בגרות במתמטיקה שאלון 482 קיץ 2017

סעיף א

a₂= 7

a₃ = 16

סעיף ב

b_n  = 2n+5

סעיף ג

d = 2

סעיף ד

n=4

נתון a₁=0,   a_n+1= a_n +2n + 5

חישוב a₂, a₃
a_n+1= a_n +2n + 5
a₂= a₁ +2*1+5=0+7=7
a₂= 7

a₃= a₂+2*2+5=7+9=16
a₃ = 16

b_n = a_n+1 – a_n
b_n = a_n +2n + 5 – a_n = 2n+5
b_n  = 2n+5

הוכחה שהסדרה b_n היא חשבונית.
b_n+1 = 2(n+1) +5=2n+2+5=2n+7
b_n+1 =2n+7
נמצא את ההפרש בין שני איברים סמוכים:
b_n+1– b_n = 2n+7 – (2n+5) = 2
מצאנו כי ההפרש בין איברים סמוכים הוא קבוע (2) והוא אינו תלוי ב n (מיקום האיבר) לכן זו סדרה חשבונית.

עלינו למצוא את a₅. ונעשה זאת בעזרת נוסחת הנסיגה a_n+1= a_n +2n + 5.
a₄ = 16+2*3+5=27
a₅ = 27+2*4+5=40

נמצא את b₁ בעזרת הנוסחה b_n = a_n+1 – a_n
b₁ = 7-0=7
d=2
הנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית:
s_n = (2a₁ + (n-1)d) * n/2
סכום n איברים בסדרה b_n הוא:
s_n = (2*7+(n-1)2) 0.5n=(12+2n)0.5n = 6n+n²
סכום האיברים שווה ל a₅ = 40.
n²+6n=40
n²+6n-40=0
n+10)*(n-4)=0)
n= -10, n =4
מכוון ש n חיובי התשובה היא n=4.

סעיף א

AD= √3*a

סעיף ב

SO=3a

סעיף ג

הזווית שבין בסיס הפירמידה למקצוע צדדי היא 68.962

נסתכל על משולש ADB.
AB=2A נתון.
BD=0.5BC=a הישר AD הוא גובה ותיכון במשולש שווה צלעות ADB.
על פי משפט פיתגורס:
AD² = AB² – BD² = 4a²-a²=3a²
AD= √3*a (תשובה).

נפח פירמידה  הוא שטח הבסיס כפול גובה הפירמידה לחלק ב 3.
שטח הבסיס היא:
S = (BC*AD) /2 = 2a * √3*a :2 = √3 a²
נפח הפירמידה הוא:
V =0.33 * √3 a² * SO = √3 a³
SO=3a

בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות גובה הפירמידה נוגע בבסיס (הנקודה O) במרכז המעגל החוסם את המשולש.
מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת מפגש של האנכים האמצעים.
במשולש שווה צלעות התיכונים הם אנכים אמצעים.
3 התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המחלקת את התיכון ביחס של  2:1.
לכן:
AO=0.66AD=0.66 * √3 * a= 1.154a

SO הוא גובה לבסיס ולכן מאונך לכל ישר במישור הבסיס ולכן AOS=90∠
כך נראה משולש AOS.
הזווית שאנו מחפשים היא SAO∠. (משום שזו זווית בין מקצוע צדדי (SA) לבין היטל של מקצוע זה (AO)).

tan x = 3a / 1.154a = 2.6
x= 68.962
תשובה: הזווית שבין בסיס הפירמידה למקצוע צדדי היא 68.962.

סעיף א

(0,4)

סעיף ב

(0,4) מינימום
(4.5107, ₶ לחלק ב 6) מקסימום
(1.7733, 5₶/6) מינימום
(2.28, ₶) מקסימום

סעיף ג

סעיף ד

6.57 יחידות ריבועיות

f( x) =2x + 4cos x

נקודת חיתוך עם ציר ה y.
נציב x=0.
f( 0) =2*0 + 4cos 0= 4*1=4
(0,4) היא נקודת החיתוך עם ציר ה y.

נקודות קיצון.
בהתחלה נמצא את נקודות הקיצון המקומיות ולאחר מיכן נוסיף להן את נקודות הקיצון שבקצוות.
f ‘ (x) = 2-4sin x
2-4sin x =0
4sinx =2
sin x=0.5
x=₶/6, x=5₶/6

נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
f ” (x) = -4cosx
x=₶/6 נמצאת ברביע הראשון ופונקציית הקוסינוס חיובית ברביע זה. לכן הנגזרת השנייה שלילית וזו נקודת מקסימום.
x=5₶/6 נמצאת ברביע השלישי ופונקציית הקוסינוס שלילית ברביע זה. לכן הנגזרת השנייה חיובית וזו נקודת מינימום.

נמצא את ערך הפונקציה בנקודות הללו:
f( x) =2x + 4cos x
f( ₶/6) =2*₶/6 + 4cos (₶/6) = 2₶/6 +3.46=4.5107
f( 5₶/6) =2*5₶/6 + 4cos (5₶/6) = 10₶/6 – 3.46 = 1.7733

נמצא את ערך הפונקציה בנקודות הקצה x=0 ו x=₶.
f( 0) =2*0 + 4cos 0 = 4
f( ₶) =2*₶ + 4cos ₶ = 2₶-4=2.28
הנקודות הן:
(0,4) מינימום
(4.5107, ₶ לחלק ב 6) מקסימום
(1.7733, 5₶/6) מינימום
(2.28, ₶) מקסימום

הפונקציה מוגדרת (רציפה) בכול התחום בין 0 ל ₶. לכן הנקודה (0,4) שנמצאת משמאל לנקודת מקסימום היא נקודת מינימום. והנקודה (2.28, ₶) שנמצאת מימין לנקודת מינימום היא מקסימום.

אינטגרל.

עלינו לחשב את השטח שיוצרת הפונקציה עם ציר ה x בין ₶ לחלק ב 6 ו 5₶/6. זה השטח הירוק בשרטוט.

2x + 4cos dx = x² +4sin x∫
לאחר שנציב את הערכים המתאימים במשוואה נקבל כי השטח המבוקש הוא 6.57 יחידות ריבועיות.
(איני יכול לכתוב את הפתרון המלא בגלל מגבלות ההקלדה באתר).

סעיף א1

x ≠ ln 10

סעיף א2

x = ln 10

סעיף ב

a=1

סעיף ג1

הנקודה (ln5, -0.04) היא נקודת מקסימום של הפונקציה

סעיף ג2

ירידה: x>ln 5 וגם x<ln 10

x> ln 10

עלייה: x<ln 5
סעיף ג3

לא

סעיף ג4

סעיף ד

x>ln 5 וגם x< ln10

(f (x) = a / (e^2x-10e^x

תחום הגדרה
נבדוק מתי המכנה שווה ל 0.
e^2x-10e^x=0
e^x(e^x-10)=0
e^x שונה מ 0 לכול x לכן נבדוק מתי הביטוי שבתוך הסוגריים שווה ל 0.
e^x-10=0
e^x=10
נוציא ln לשני אגפי המשוואה.
ln e^x = ln 10
x= ln 10.
תשובה: הפונקציה מוגדרת לכל x כך ש x≠ ln 10.

אסימפטוטה: כאשר x שואף ל ln 10 מכנה הפונקציה שואף ל 0 ואילו המונה הוא a שהוא מספר. לכן המנה שואפת לאינסוף או מינות אינסוף והישר x= ln 10 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

מציאת a.
נציב (1/9-, 0) בפונקציה ונקבל:
(f (x) = a / (e^2x-10e^x
a / (e⁰ – 10e⁰)=a/(1-10)= -1/9
a/-9 = 1/-9
a=1

שימו לב לרמז שניתן בשאלה עצמה ” שיעורי נקודת הקיצון…” כלומר יש נקודה אחת.
(f (x) = 1 / (e^2x-10e^x
f ‘ (x) = (0 – (2e^2x-10e^x) *1 ) / (e^2x-10e^x)²
f ‘ (x) = (-2e^2x+10e^x)  / (e^2x-10e^x)²
המכנה מתאפס רק בנקודת אי ההגדרה לכן ניתן להתעלם ממנו ולבדוק מתי המונה שווה ל 0.
10e^x-2e^2x = 0  / :2
5e^x– e^2x = 0
e^x (5-e^x)=0
e^x שונה מ 0 לכול x.
e^x=5
ln e^x = ln 5
x= ln 5 זו הנקודה החשודה כקיצון.
נמצא את ערכי הנגזרת כאשר x= ln 3, x=ln 7.
f ‘ (x) = (-2e^2x+10e^x)  / (e^2x-10e^x)²
מכנה הנגזרת תמיד חיובי לכן לא משפיע על סימן הנגזרת.
מונה הנגזרת הוא:
(e^x (5-e^x
הביטוי e^x חיובי לכל x.
נבדוק את ערך הביטוי e^x+ 5-
יש כלל לוגרתמי האומר כי:
e^lnx = x
לכן:
e^{ln 7} +5 = -7+5<0-
e^{ln 3} + 5 = 3-5>0-
כך זה נראה בטבלה:

הפונקציה יורדת ב ln 7  ועולה ב ln 3 לכן ln 5 זו נקודת מקסימום.
נמצא את ערך הפונקציה ב ln 5.
(f (x) = 1 / (e^2x-10e^x
נשתמש בכלל הלוגרתמי e^lnx = x ונקבל.
f (x) = 1 / (25-50) = 1/-25 = -0.04
תשובה: הנקודה (ln5, -0.04) היא נקודת מקסימום של הפונקציה.

תחומי עליה וירידה
לפונקציה יש 3 תחומים בהם צריך לבדוק את העליה והירידה.
x> ln 10
x>ln 5 וגם x<ln 10   כבר מצאנו שהפונקציה יורדת.
x<ln 5  כבר מצאנו שהפונקציה עולה.
כאשר נציב x=ln 12 במונה הנגזרת (המכנה לא משפיע על סימן הנגזרת כי הוא חיובי תמיד) נקבל:
e ^{ln 12} + 5 = -12+5= -7-
לכן הפונקציה יורדת כאשר x> ln 10

האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה x?
על מנת שיהיו לה היא צריכה להיות שווה ל 0. בגלל שמונה הפונקציה שונה תמיד מ 0 (שווה תמיד ל 1) לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

סקיצה

עלינו למצוא את התחום שבו הפונקציה שלילית (כלומר נמצאת מתחת לציר ה x) וגם יורדת.
על פי שרטוט הסקיצה ותחומי העליה והירידה שמצאנו קודם ניתן לראות כי שתי האי שוויונות מתקיימים כאשר x>ln 5 וגם x< ln10.

סעיף א

x> -1

סעיף ב

הישר x= -1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

סעיף ג

נקודת החיתוך עם הצירים היא 0,0.

סעיף ד

x=1.718, y=1/2e זו נקודת המקסימום.

סעיף ה

(f (x) = ln (1+x) / (2+2x

תחום ההגדרה:
הפונקציה מוגדרת כאשר המכנה שונה מ 0 וגם כאשר הביטוי בתוך הלוגרתמים חיובי.
נמצא מתי המכנה שווה ל 0.
2+2x=0
2x=-2
x= -1
נמצא מתי הביטוי שבתוך הלוגרתמים חיובי.
x+1>0 /-1
x> -1
שני התנאים מתקיימים יחד כאשר x> -1
תשובה: הפונקציה מוגדרת כאשר x> -1

כאשר x שואף ל 1-  המכנה שואף ל 0 ואילו המונה שואף למספר לכן המנה המתקבלת שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף.
הישר x= -1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

נציב x =0 בפונקציה:
f (0) = ln (1+0) / (2+2*0) = 0/ 2=0
(0, 0).
נציב f (x) =0.
ln (1+x) / (2+2x)=0
ln (1+x) =0
e⁰ = 1+x
x+1=1
x=0
תשובה: נקודת החיתוך עם הצירים היא 0,0.

נקודות קיצון:
(f (x) = ln (1+x) / (2+2x
f ‘ (x) = ((1+x)^-1 (2+2x) – 2ln(1+x)) / (2+2x)²
נפשט את הביטוי השמאלי של הנגזרת.
x+1)^-1 * (2+2x) = (x+1)^-1*2(x+1)=2)
נציב בחזרה בנגזרת
f ‘ (x) = (2 – 2ln(1+x)) / (2+2x)²
הנגזרת שווה ל 0 כאשר מונה הנגזרת שווה ל 0 לכן נבדוק מתי מונה הנגזרת שווה ל 0.
2-2ln(1+x)=2(1-ln(1+x)=0
ln(1+x)=1
x+1 = e=2.718
x=1.718
נבדוק את סימן הנגזרת בסביבת הנקודה.
מכנה הנגזרת תמיד חיובי לכן אינו משפיע על סימן הנגזרת. נבדוק את סימן מונה הנגזרת.
x=3
ln(1+3)+1<0-
x=1
ln(1+1)+1>0-
כך זה נראה בטבלה

נמצא את ערך הפונקציה ב x=1.718. נגיע לתוצאה מדויקת יותר עם נציב e-1 = 1.718
(f (x) = ln (1+x) / (2+2x
f (e-1) = ln e / (2+2(e-1)=1/2e
תשובה: x=1.718, y=1/2e זו נקודת המקסימום.

שרטוט סקיצה

כאשר משרטטים סקיצה נעשה זאת על הסעיפים הקודמים. תחילה נשרטט את הנקודות שמצאנו ולאחר מיכן נתייחס לתחומי העליה והירידה והאסימפטוטות.

שרטוט גרף הפונקציה השלילית.
בפונקציה הזו ערכי ה y הופכים את הסימן אך שומרים על הערך המוחלט שלהם.