לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

כתיבה מקוצרת של פתרונות משוואה טריגונומטרית באמצעות 180k

בחלק מהמקרים נקבל שני פתרונות שניתן יהיה לכתוב בצורה קצרה יותר בעזרת פתרון קצר יותר.

בדף זה ניתן דוגמאות למקרים כאלו בפונקציית השונות:

  1. פונקציית הסינוס.
  2. פונקציית הקוסינוס.
  3. פונקציית הטנגס – שם נמצאים מרבית המקרים.

פונקציית הסינוס

דוגמה 1

sin x = 0

נפתור כך:
במחשבון נקבל:
x = 0 ± 360k

על פי הזהות sinx = sin (180 – x) נקבל:
x = 180 – 0 ± 360k
x = 180 ± 360k

קיבלנו את שני הפתרונות:
x = 0 ± 360k
x = 180 ± 360k

את שני הפתרונות הללו ניתן לכתוב כפתרון יחיד:

x = 0 ± 180k

מדוע זה כך?

מכוון שההפרש בין הפתרונות הוא בדיוק 180 מעלות. ניתן לצאת מאחד הפתרונות ולהוסיף 180k ולהגיע אל שני הפתרונות.

הדבר יכול להיות יותר ברור כאשר נמצא את המספרים שכל פתרון מייצג.

הפתרון  x = 0 ± 360k
נותן את המספרים הבאים:

…, -720, -360, 0, 360, 720…

הפתרון  x = 180 ± 360k
נותן את המספרים הבאים:

….-540, – 180, 180, 540…

אם נשלב את המספרים שקיבלנו בשני הפתרונות נקבל:

…, -720, -540, -360, -180, 0, 180, 360, 540, 720…

נשים לב שההפרש בין הפתרונות הוא 180.

לכן כאשר נצא מאחד הפתרונות ונוסיף 180k± נקבל את כל הפתרונות.

שימו לב שברוב המקרים לא ניתן לקצר

ברוב המשוואות לא יהיה ניתן לכתוב את הפתרון המקוצר, משום שההפרש בין הפתרונות לא יהיה 180 מעלות.

למשל:

sin x = 0.5

הפתרון:

x = 30 ± 360k

או

x = 150 ± 360k

את שני הפתרונות הללו לא ניתן לכתוב בעזרת פתרון יחיד.
כי כאשר נשלב את הפתרונות ההפרש בין שני פתרונות סמוכים לא יהיה 180 מעלות.

פונקציית הקוסינוס

גם עבור פונקציית הקוסינוס יש מקרה מיוחד שבו ניתן לכתוב את הפתרון בכתיבה מקוצרת.

דוגמה 1

cos x = 0

פתרון

x = 90 ± 360k

או

x = 270 ± 360k

את שני הפתרונות הללו ניתן לכתוב בצורה מקוצרת כך:

x = 90 ± 180k

הערה
אם היינו רוצים לכתוב פתרון אחר במקום 90 זה היה אפשרי.
למשל:

x = 270 ± 180k

או

x = -90 ± 180k

פונקציית הטנגס

בפונקציית הטנגס קיימת הזהות:

tg x = tg (x + 180)

לכן הרבה פעמים, ובוודאי יותר מהמקרים בפונקציית הסינוס או הקוסינוס, נבטא את הפתרון באמצעות 180k.

למשל:

tg x = 0.8

פתרון

בעזרת המחשבון נקבל:

x = 38.66 ± 360k

בעזרת הזהות tg x = tg (x + 180) נוסיף את הפתרון:

x = 218.66 ± 360k

ואת שני הפתרונות הללו נוכל להציג בעזרת שורה יחידה:

x = 38.66 ± 180k

 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *