פונקציית שורש 3 יחידות (שאלון 382)

1.תחום הגדרה :

תחום ההגדרה של פונקציית השורש הוא x ≥ 0.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≥ 0.

2.נקודת חיתוך עם ציר y :

תתקבל כאשר נציב x = 0 בפונקציה.

(מכיוון שעל כל ציר ה- y מתקיים x = 0)

f(0) = 4*√0 + 2 = 2

לכן נקודת החיתוך עם ציר ה – y היא (0,2).

3.נקודות קיצון:

כדי לבדוק האם קיימות נקודות קיצון – נגזור את הפונקציה, ונבדוק אם קיימים ערכי x עבורם מתקיים f ‘ (x) = 0.
הנגזרת של x√ היא   .
במקרה שלנו x√ כפול בקבוע ( המספר ‘4’), ולכן נכפול את הנגזרת ב – 4.
הנגזרת של מספר קבוע ( במקרה שלנו ‘2’) היא 0.
לכן:

אין אף ערך x עבורו f ‘ (x) = 0 .
(אם x = 0 אז המכנה שווה ל – 0, והנגזרת אינה מוגדרת.
אם x ≠ 0 , אז הנגזרת שונה מ – 0)
לכן אין נקודות קיצון.

4.האם הישר y = 3 חותך את הפונקציה? כן.

הסבר:

נבדוק האם יש ערך x המקיים f(x) = 3.
אם קיים כזה , הישר חותך את הפונקציה. אם לא קיים , אז הישר אינו חותך את הפונקציה.
(כדי שהישר והפונקציה יחתכו , חייבת להיות לשניהם נקודה משותפת).

f(x) = 4√x + 2 = 3
נעביר אגפים:

נחלק ב – 4:
x = 1/4√
נעלה בריבוע את 2 האגפים:
1/16 = x = 1²/4²
לכן קיים ערך x המקיים f(x) = 3.
לכן הישר y = 3 חותך את הפונקציה, ונקודת החיתוך היא (3, 1/16).

5.האם הפונקציה חותכת את ציר ה x?לא.
הסבר:

ציר ה – x הוא בעצם הישר y = 0.
לכן נבדוק, באותו אופן , האם הישר y = 0 חותך את הפונקציה.
f(x) = 4√x + 2 = 0
נעביר אגפים:

4 הוא מספר חיובי, ופונקציית השורש היא גם בהכרח חיובית.
כפולה של 2 מספרים חיוביים היא בהכרח חיובית.
לכן קיבלנו סתירה במשוואה.
לכן אין ערך x המקיים f(x) = 0.
לכן פונקציה אינה חותכת את ציר ה-x.

6.שרטטו את גרף הפונקציה.
ראינו כי אין לפונקציה נקודות קיצון.

על מנת לשרטט את הגרף, נרצה לבדוק האם הפונקציה יורדת או עולה.

על מנת לבדוק זאת, נציב נקודה כלשהי (בתחום ההגדרה) בנגזרת, ונראה האם מתקבל ערך חיובי או שלילי.

נציב x = 1  בנגזרת :

f ‘ (1)  =  2 / √1  =  2  >  0.

לכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה  =>  הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.
כמו כן , מכיוון שמדובר בפונקציית שורש, הגרף יהיה מעוקל  ולא קו ישר.

גרף הפונקציה:

1.תחום הגדרה:

תחום ההגדרה של פונקציית השורש הוא x ≥ 0.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≥ 0.

2. נקודת חיתוך עם ציר y :

תתקבל כאשר נציב x = 0 בפונקציה.
(מכיוון שעל כל ציר ה- y מתקיים x = 0)
f (0) = 5*0 – 5*√0 + 2
f(0) = 2
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (2,0).

3. נקודות קיצון:

כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון – נגזור את הפונקציה, ונבדוק עבור אילו ערכי x מתקיים f ‘ (x) = 0.
הנגזרת של מספר כפול x (במקרה שלנו – 5x) היא המספר עצמו (כלומר – 5).
הנגזרת של x√ היא   .
במקרה שלנו x√ כפול בקבוע ( המספר ‘5-‘), ולכן נכפול את הנגזרת ב – 5-.
הנגזרת של מספר קבוע ( במקרה שלנו ‘2’) היא 0.
לכן:

נשווה ל -0 :

נעביר אגף:

נחלק ב – 5:

נכפול את המשוואה במכנה:

נחלק ב – 2:
x = 1/2√
נעלה בריבוע את 2 האגפים:
x = 1²/2² = 1/4
לכן x = 1/4 היא נקודה חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת טבלה – תחומי עליה וירידה של הפונקציה.

נפצל לתחומים לפי הנקודה החשודה:
1.  
2.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
(למשל – בתחום מספר 1 נציב x = 1/9 , בתחום מספר 2 נציב x = 1).
(הנקודות שמציבים נבחרות שרירותית, כדאי שיהיו מספרים נוחים להצבה – וחובה שיהיו בתחום הדרוש).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן יש לפונקציה נקודת קיצון אחת : נקודות מינימום – (3/4 , 1/4).

4. תחומי עליה וירידה:

נסיק מהטבלה הנ”ל:
עלייה : 
ירידה :

5. האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה x? לא.

הסבר: ראינו כי יש לפונקציה נקודת מינימום, שערך ה – y שלה הוא 3/4 (גדול מ -0).
הפונקציה יורדת לפני הנקודה , ועולה לאחר הנקודה.
לכן, לכל x יתקיים כי ערך הפונקציה גדול מ – 3/4  , ולכן גדול מ – 0.
לכן עבור אף x לא יתקיים f(x) = 0 , כלומר , גרף הפונקציה אינו חותך את ציר x.

6. גרף הפונקציה:

מצאנו את נקודת החיתוך עם ציר y , את נקודת הקיצון של הפונקציה , ואת תחומי העליה והירידה.
לכן נוכל לשרטט את גרף הפונקציה.