלעות)

דרך החשיבה לסעיף א

כדי לפתור את השאלה צריך להשתמש בנתונים כולם.

ובמיוחד תכונות הדלתון ומרובע החסום במעגל.

מצאו את זוויות המשולש AOC

תשובה:

∠ACO =  135

∠ACO =  45 – 0.5α

∠CAO  = 0.5α

הלקח מסעיף זה

1. תמיד לחפש מרובע החסום במעגל ושימוש במשפט שסכום זוויות נגדיות במרובע כזה הוא 180.
2. להסתכל קודם על התמונה הגדולה וממנה להגיע למה שמבקשים מאיתנו.
3. כאשר נתונה לנו זווית – לנסות להגדיר באמצעותה כמה שיותר דברים.
4. דלתון החסום במעגל הוא דלתון ישר זווית.

מצאנו כי:

∠ADC = ∠ABC = 90

AC = 2R
כי זווית היקפית ADC בת 90 מעלות נשענת על קוטר.

במשולש AOC על פי משפט הסינוסים נכתוב:

AO = 2R√2 sin (45 – 0.5α)

נתון:

AO  =  R√2

מצאו את α.

על פי הנתון נכתוב:

AO = 2R√2 sin (45 – 0.5α) =  R√2

sin (45 – 0.5α) = 0.5

45 – α

היא זווית במשולש, לכן הערכים שהיא יכולה לקבל הן בין (0 ל- 180).

45 – 0.5α = 30

α = 30

או

45 – 0.5α = 150

α = -210

α חיובית ולכן הפתרון היחיד הוא:

α = 30

המסקנות מסעיף זה

1. צריך לדעת לשלול פתרונות למשוואות טריגונומטריות.
2. כאשר אנו מוצאים זווית עלינו לשים אותה בשרטוט ולנסות להגיע למסקנות.

1.כאשר אנו מוצאים זווית עלינו לסמן אותה בשרטוט ולראות אם יש מסקנות מההצבה.

2.כאשר נותנים לנו את שטח הדלתון עלינו עלינו לבנות משוואה המגדירה את שטח הדלתון.

כאשר אנו מוצאים משתנה שהוגדר כזווית:

1. נסמן את הזוויות בשרטוט.
2. נבדוק אם יש מסקנות, דברים מיוחדים.

והדבר המיוחד שהדלתון מורכב משני משולשים שהם 30,60,90.

שטח הדלתון נתון – לכן נגדיר את שטח הדלתון באמצעות R וכך תהיה לנו משוואה.

שטח הדלתון מורכב משטח שני משולשים השווים בשטחם כי הם חופפים:

S_ABC  ≅ S_ADC

AB = AD,  DC = BC,
AC צלע משותפת

ולכן:

S_ABC  = S_ADC

S_ABCD = S_ABC  + S_ADC = 2S_ABC

נחשב את שטח משולש ABC:

במשולש ABC:

BC = 0.5AC = R
במשולש 30,60,90 הצלע שמול הזווית של ה 30 שווה למחצית היתר.

S_ABC = 0.5AC * BC * sin 60 = 0.5 * 25 √3

S_ABC = R *R * 0.5√3 = 0.5 * √3 * R²

S_ABCD  = 2S_ABC = √3 * R² = 25 √3

R² = 25

R = 5  או   R = -5

R הוא גודל חיובי ולכן הפתרון היחיד הוא R = 5

דרך פתרון נוספת

שטח דלתון ניתן לחשב על ידי מכפלת האלכסונים חלקי 2.

אנו יודעים:

AC = 2R

לכן מה שנותר זה להגדיר את BD.

כאשר נעביר את BD נראה שמשולש ABD הוא משולש שווה שוקיים עם זווית ראש שהיא 60.

לכן ניתן להוכיח שכל הזוויות הן 60 ושהמשולש הוא שווה צלעות.

במשולש ABC ניתן להגדיר את AB ואז:

BD = AB

הלקחים מסעיף זה

1. מצאנו זווית – לסמן אותה וזוויות אחרות בשרטוט ולראות אם יש מסקנות.
2. אם נתון שטח דלתון צריך לבנות משוואה המגדירה את שטח הדלתון.
3. שטח דלתון מורכב משטח של שני משולשים שווה שטח או ממכפלת האלכסונים חלקי 2.

1.כדי למצוא קטע שאינו משורטט עלינו לשרטט אותו. זה נכון במקרה זה וברוב המקרים. מקרה יוצא דופן הוא כאשר מבקשים למצוא רדיוס מעגל חוסם משולש ואז ניתן למצוא את הרדיוס גם מבלי לשרטט אותו על ידי משפט הסינוסים.

2.אם הגדרנו משהו בסעיף א הוא יכול לחזור אלינו בסעיף ד.

עלינו למצוא את המרחק בין O לבין מרכז המעגל החוסם.

נסמן M מרכז המעגל.

עלינו למצוא את OM – לכן נסמן אותו בשרטוט.

ניזכר כי בסעיף א מצאנו את AO ולאחר מיכן לא השתמשנו בו – זה צריך להראות לנו מוזר (כי בדרך כלל משתמשים).

AO = 2R√2 sin (45 – 0.5α)

AO = 2 * 5 * √2 * sin 30

AO =  5 * √2

בעזרת משפט הקוסינוסים במשולש AOM ניתן למצוא את OM.

OM² = (5 * √2)² + 5² – 2(5 * √2) * 5cos 15

OM² = 6.698

OM = 2.588 או  OM = – 2.588

אורך הצלע הוא גודל חיובי ולכן הפתרון היחיד OM = 2.588

הלקח מסעיף זה

1. ביקשו את OM ועלינו לשרטט אותו כדי למצוא אותו. (יוצא דופן בנושא הזה הוא רדיוס מעגל חוסם שנמצא בעזרת משפט הסינוסים גם מבלי לשרטט אותו).
2. לזכור שאם הגדרנו משהו בסעיף קודם הוא כנראה ישמש אותנו בסעיפים לאחר מיכן.

סך הכל שאלה קלה יחסית.

1.להסתכל קודם על התמונה הגדולה וממנה להגיע למה שמבקשים מאיתנו.

חייבים להשתמש בכל הנתונים כדי לפתור.

2.מרובע חסום במעגל – זה משפט שחייבים לבדוק אם יש לו שימוש בשאלה.

3.כאשר נתונה לנו זווית – לנסות להגדיר באמצעותה כמה שיותר דברים.

4.שטח דלתון מורכב משטח של שני משולשים שווה שטח או מכפלת אלכסונים.

מוכיחים זאת על ידי חפיפת משולשים צ.צ.צ.

5.דלתון חסום במעגל הוא בהכרח דלתון עם שתי זוויות ישרות ויש שתי דרכים להוכיח זאת.

6.מצאנו זווית – לסמן אותה וזוויות אחרות בשרטוט ולראות אם יש מסקנות.

7.אם רוצים שנמצא אורך של צלע – צריך לשרטט אותו (לרוב).

8.אם הגדרנו משהו בסעיף קודם הוא כנראה ישמש אותנו בסעיפים לאחר מיכן.

סעיף א1

אנכית: x = 0

אופקית : אין

סעיף א2

הוכחה

סעיף א3

√(2a), 0
-√(2a), 0

סעיף א4

עלייה: אין

ירידה:

x < 0

x > 0

סעיף א5

קעורה מעלה:

x > 0

קעורה מטה:

x < 0

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

a = 2

b = 3

סעיף ה

מינימום

אסימפטוטות מאונכות לציר ה x

עבור x = 0 הפונקציה לא מוגדרת.

כאשר x שואף ל 0 המכנה שואף ל 0.

המונה שואף  ל 2a – שהוא מספר חיובי כי a חיובי.

לכן x = 0 היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות המאונכות לציר ה y

כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.

2a זניח במונה.

והפונקציה מתנהגת כמו השבר:

הפונקציה לא שואפת למספר לכן אין אסימפטוטה אופקית.

עלינו להוכיח:

f(x) = – f(-x)

נציב x- בפונקציה.

עבור חיתוך עם ציר ה y

x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה ולכן אין חיתוך עם ציר ה y.

עבור חיתוך עם ציר ה x

נציב y = 0.

השבר שווה 0 כאשר המונה שווה 0:

2a – x² = 0

x² = 2a

x =±√(2a)

תשובה: נקודות החיתוך הן:

√(2a), 0
-√(2a), 0

נמצא את תחומי העלייה והירידה בעזרת הנגזרת.

המכנה חיובי לכל x והמונה שלילי לכל x  ולכן הנגזרת שלילית בכל התחום.

עלייה: אין

ירידה:

x < 0

x > 0

נבדוק קעירות מעלה ומטה באמצעות נגזרת שנייה:

המכנה חיובי בכל התחום והמונה משנה סימן לפי  x.

קעורה מעלה:

f ” (x) > 0

x > 0

קעורה מטה:

f ” (x) < 0

x < 0

אסימפטוטה אנכית x = 0 ,

נקודות חיתוך –

√(2a), 0

-√(2a), 0

פונקציה יורדת בכל התחום,

קעורה מטה עבור x שלילי ומעלה עבור x חיובי.

זה גרף הפונקציה המקורית:

זו ההזזה:

g (x) = ⌊ f (x) ⌋ – b

פעולת הערך המוחלט לא משפיעה על החלקים החיוביים ויוצרת שיקוף ביחס לציר ה x של החלקים השליליים.

לכן בנקודות החיתוך עם ציר x נוצרות נקודות קיצון “שפיץ” בהן גם הקעירות שלה מתחלפות.

(זה השרטוט ללא התייחסות ל b)

חיסור בקבוע b מוריד את ערכי הפונקציה למטה:

זהו גרף הפונקציה g (x).

נתון שאחת מנקודות הקיצון של g (x) היא

(2, -3)

מדובר בנקודה ברביע הרביעי, כלומר x חיובי ו-y שלילי.

בגרף ניתן לראות שמדובר בנקודה

(√2a, -b)

נשווה ערכי x:

√(2a) = 2

2a = 4

a = 2

ונשווה ערכי y:

-b = -3

b = 3

נתונה פונקציה:

כלומר:

s ‘ (x) = g(x)

אנו רואים שכאשר x > 1 הנגזרת s ‘ (x)  חותכת פעם אחת את ציר ה x והנגזרת עוברת משלילית לחיוביות.

לכן זו נקודת מינימום.

דרך פתרון נוספת

האינטגרל הוא השטח הכלוא בין ציר ה-x לבין g(x) מהנקודה 1 עד נקודה x כלשהי.

נבדוק מה ערך הפונקציה בנקודה 1:

g (1) = ⌊ f (1) ⌋ – 3 =

= ⌊ (4 – 1) / 1 ⌋ – 3 = 0

אז ערך הפונקציה s(x) הוא סכום השטחים הכלואים:

בחלקים שבהם סכום השטחים שלילי הפונקציה s(x) יורדת, ובחלקים שבהם סכום השטחים חיובי היא עולה.

ניתן לראות מהגרף שבהתחלה הסכום שלילי ואז בנקודה כלשהי הוא ייתאפס,
כלומר השטח הכחול שווה לשטח הורוד.
לאחר מכן השטח הורוד גדול יותר ולכן הסכום יהיה חיובי.

מכך, נקודת הקיצון של הפונקציה s(x) תהיה נקודת מינימום.

סעיף א1

עלייה:

x < 0

ירידה:

0 < x < a

סעיף א2

אחת

סעיף ב

סעיף ג

1

סעיף ד

a = 2

סעיף ה

5/24

מתי שגרף הנגזרת חיובי נקבל עלייה בפונקצייה וכשהנגזרת שלילית תהיה ירידה בפונקציה.

עלייה:

x < 0

ירידה:

0 < x < a

נקודת פיתול של הפונקציה היא נקודת קיצון של הנגזרת.

ניתן לראות בגרף שקיימת אחת כזו לנגזרת,

לכן יש לפונקצייה נקודת פיתול אחת.

a > 0

תחום הגדרה:

x ≠ 0

x ≤ a

אסימפטוטות:

אנכית – x = 0

אופקית – y = 0

נתונה הנקודה –

(a , 0)

עלייה:

x < 0

ירידה:

0 < x < a

ויש נקודת פיתול אחד בתחום

0 < x < a

נבדוק בדרך השלילה.

מהגרף שלנו ניתן לראות שהפונקציה חיובית בכל תחום הגדרתה.

אפשרויות (3) ו- (4) נפסלות, כיוון שהמונה שלהם חיובי בתחום אבל המכנה מחליף סימן.

נותרנו עם אפשרויות (1) ו-(2).

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא

x ≤ a

0  ≤ a – x

האפשרות שיש לה תחום הגדרה זה בעקבות השורש היא (1).

ב-(2) התחום הפוך:

0  ≤ x – a

לכן הפונקציה שנגזרתה מתאימה לגרף היא (1).

נתון : f ‘ ( – 2) = 7 / 16

נגזור ונציב:

6 + 4a = 7√(a + 2)

(6 + 4a)² = 49 (a + 2)

36 + 48a +16a² = 49a + 98

16a² – a – 62 = 0

תחום ההגדרה של a:

a > 0

נפתור בעזרת מחשבון:

a₁ = 2 > 0

a₂ = – 62/ 32 < 0

השני נפסל בגלל תחום ההגדרה של a וקיבלנו a = 2.

השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ²(f(x)) , ציר ה־ x ועל ידי הישר x = 1.

העלאת הפונקציה בריבוע תשנה רק את ערכי ה-y שלה לכל x.

לכן נקודות החיתוך יישארו זהות, ובמקרה שלנו זו הנקודה –

( 2 , 0)

נתבונן בגרף.

השטח המבוקש כלוא בין הנקודות 1 ו- 2.

סעיף א

סעיף ב

DE  = √(54)

מבקשים שנמצא את אורך הצלע כביטוי של x הזווית. נסמן את הצלע t.

כל צלעות המעוין שוות.

נתון שהנקודה E נמצאת במרכז הצלע BC-

BE = CE = t /2

נשרטט את המעוין:

נתון ששטח המשולש ECD הוא 18.

נחשב את השטח באמצעות הנוסחה הטריגונומטרית:

S_ECD = 0.5 · CE · DC · sin(x) =

= 0.5 · (0.5 t) · t · sin(x) =

= 0.25 t² · sin(x) = 18

ממשפט פיתגורס:

DE² = DC² – CE² =
= t² – 0.25 t² = 0.75 t² =
= 54 / sinx

נגדיר פונקציה:

f(x) = √(54 / sinx)

תחום ההגדרה שלה:

sinx ≠ 0

x ≠ 0 , π

נשים לב כי גיאומטרית מספיק להסתכל רק בין 0 עד 180 מעלות.

תחום ההגדרה לזווית :

0 ≤ x ≤ π

כדי למצוא את אורך הצלע המינימלי נמצא את הזווית x עבורו הצלע מינימלית
ונציב בפונקציה לקבלת אורך הצלע עצמה.

מומלץ לגזור בשלבים כמו שמודגם כאן, על מנת למנוע טעויות בנגזרות מורכבות.

נקודת הקיצון החשודה בתחום ההגדרה:

cosx = 0

x = π / 2

נבדוק שאכן נקודת מינימום:

המכנה תמיד חיובי כי sin x חיובי בתחום ההגדרה.

אז מספיק להציב במונה (לא לשכוח את המינוס) כדי למצוא סימן.

f ‘ (π / 3) = – 2.279

f ‘ (3π / 4) = 4.369

אז עבור x = π / 2 אורך הצלע DE מינימלי.

נמצא את הגודל של DE:

DE = f ( π / 2) = √( 54 / sin(π / 2) ) = √(54)

מצאנו שאורך הצלע המינימלי הוא שורש 54.