פתרון בגרות במתמטיקה חורף 2020 שאלון 581

סעיף א

V₁ = 75

60 = V₂

סעיף ב

מקרה 1- לפני העצירה: 12 דקות.

מקרה 2- בזמן שהמכונית עצרה: 18 דקות.

מקרה 3- לאחר העצירה: 90 דקות.

טבלה המתארת את תנועתן של המשאית והמכונית בכל שלב:

משוואה 1:
על פי המשפט “המשאית חלפה על פני המכונית 3 דקות לאחר שהמכונית עצרה בצד הדרך”:
מכיוון ששתיהן יצאו באותו הזמן ונפגשו בנקודה מסויימת, ניתן לדעת שהזמן שעברה כל אחת מהן עד הפגישה זהה.
הזמן שעברה המכונית עד הפגישה = הזמן שעברה המשאית עד הפגישה

משוואה 2:
על פי המשפט “המכונית והמשאית הגיעו לעיר ב’ באותו הזמן”:
מכיוון ששתיהן יצאו באותו הזמן והגיעו באותו הזמן, סך כל הזמן של כל אחת זהה.
סך הכל הזמן של המכונית = סך הכל הזמן של המשאית

בצד שמאל- סכימת זמן נסיעת המשאית עד שחלפה על פני המכונית והזמן לאחר מכן.
בצד ימין- סכימת הזמן עד העצירה, העצירה כולה (חצי שעה) ולאחר העצירה.

התקבלו 2 משוואות עם 2 נעלמים:

נחסר את משוואה 1 ממשוואה 2 ונקבל:

81 = 1.35*V₂
60 = V₂

נציב במשוואה 1 למציאת V₁:

V₁ = 75

ישנם שלושה מקרים בהם המרחק ביניהן עשוי להיות 3 ק”מ:
1. לפני העצירה
2. בזמן שהמכונית עצרה
3. אחרי העצירה

נבדוק עבור כל מקרה בנפרד:

מקרה 1- לפני העצירה:

נסמן את הזמן עד שהמרחק ביניהן היה 3 ק”מ כ t.

המרחק ביניהן הוא 3 ק”מ כאשר:

3 = (הדרך שעברה המשאית) – (הדרך שעברה המכונית)
75t – 60t = 3
15t = 3 / :15
t = 0.2
נכפיל ב60 למציאת הזמן ביחידות של דקות:

0.2*60 = 12

כלומר כעבור 12 דקות.

מקרה 2- בזמן שהמכונית עצרה:

הזמן שעבר עד עצירה המכונית:

15/75 = 0.2

12 דקות.

לאחר 3 דקות מרגע העצירה, המכונית חלפה על פניה, כלומר הן נפגשו כעבור 15 דקות.

נבדוק כמה זמן חלף מרגע המפגש ועד שהמרחק ביניהן 3 ק”מ.
מכיוון שהמכונית בשלב זה בעצירה ומהירותה 0, נבדוק את הדרך של המשאית בלבד:

כלומר כעבור 1/20 שעות (3 דקות) מרגע המפגש, המרחק ביניהן 3 ק”מ.

נחשב כמה זמן חלף מתחילת תנועתן ועד לנקודה זו:

15+3=18

18 דקות.

מקרה 3- לאחר העצירה:

המהירות היחסית בין המכונית למשאית היא  30=90-60
פער של 3 ק”מ בהפרש מהירויות של 30 קמ”ש ייסגר כעבור:

3/30 = 1/10

כעבור 6 דקות.

אנו יודעים שהמכונית והמשאית הגיעו ליעדן באותו הזמן, כלומר הפער נסגר בסיום התנועה.

זמן התנועה הכולל הוא:

96/60 = 8/5

96 דקות.

הזמן שבו המרחק ביניהן היה 3 ק”מ הוא 6 דקות לפני סיום התנועה:

96-6=90

90 דקות.

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

a₁ = p + k – 1

סעיף ב1

a₁ = 6

סעיף ב2

סעיף ג

200

נתון כי הסדרה a_n היא סדרה חשבונית.

2 מאבריה הם a_k= p , a_p = k

דרך קצרה: להגדיר את a_p באמצעות a_k

מכוון שבכל מקרה נצטרך לשלב במשוואה אחת בין a_p , a_k נעשה את זה כבר מההתחלה ונחסוך עבודה.

a_p = a_k + (p – k) d

k = p + (p – k )d

המטרה שלנו היא לבודד את d.

k – p = (p – k )d

– (p – k) = (p – k) d

p ≠ k ולכן  p – k  שונה מ 0 וניתן לחלק ב p – k.

-1 = d

דרך סטנדרטית

נשתמש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית עבור 2 האיברים:

a_n = a₁ + (n-1)*d
a_k = a₁ + (k – 1)*d
a_p = a₁ + (p-1)*d

נחסר בין המשוואות:

a_p – a_k = a₁ + (p-1)*d – [a₁ + (k-1)*d] a_p – a_k = p*d – d – k*d + d = d*(p – k)

נציב את הנתונים: a_k=p , a_p = k

k-p = d*(p-k) = -d (k-p)  /: (k-p)
1 = -d   / :(-1)
d = -1

נציב את הנתון שקיבלנו בנוסחה.

נציב d=-1 באחת המשוואות שמצאנו:

a_k = a₁ + (k-1)*d
p = a₁ + (k-1)*(-1)
p = a₁ – k + 1
a₁ = p + k – 1

סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה C_n הוא אפס ולכן:

C₁ + C₂ + C₃ + C₄ + C₅ + C₆ = 0
a₁ – 1 + a₂ – 2 + a₃ – 3 + ….. + a₆ – 6 = 0
a₁ + a₂ + a₃ + ….. + a₆ – ( 1 + 2 + 3 + …. + 6 ) = 0
S₆ – 21 = 0
S₆ = 21

נביע את S₆ באמצעות נוסחת סכום סדרה חשבונית:

S₆ = 3*(2a₁ – 5)
S₆ = 6a₁ – 15
21 = 6a₁ – 15
36 = 6a₁ /:6
a₁ = 6

בסעיף א’ מצאנו את הקשר:

a₁ = p + k – 1

נציב את a₁  מהסעיף הקודם:

6 = p + k – 1
p + k = 7

ידוע שהם מספרים טבעיים וש k<p ולכן האפשרויות הקיימות הן:

נמצא את האיבר הכללי של הסדרה:

(C_n – C_n+1 )² = [(a_n – n) – (a_n+1 – n – 1)]² =
(a_n – n – a_n+1 + n + 1)² = (a_n – a_n+1 + 1)² =
(-d + 1)² = (1+1)² = 4

קיבלנו שהאיבר הכללי של הסדרה הוא קבוע ושווה ל-4.
בסדרה 50 איברים, לכן נסכום את 4 50 פעמים:

4 + 4 + 4 +… + 4 = 4*50 = 200

סעיף א

מספר הכדורים הכחולים הוא 8
מספר הכדורים האדומים הוא 4

סעיף ב

הוסיפו 30 כדורים צהובים.

סעיף ג

14/55

נסמן:
x מספר הכדורים הכחולים
בקופסא יש 12 כדורים בסך הכל ולכן מספר הכדורים האדומים הוא:

12-x

נתאר את הנתונים בעץ:

נעזר בנתון: “ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו היו בצבעים שונים היא 4/9”.
קיימות 2 אפשרויות להוצאת כדורים בצבעים שונים:
1. בפעם הראשונה הוציאו אדום, בפעם השנייה הוציאו כחול.
2. בפעם הראשונה הוציאו כחול, בפעם השנייה הוציאו אדום.

נסכום את ההסתברויות למקרים האלו:

18x(12 – x) = 4*144
216x – 18x² = 576 / :(-18)
-12x + x² = -32
x² – 12x + 32 = 0
(x – 8)*(x – 4) = 0
x=8  ,   x=4

(ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת מחשבון)

ידוע שרובם כחולים ולכן:
מספר הכדורים הכחולים הוא 8
מספר הכדורים האדומים הוא 4

y = מספר הכדורים הצהובים שהוסיפו לקופסא

נתאר את הנתונים החדשים בעץ:

נתון “ההסתברות שהוציאו שני כדורים בצבעים שונים היא 4/9”
כלומר ההסתברות שהוציאו שני כדורים בעלי צבעים זהים (ההסתברות המשלימה) היא:

1-(4/9) = 5/9

קיימים 3 מקרים בהם הוצאו שני כדורים בעלי אותו הצבע:
1. אדום-אדום
2. כחול-כחול
3. צהוב-צהוב

נסכום את ההסתברויות ונשווה ל5/9:

9(16 + 64 + y²) = 5(12 + y)²
144 + 576 + 9y² = 5(144 + 24y + y²)
144 + 576 + 9y² = 720 +120y + 5y²
4y²-120y = 0
4y(y – 30) = 0
y = 0  , y = 30

(ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת מחשבון).

מכיוון שy מייצג את מספר הכדורים הצהובים, הוא גדול מ-0
כלומר הוסיפו 30 כדורים צהובים.

נתאר את המצב החדש בעץ:

ההסתברות שמספר ההוצאות עד להוצאת כדור אדום קטן או שווה ל-3:

ההסתברות המשלימה היא ההסתברות שמספר ההוצאות גדול מ-3:

1-(41/55) = 14/55

סעיף א,ב,ג

הוכחה

סעיף ד

נשרטט את המשולש המתואר:

על מנת להוכיח שמרובע הוא בר חסימה, עלינו להראות שסכום זוג זוויות נגדיות שלו שווה ל180 מעלות.

נעשה זאת בעזרת הגדרת הזווית הירוקה כ- α ואז הגדרת שאר הזוויות באמצעותה.

נחבר את הקטע BF:

בסעיף זה נוכיח BEF = 90 (זווית היקפית הנשענת על קוטר)

ואז ניתן לפתור את השאלה בשתי דרכים:

1. להגיד ש- BF הוא חוצה זווית כי שלושת חוצה הזווית במשולש נפגשים בנקודה אחת ואז להשלים זוויות.
2. מכוון ש- CF הוא חוצה זווית וגובה AC = BC ומכאן ניתן להגיע שהמשולש שווה צלעות.

סעיף זה נשען על המשפט:
נקודת מפגש התיכונים במשולש מחלקת את התיכון ביחס של 1:2.

בסעיף זה ניתן להוכיח כי KL || AC.
ואז למצוא את היחס המבוקש בעזרת דמיון משולשים או משפט תאלס.

על פי משפט תאלס במשולש CBG

על פי ההרחבה הראשונה של משפט תאלס במשולש ABC:

משני השוויונות הללו נקבל את התשובה:

כאשר אנו צריכים להוכיח שוויון מהסוג הזה: משוואה הכוללת שתי צלעות שאינן באותו משולש, ושאין גם אפשרות להשתמש בדמיון משולשים / משפט תאלס / משפט חוצה הזווית או פרופורציה אחרת אז על מנת לבנות משוואה תהיה לרוב צלע שלישית שניתן לבנות את השוויון בעזרתה.

במקרה הזה זו הצלע DG = FN.

כמו כן ניתן להעביר את ß למשולש ADG.

ואז לחשב במשולש ADG.

גם כאן יש לנו בניית משוואה על ידי מציאת שני גדלים השווים לצלע אחת.

מהמשוואה של סעיף א נוכל להביע את FN.

נוכל להביע את FN גם במשולש FNC.

משתי ההבעות הללו נוכל ליצור משוואה.

סעיף ב הוא סעיף מעניין.

בדרך כלל אנו רגילים במצב זה למצוא את אחת מצלעות משולש BDF ואז לבנות משוואה.

בתרגיל זה זה לא ניתן, כי אין משולש עם צלע משותפת ממנו אפשר להביא נתונים (ולא ניתן להביא גם רק חלק מצלע משותפת)

מה שאפשר לעשות

זה להגדיר שתי צלעות במשולש DBF באמצעות משתנה (ניתן לעשות זאת כי אנו יודעים את כל הזוויות של BDF) ואז לבנות משוואה ולמצוא את אותו משתנה.

את כל אחד מהרדיוסים נחשב בעזרת משפט הסינוסים במשולש שלו.

עלינו לכלול במשפט הסינוסים צלעות או זוויות שיצטמצמו.

ניתן לבחור את:

או את:

בסעיף זה יש לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישוב על פי משפט הסינוסים.

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

a = 28.955

סעיף ב

DF=16.512

סעיף ג

שלב א: נשתמש במשוואה שבנינו על מנת להגדיר את FN.

AD = 7,  FC = 4.

שלב ב: נגדיר את AD = FN במשולש FNC.

על פי משפט הסינוסים:

שלב ג: נבנה משוואה 

4sin2a = 7sina

4 * 2sin a cos a = 7sina
8cos a = 7
cos a = 0.875

a = 28.955

סעיף א1

2π/3≥x≥0  או 4π/3≥x≥2π/3  או 2π≥x≥4π/3

סעיף א2

(1-,0) מקסימום
(3/2, π) מינימום
(1-, 2π) מקסימום

סעיף א3

סעיף ב1

סעיף ב2

מעל נקודת המינימום:  k > 3.5

בחלקו התחתון של הגרף:

1≥ k >0

סעיף ג

אי השוויון לא מתקיים לכל x בתחום ההגדרה.

תחום ההגדרה של הפונקציה, כאשר המכנה שונה מאפס.

2cos²x – 5cox – 3 ≠ 0
cosx = t
2t² – 5t – 3 = 0
t = 3  , t = -0.5

נחזיר להצבת קוסינוס:

cosx = 3
פונקציית קוסינוס מתקיימת רק בין 0 ל-1 ולכן לא מוגדר

cosx = -0.5
x = 120 + 360k
x = -120 + 360k

עבור k=0:
x=120=2π/3

עבור k=1:
x=-120+360=240=4π/3

x≠2π/3,4π/3
וגם

2π≥x≥0

כלומר תחום ההגדרה הוא:

2π/3≥x≥0  או 4π/3≥x≥2π/3  או 2π≥x≥4π/3

נקודות הקיצון של הפונקציה:
נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0

0 = -6*( -4cosx*sinx + 5sinx)
0 = 6sinx (4cosx – 5)
4cosx = 5
cosx = 5/4
קוסינוס מוגדר בין 0 ל-1 ולא לא ייתכן
או
sinx = 0
x = 0+360k
x = 180 + 360k

נציב ערכי k בתחום:
x = 360k
עבור k=0:
x=0
עבור k=1:
x=360=2π

x = 180 + 360k
עבור k=0:
x=180=π

מציאת סוג הנקודה:

f'(π/3) = 6sin(π/3) *[4cos(π/3) – 5] < 0
f'(4π/5) = 6sin(4π/5) *[4cos(4π/5) – 5] < 0
f'(5π/4) = 6sin(5π/4) *[4cos(5π/4) – 5] > 0
f'(5π/3) = 6sin(5π/3) *[4cos(5π/3) – 5] > 0

הצבת הנקודות בפונקצייה המקורית למציאת ערך y:

f(0) = 6/(2-5-3) = -1
f(π) = 6/(2+5-3) = 3/2
f(2π) = 6/(2-5-3) = -1

כלומר נקודות הקיצון הן:
(1-,0) מקסימום
(3/2, π) מינימום
(1-, 2π) מקסימום

h(x) = | f(x) + 2 |

הוספת המספר 2 לפונקציה, מעלה אותה 2 יחידות כלפי מעלה (בציר הY).
הערך המוחלט גורם לשיקוף של הפונקציה בצד החיובי של ציר הY ולכן היא תראה כך:

כדי שהישר y=k יחתוך את גרף הפונקציה ב4 נקודות יש 2 אפשרויות:
1. מעל נקודת המינימום.
2. בחלקו התחתון של הגרף.

מעל נקודת המינימום:
מכיוון שערך הY של נקודת המינימום המקורית הוא 3/2=1.5
והעלינו את הגרף 2 יחידות כלפי מעלה
ערך הY של נקודת המינימום החדשה הוא 3.5
כלומר כאשר k>3.5

בחלקו התחתון של הגרף:

1≥k>0

נעזר בכלל עבור מספרים ממשיים:

|a+b| = |a| + |b|

במקרה זה:

| f(x) + 2 | = |f(x)| + |2| = |f(x)| + 2

כלומר בתחומים בהם הפונקציה f שלילית, אי השוויון מתקיים.
בתחומים בהם f היא אי-שלילית, זה לא מתקיים.
מכאן:
אי השוויון לא מתקיים לכל x בתחום ההגדרה.

סעיף א1

תחומי עלייה- אין
תחומי ירידה-

x>0.5

0.5>x>-0.5

x < -0.5

סעיף א2

תחומי חיובית:

x>0.5

0>x>-0.5

תחומי שליליות:

x<-0.5

0.5>x>0

סעיף ב1

x>0.5

0≥x>-0.5

סעיף ב2

x=0.5 , x=-0.5

y=0

סעיף ג1

סעיף ג2

סעיף ד

x>0.5

מציאת תחומי עליה וירידה:

נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:

0 = 12x² – 3 – 24x²
0 = -12x² – 3
12x² = -3
x² = -0.25
אין פתרון

נציב בטבלה למציאת תחומי עלייה וירידה:

f'(-1) = -12*(-1)² – 3 = -12-3 < 0
f'(0) = 0 -3 < 0
f'(1) = -12*(1)² – 3 = -12-3 < 0

תחומי עלייה- אין
תחומי ירידה-

x>0.5

0.5>x>-0.5

x < -0.5

תחומי חיוביות ושליליות:
הפונקציה חיובית כאשר היא נמצאת מעל ציר הx ושלילית כאשר נמצאת מתחת לציר הx.
נמצא את נקודות החיתוך עם הציר:

נציב y=0 במשוואת הפונקציה:

0 = 3x/(4x²-1)
0 = 3x / :3
x = 0

נבדוק האם הפונקציה חיובית או שלילית בכל אחד מהתחומים:

כאשר x<-0.5:

f(-1) = [3*(-1)]/ (4-1) = -1

0>x>-0.5

f(-0.25) = 3/5

0.5>x>0

f(0.25) = -3/5

x>0.5

f(1) = 1

תחומי חיובית:

x>0.5

0>x>-0.5

תחומי שליליות:

x<-0.5

0.5>x>0

תחום ההגדרה של הפונקציה הנתונה:

כאשר המכנה שונה מאפס ותוכן השורש גדול שווה ל-0 כלומר:

0≤f(x)

תחומי החיובית של הפונקציה המקורית:

x>0.5

0≥x>-0.5

האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה:
לפי תחום ההגדרה שלה
x=0.5 , x=-0.5

אסימפטוטות אופקיות:
החזקה הגבוהה יותר נמצאת במכנה ולכן y=0

שרטוט פונקציית הנגזרת:

g'(x) = f'(x) / (2*√f(x))

האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה מוגדרות על פי תחום ההגדרה שלה, כלומר כאשר:

f(x)=0

לכן מדובר בנקודות החיתוך של הפונקציה המקורית עם ציר הx:
x=0, x=0.5, x=-0.5

מהסעיפים הקודמים אנו יודעים שהנגזרת שלילית בכל תחום הגדרתה.
בנוסף, נקודת הפיתול של הפונקציה המקורית היא נקודת הקיצון של הנגזרת.
אנו יודעים שלפונקציה נקודת פיתול אחד בלבד ששיעור הX שלה שלילי
לכן, לפונקציית הנגזרת נקודת קיצון אחת בעלת שיעור X שלילי.

נתונה הפונקציה:

h(x) = √(3x) / √(4x²-1)

תחום ההגדרה מורכב ממספר גורמים:
עבור המונה- תוכן השורש גדול שווה מאפס
3x ≥ 0
x ≥ 0

עבור המכנה- תוכן השורש גדול מאפס

4x²-1 > 0
4x² > 1
x² > 0.25
x>0.5 , x<-0.5

נאחד את התחומים:

x>0.5

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

השטח המינימלי מתקבל עבור t=1/√3

סעיף ג

טענה 1 נכונה

טענה 2 אינה נכונה

נמצא את ערך y של נקודת ההשקה באמצעות t:

f(t) = -t² + 1
(t,-t²+1)

שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה מהווה את הנגזרת.
נגזור ונציב x=t למציאת השיפוע:

f ‘ (x) = -2x
f ‘ (t) = -2t

נציב במשוואת הקו הישר:

y-y₁ = m*(x-x₁)
y-(-t²+1) = (-2t )*(x-t)
y + t² – 1 = -2t*x + 2t²
y = -2t*x + t² + 1

השטח S מורכב משטח המשולש פחות השטח המנוקד.
נמצא כל אחד מהשטחים ונחסר ביניהם.

מציאת שטח המשולש:
נמצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים וכך נדע את אורכי צלעות המשולש.

נקודות חיתוך עם ציר ה x:

נציב y=0 במשוואת הישר-

0 = -2t*x + t² + 1
2tx = t² + 1
x = (t² + 1)/2t

נקודות החיתוך עם ציר ה y:

נציב x = 0 במשוואת הישר-

y = -2t*0 + t² + 1
y = t² + 1

המשולש שהתקבל:

שטח המשולש מחושב על ידי מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד חלקי 2 ולכן:

S = (t² + 1)*[(t² + 1)/2t]/2 = (t² + 1)² / 4t

חישוב השטח המנוקד:

על מנת למצוא את גבולות התחום המקוקו, נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר הX.
נציב y=0 במשוואה הפרבולה:

0 = -x² + 1
x² = 1
x = -1,  x=1

כלומר השטח המקווקו תחום בין x=0 לx=1 ומתחת לפונקציה:

S = ∫₀¹ (-x² + 1) dx = [ (-x³/3)+x  ]₀¹ =
-1/3 + 1 – 0 = 2/3

השטח המקווקו הוא חיסור השטחים, זו הפונקציה המתארת את השטח:

נגזור על מנת למצוא את נקודת המינימום:

השבר שווה 0 כאשר המונה שווה 0.

הביטוי היחיד במונה שיכול להתאפס הוא:

3t² – 1 = 0

3t² = 1
t² = 1/3
t = ± 1/√3

אנו יודעים שt חיובי ולכן t=1/√3

השטח המינימלי מתקבל עבור t=1/√3

האם קיים ערך של t עבורו הביטוי:

הוא מינימלי או מקסימלי?

פתרון

המונה הוא גודל קבוע השווה ל:

A = 2/3

המכנה s הוא גודל חיובי.

למכנה יש ערך מינימלי חיובי הגורם לשבר להיות מקסימלי.

לכן טענה 1 נכונה.

למכנה אין נקודת מקסימום חיובי ולכן הטענה השנייה אינה נכונה.