שני גרפים נפגשים, שני גרפים מקבילים

בדף זה נלמד על שלושת המצבים האפשריים בין גרפים של ישר והמשמעות שלהם:

1. שני הישרים נחתכים (המצב הנפוץ).
2. שני ישרים מקבילים.
3. שני הישרים מתלכדים (אחד על השני, כמעט ולא קורא).

שני גרפים נפגשים

בנקודת המפגש של שני גרפים ערך ה x וגם ערך  y של שניהם שווה.

דוגמה 

בשרטוט שלמטה ציר ה y מתאר את כמות הכסף שיש בקופת ועד הבית בשני בניינים שונים

ציר ה x מתאר את מספר הדירות ששילמו.

מה המשמעות של הנקודות A,B,C בגרף?

פתרון

הנקודות A,B הן נקודות החיתוך עם ציר ה y ומתארות את המצב ההתחלתי.

הנקודה A

אומרת שבבניין ב לפני שהדירות שילמו היו בקופה 1200 שקלים.

הנקודה B

אומרת שבבניין א לפני שהדירות שילמו היו בקופה 400 שקלים.

הנקודה C

הנקודה C היא נקודת מפגש שבה ערכי x,y שווים בשני הגרפים.

כלומר בנקודה C מספר הדירות ששילמו בשני הבניינים היה שווה (10) וגם הסכום שהיה בקופות היה שווה (1600).

שני גרפים מקבילים

כאשר שני גרפים מקבילים אנו יכולים להסיק:

1.
יש להם את אותו שיפוע / קצב שינוי.

בין היתר זה אומר שהערך m במשוואה האלגברית שלהם הוא שווה.

למשל מי זוג הישרים המקבילים מבין שלושת הישרים הבאים:

y = 100x + 10

y = 60x + 20

y = 100x + 20

תשובה:

שני הישרים שיש להם שיפוע שווה.

y = 100x + 10

y = 100x + 20

2.
הישרים אף פעם לא יפגשו.

ישרים מקבילים אף פעם לא נפגשים כלומר אין נקודה שבה יש להם אותו ערך x ואותו ערך y.

3.
הישר שנמצא למעלה יישאר מעל הישר השני תמיד.

דוגמה

בבית ספר “החומה” ובבית ספר “שייקספיר” נהוג שתלמידי בית ספר נוטלים תפקיד במימון הצגת סוף השנה.

לצורך מימון ההצגה הנהלת של כל בית הספר נתנה לתלמידים סכום מסוים.

ואת הסכום הנוסף תלמידים משיגים על ידי מכירת כרטיסים להצגה.

בשרטוט יש שני ישרים מקבילים המתארים את הסכום בשקלים שכל אחת מקבוצות התלמידים אספה ביחס לכמות הכרטיסים שמכרה.

1.ידוע כי הנהלת בית ספר “החומה” נתנה לתלמידיה סכום גדול יותר מהנהלת בית ספר “שייקספיר” התאימו בין הגרפים לשמות בתי הספר.

2.האם קיימת נקודה שעבור אותו מספר כרטיסים שנמכרו היו בשתי הקופות אותה כמות של כסף?

3א.ידוע כי השיפוע של הגרף האדום הוא 40, האם ניתן לדעת את השיפוע של הישר השחור ?

3ב.האם סעיף 3א מאפשר לנו לדעת מה המחיר של כרטיס שנמכר על ידי תלמידי בית הספר המיוצגים על ידי הגרף השחור?

4.נתונות 4 המשוואות הבאות:

1. y = 20x + 400
2. y = 40x + 300
3. y = 40x + 500
4. y = 20x – 400

אלו שתי משוואות יכולות לייצג את הישרים שבשרטוט?

שני גרפים מתלכדים

שני גרפים יכולים להיות מתלכדים, כלומר ישר אחד נמצא על הישר השני.

במקרה זה כל מה שנכון למשוואה / גרף אחד נכון גם לשני.

מדובר במצב נדיר מבחינת שאלות, לכן לא ארחיב עליו.

למשל בגרף שלמטה הישר האדום והשחור מתלכדים.

שתי משוואות עם שני נעלמים

נסתכל לדוגמה על שתי משוואות עם שני נעלמים

y = 2x – 5

y = 6x – 13

הגרף של כל אחת מהמשוואות הללו הוא גרף ישר.

אנחנו צריכים לדעת את הקשר בין מספר הפתרונות של שתי משוואות עם שני נעלמים למספר נקודות החיתוך שלהם בגרף.

והקשר אומר כך:

מספר הפתרונות של המשוואות הוא מספר נקודות החיתוך של הישרים.

1.פתרון יחיד – הגרפים נחתכים בנקודה אחת.

2.אין פתרון למערכת המשוואות – הגרפים לא נחתכים (מקבילים).

3.יש אינסוף פתרונות – שני גרפים מתלכדים (יש בניהם אינסוף נקודות מפגש).

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות 172.