בדף זה נלמד לפתור משוואות עם שורש ברמה הנדרשת בבגרות במתמטיקה 3 יחידות.
אנו נשתמש בפתרון משוואות זה בעיקר כאשר נרצה למצוא נקודות קיצון לפונקציה שורש.
אם למשל נקבל את הפונקציה:
f(x) = √x – 2x
כאשר נגזור אותה נקבל את הנגזרת:
וכאשר נראה למצוא נקודות קיצון נקבל את המשוואה:
ואת המשוואה הזו ודומות לה נלמד לפתור בדף זה.
שני כללים שצריך לזכור
כלל ראשון: שורש 0 שווה 0
√0 = 0
כלל שני: שורש של מספר לא יכול להיות שלילי
לכן אם נקבל את כל אחת מהמשוואות הבאות:
√x = -2
√-x = -10
√(x – 2) = -3
אז אנו יכולים לקבוע ללא חישוב נוסף כי אין למשוואת הללו פתרון.
פתרון משוואות עם שורש
מנויים לאתר רואים כאן הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
נתחיל בהסבר לפתרון משוואה פשוטה ולאחר מיכן נתקדם למשוואות ברמת בגרות.
דוגמה 1
√x = 3
דרך פתרון ראשונה
מה שמפריע לנו לפתור את המשוואה זה השורש.
לכן נעלה את המשוואה בריבוע, כך שהשורש “יעלם”.
x = 9
מצאנו פתרון.
אך מכוון שהעלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרונות עלינו להציב את הפתרון במשוואה לפני שהעלינו בריבוע כדי לבדוק אם הפתרון נכון.
√x = 3
√9 = 3
3 = 3
קיבלנו שהפתרון הוא נכון, הפתרון הוא x = 9.
דרך פתרון שנייה
√x = 3
נכתוב את המספר 3 בצורה של שורש.
√x = √9
נשווה את שני הביטויים שנמצאים בתוך השורש.
x = 9
ובכך פתרנו את המשוואה בלי הצורך להעלות את המשוואה בריבוע ולבדוק.
דוגמה 2
√x = -6
פתרון
אמרנו ששורש של מספר הוא אף פעם לא שלילי.
לכן למשוואה זו אין פתרון.
דוגמה 3
פתרון
חשוב להדגיש שלא ניתן להעלות בריבוע בשלב הזה ויש להעלות בריבוע רק בשלב הסופי.
זו משוואה ברמת בגרות ונפתור אותה כך:
12 = 6√x
2 = √x
ואת משוואה זו אנו יכולים לפתור כמו קודם על ידי העלאה בריבוע:
4 = x
ובדיקה:
2 = √4
2 = 2
הפתרון הוא x = 4.
או בצורה הזו:
2 = √x
√4 = √x
4 = x
עוד באתר: