בעיות גידול ודעיכה 4 יחידות

גידול ודעיכה זה נושא הקשור לפונקציה מעריכית.

כאן בדף נעבור על היסודות החשובים שהם להכיר את המשוואה של גידול ודעיכה ולדעת למצוא את הנעלמים שבה.

אבל אם תתקלו בשאלה מסוג זה בבגרות סביר שהשאלה תהיה יותר קשה מהשאלות בדף זה, לרוב בגלל שהיא תכלול יותר שלבים.

החלקים של דף זה הם:

1. מה זה גידול ודעיכה.
2. הנוסחה של גידול ודעיכה.
3. כיצד מחשבים את q.
4. כיצד מחשבים את t.
5. שני מכשולים נוספים בשאלות.
6. תרגילים בסיסיים.

1.מה זה גידול ודעיכה

כאשר משהו גדל או קטן באופן קבוע ולאורך זמן זו שאלה שניתן לפתור בעזרת הנוסחה של גידול ודעיכה.

למשל:

1. מחיר של בית העולה כל שנה ב- 10%.
2. מחיר של מכונית היורד כל שנה ב- 10%.
3. כמות אוכלוסייה העולה כל שנה ב- 3%.
4. אדם המשמין כל שנה ב- 2%.

החלקים של דף זה הם:

1. הנוסחה של גידול ודעיכה.
2. כיצד למצוא את q.
3. 2 מכשולים בולטים בשאלות בגרות.
4. 4 שאלות הגנה ברמת בגרות.
5. פתרונות לשאלות מהבגרות.

2.הנוסחה של גידול ודעיכה

הנוסחה שתשמש אותכם לפתרון השאלות היא:

M_t = M₀q^t

M₀ – הכמות בהתחלה, בזמן אפס.
M_t – הכמות המתקבלת לאחר t זמן.
t – הזמן שעבר.
q – קצב הגדילה או הדעיכה.
למשל אם שיעור אוכלוסיה גדל ב 5% בשנה.
אז q=1.05.

1. q הוא תמיד מספר חיובי.
2. כאשר q > 1 הכמות גדלה.
3. כאשר q מספר בין 0 ל- 1 הכמות קטנה.

הערה
שימו לב לסדר פעולות חשבון!
בנוסחה
M_t=M₀q^t
פעולה החזקה קודמת לכל הפעולות האחרות.

אם למשל המשוואה שקיבלתם היא:
m_t = 5*2³
אז הפעולה הראשונה שאתם עושים היא החזקה.
m_t = 5*8
ורק לאחר מיכן מחשבים את הכפל.
m_t = 5*8 = 40

3.כיצד מחשבים את q 

בשאלות שתפתרו תקבלו את המשתנים M_t, M₀, t מוכנים להצבה בנוסחה M_t=M₀q^t.
אבל את q אתם תצטרכו למצוא.
ברוב השאלות אתם תקבלו מספר אחוזים ואתם תצטרכו להפוך את זה לערך q.
למשל יכתבו קצב גדילה של 12% ואתם תצטרכו להפוך את זה ל q = 1.12
או קטן בקצב של 20% ואתם תהפכו את זה ל q = 0.8

כאשר הכמות גדלה ב %n בשנה הנוסחה היא:

לדוגמה:
כמות הקונים בחנות גדלה ב 7% בשנה. מה הוא q?
נציב בנוסחה שלמעלה ונקבל:

כאשר הכמות קטנה ב %n בשנה הנוסחה היא:

לדוגמה:
ערך רכב קטן בכול שנה ב 15%. מה הוא q?
נציב בנוסחה ונקבל:

דוגמאות מהירות נוספות.
דוגמאות של גידול
8%  ⇐   q = 1.08
15%  ⇐   q = 1.15
50%  ⇐   q = 1.5
3%  ⇐   q = 1.03

דוגמאות של ירידה
8%  ⇐   q = 0.92
14%  ⇐   q = 0.86
50%  ⇐   q = 0.5
10%  ⇐   q = 0.9

4.מה עושים כאשר הנעלם הוא t המופיע בחזקה?

בבעיות גידול ודעיכה לפעמים נקבל משוואה שבה המשתנה נמצא בחזקה
0.6^t = 0.216

תרגילים מסוג זה פותרים בעזרת הפונקציה ln (בעברית: לן).

מה היא הפונקציה ln?
זו פונקציה לוגריתמית.

ומה שחשוב שתדעו עליה הוא שכאשר אתם תכתבו במחשבון
ln 4
ln 10
או ln של כל מספר אחר אתם תקבלו מספר.

בכך פונקציית ה ln דומה לפונקציית ה sin, גם:
sin 30
sin 45
הם מספרים.

למשל:
ln  4 = 1.386
ln 10 = 2.302

החוק של ln שבעזרתו פותרים

לפונקציית ה ln יש חוקים ואחד החוקים מאפשר לנו להוריד משתנה הנמצא בחזקה, כך שנקבל משוואה רגילה.
החוק נכתב כך:
ln x^t = t * ln x
אנו רואים שמצד שמאל המשתנה t נמצא בחזקה ומצד ימין ה t ירד מהחזקה.

דוגמאות:
ln 0.6^t = t * ln 0.6
ln 3⁸ = 8ln 3
ln 9⁶ = 6ln 9
ln 4⁹ = 9ln 4

תרגילים

כתבו את הביטויים הבאים ללא חזקה:

תרגיל 1:   ln 5⁴
פתרון
4ln 5

תרגיל 2:   ln 2⁸
פתרון
8ln 2

תרגיל 3:   ln 7^-6
פתרון
6ln 7-

תרגיל 4:   ln 10²
פתרון
2ln 10

תכלס, כיצד פותרים את המשוואה

כיצד נפתור את המשוואה
0.6^t = 0.216
?

שלב ראשון: נכתוב ln משני צדדי המשוואה
ln 0.6^t = ln 0.216

שלב שני: בצד שמאל של המשוואה נוריד את הנעלם t מהחזקה על פי הכלל שלמדנו קודם לכן
t * ln 0.6 = ln 0.216

שלב שלישי: עכשיו יש לנו משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה
t * ln 0.6 = ln 0.216

נחלק את שני צדדי המשוואה ב ln 0.6 ונקבל:

t = 3

מי שרוצה היה גם יכול לכתוב כך:
(אני מתחיל מהשלב השני).
t * ln 0.6 = ln 0.216
t * -0.51 = – 1.532

דוגמה 2
5^t = 625

נכתוב ln משני צדדי המשוואה
ln 5^t = ln 625

נוריד את t מהחזקה בעזרת הכלל שלמדנו
t ln 5 = ln 625

נחלק את שני צדדי המשוואה ב ln 5 ונקבל:

t = 3

דוגמה לפתרון שאלה מלאה
מחיר מכונית הוא 50,000 שקלים והוא יורד בכול שנה ב 10%.
כעבור כמה שנים מחיר המכונית יהיה 32,805 שקלים?

פתרון
M₀= 50,000
זה המחיר בזמן ההתחלתי.

M_t= 32,805
זה המחיר לאחר t שנים.

q=0.9
המחיר יורד ב 10% כל שנה.

t=?
מספר השנים חסר.

נציב את הנתונים בנוסחה:
M_t=M₀q^t

נציב את הנתונים בנוסחה:
M₀q^t = M_t
32805 = 50000 * 0.9^t
0.9^t = 32805 : 50000
0.9^t = 0.6561
t lan 0.9 = lan 0.651
t = lan 0.651  :  lan 0.9 = 4.07

תשובה: כעבור 4.07 שנים מחיר המכונית יהיה 32.805 שקלים.

5.שלוש מכשולים נוספים בשאלות 

ברוב השאלות אתם צריכים לזהות את m₀, m_t, q, n בשאלה ולהציב אותם בנוסחה:
M_t=M₀q^t
זה הכל.

אבל בחלק מהשאלות יש דברים שיכולים להכשיל אותכם, והם כתובים כאן:

1.מה עושים כאשר מבקשים ממכם ללכת שנים לאחור?

מה עושים כאשר מבקשים שנחשב זמן שהיה בעבר?

כלומר נותנים לכם את הכמות שיש היום ואת קצב הגידול (q) ושואלים מה היה לפני 5 שנים?

במקרה זה יש שתי אפשרויות:
אפשרות ראשונה
להגדיר את הכמות ההתחלתית כמה שהיה לפני 5 שנים (m₀).
הכמות שיש היום כמה שמקבל אחרי t = 5 שנים.

אפשרות שנייה
m₀ תהיה הכמות שיש היום.
ועל מנת לחזור אחורה 5 שנים נציב t = – 5.
במקרה זה עליכם להציב 5- בחזקה של q.
q^-5 במשוואה, חזקה שלילית תיקח אותכם לאחור.

דוגמה לשאלה
בקופת חסכון כמות הכסף גדלה בקצב של 10% בשנה.
היום יש בקופת החיסכון 1331 שקלים.
כמה שקלים היו בקופת החיסכון לפני 3 שנים?

פתרון בדרך הראשונה
m₀ זו הכמות ההתחלתית שהייתה לפני 3 שנים (והיא לא ידועה)
t = 3
m₃ = 1331
q = 1.1

נציב בנוסחה ונקבל:
M₀q^t = M_t
m₀*1.1³ = 1331
1.331m₀ = 1331
m₀ = 1000

פתרון בדרך השנייה
m₀ = 1331
זו כמות הכסף שיש עכשיו.

t = -3
מבקשים שנלך 3 שנים אחורה, לכן סימן המינוס.

q = 1.1
זה המספר המבטא גדילה של 10%

m_-3 = ?
רוצים לדעת את הסכום לפני 3 שנים.

נציב את הנתונים הללו במשוואה:
M_t=M₀q^t
m_-3 = 1331*1.1^-3
m_-3 = 1331 * 0.7513
m_-3 = 1000

תשובה: הסכום בקופה לפני 3 שנים היה 1000 שקלים.

• גם תרגיל 3 שבהמשך מתרגל את המכשול הזה.

2.שימו לב לסדר פעולות חשבון

בנוסחה
M_t=M₀q^t
פעולה החזקה קודמת לכל הפעולות האחרות.

אם למשל המשוואה שקיבלתם היא:
m_t = 5*2³
אז הפעולה הראשונה שאתם עושים היא החזקה.
m_t = 5*8
ורק לאחר מיכן מחשבים את הכפל.
m_t = 5*8 = 40

3.כאשר תקופת הזמן היא לא יום אחד / שנה אחת

לפעמים השאלה תדבר “בדילוגים”.

למשל:

בבריכה יש 1000 תנינים.

כמו התנינים עולה ב 10% כל 3 שנים.

כעבור כמה זמן יהיו בבריכה 1,331 תנינים?

פתרון
ה q שמתאים ל 10% הוא 1.1.

t הוא המשתנה והוא מייצג את מספר ה 3 שנים שיעברו מההתחלה.

M₀q^t = M_t

1000 * 1.1^t = 1331

1.1^t = 1.331

t * ln 1.1 = ln 1.331

t = 3

מספר השנים הוא הגודל של t כפול 3, לכן יעברו 9 שנים עד שיהיו בבריכה 1,331 תנינים.

6.תרגילים בסיסיים

ארבעה תרגילים, בכול תרגיל תמצאו רכיב אחר חסר במשוואה M_t=M₀q^t

 תרגיל 1
במפעל לשבבי עץ כמות השבבים עולה בכול שעה ב 50%.
ידוע כי 5 שעות לאחר תחילה העבודה במפעל כמות השבבים הייתה 303.75.
כמה שבבים היו במפעל בתחילת היום?

תרגיל 2
מחיר יצירת אומנות הוא 500 שקלים.
מחירה עולה באחוז קבוע בכול שנה.
כעבור 4 שנים מחיר היצירה יהיה 1036.8 שקלים.
באיזה אחוז מחיר יצירת האומנות עולה בכל שנה?

תרגיל 3
מחיר מכונית לאחר שהיא 5 שנים על הכביש הוא 40,000 שקלים.
בכול שנה מחירה יורד ב 15%.

1. מה מחיר המכונית כאשר קנו אותה.
2. מה מחיר המכונית יהיה בעוד שנתיים.

תרגיל 4
מחיר מכונית הוא 50,000 שקלים והוא יורד בכול שנה ב 10%.
כעבור כמה שנים מחיר המכונית יהיה 32,805 שקלים?

תרגיל 5
משקלו של חומר הוא 2 קילוגרם.
כל 10 שנים משקל החומר יורד ב 20%.
כעבור כמה עשרות שנים משקל החומר יהיה מחצית ממשקלו המקורי?