משוואות טריגונומטריות עם פונקציה זהה

תקציר

בדף זה נפתור תרגילים בהם משני צדדי המשוואה יש את אותה פונקציה טריגונומטרית.
למשל:
(cos (2x – 30) = cos (4x  + 10

כפי שתראו הפתרון של המשוואות הללו מאוד מאוד דומות לפתרון של משוואות טריגונומטריות הנראות כך:
cos (2x – 30) = 40

הזהויות הטריגונומטריות בהם נשתמש על מנת לפתור תרגילים מסוג זה:

  • (sin x = sin (x + 360k
  • (sin x = sin (180-x
  • (cos x = cos (x + 360k
  • (cos x = cos (-x
  • (tg x = tg (x + 180k

פתרון משוואת קוסינוס נראה כך:
(cos (2x – 30) = cos (4x  + 10

אפשרות ראשונה על פי הזהות הטריגונומטרית (cos x = cos (x + 360k
2x – 30 = 4x + 10 ± 360k
2x = 40 ± 360k –
x = – 20 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות הטריגונומטרית  (cos a = cos (-a
2x – 30 = – (4x + 10) ± 360k
2x – 30 = -4x – 10 ± 360k
6x = 20 ± 360k
x = 3.33 ± 60k

פתרון פונקציית הסינוס נראה כך:
(sin (3x – 10) = sin (x – 20

אפשרות ראשונה על פי הזהות (sin x = sin (x + 360k
3x – 10 = x – 20 ± 360k
2x = – 10 ± 360k
x = -5 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הזהות הטריגונומטרית (sin x = sin (180-x
3x – 10 = 180 – (x -20) ± 360k
4x =210 ± 360k
x = 52.5 ± 90k

פתרון פונקציית הטנגס נראה כך:
(tg (5x) = tg (2x – 60

הפתרון הוא על פי הזהות (tg x = tg (x + 180k
5x = 2x – 60 ± 180k
3x = -60 ± 180k
x = -20 ± 60k

הערה
נזכור שבפונקציית הטנגנס מוסיפים 180k לפתרון הראשון וזה נותן לנו את שתי הפתרונות בתחום של 360 מעלות.
אין צורך למצוא שני פתרונות למשוואה.

כאשר הפונקציה זהה אבל יש גם סימן מינוס

כאשר נקבל משוואה עם פונקציה זהה, אבל עם סימן מינוס באחד הצדדים, למשל כזו:
(sin x = – sin (3x – 10

נשתמש בזהויות הטריגונומטריות הבאות על מנת להפוך את האיבר שכולל מינוס לאיבר שאינו כולל מינוס.

  • (sin x = sin (-x-
  • (cos x = cos (180 – x-
  • (tg (x) = tg (-x –

כמו כן נשתמש בזהויות שהשתמשנו על מנות לפתור משוואות פשוטות יותר.

דוגמה
sin (3x -10) + sin (4x) = 0 

פתרון
(sin (3x – 10) = – sin (4x

נשתמש בזהות
(sin x = sin (-x-
נקבל:
(sin (3x -10) = sin (-4x

אפשרות ראשונה
3x – 10 = -4x ± 360k
7x = 10 ± 360k
x = 1.428 ± 51.428k

אפשרות השנייה על פי הזהות (sin x = sin (180-x
3x – 10 = 180 – (-4x) ± 360k
x = 190 ± 360k-
x = -190 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 1.428 ± 51.428k,   x2 = -190 ± 360k.

דוגמה 2
(cos (8x – 20) = – cos (2x + 40

פתרון
נשתמש בזהות
(cos x = cos (180 – x-
ונקבל:
(cos (8x – 20) = cos (180 – 2x – 40
(cos (8x – 20) = cos (140 – 2x

אפשרות ראשונה
8x – 20 = 140 – 2x  ± 360k
8x = 160 – 2x ± 360k
10x = 160 ± 360k
x = 16 ± 36k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
(cos (8x – 20) = cos (2x -140
8x -20 = 2x -140 ± 360k
6x = -120 ± 360k
x = -20 ± 60k

הפתרונות הם:
x1 = 16 ± 36k,   x2 = -20 ± 60k.

דוגמה 3
(tg (-4x – 10) = – tg (2x +10

פתרון
נשתמש בזהות
(tg (x) = tg (-x –
ונקבל:
(tg (-4x – 10) = tg (-2x – 10

נשתמש בזהות הטריגונומטרית (tg x = tg (x + 180k
4x – 10 = -2x – 10  180k-
2x = 0 ± 180k-
x = 0 ± 90k

הפתרון הוא: x = 0 ± 90k

תרגילים

  1.   (sin 5x = sin (2x + 60
  2.   (cos (2x -20) = cos (-3x +15
  3.   (tg 3x = tg (x +30

פתרונות
(sin 5x = sin (2x + 60

אפשרות ראשונה
5x = 2x + 60 ± 360k
3x = 60 ± 360k  / :3
x = 20 ± 120k

אפשרות פתרון שנייה על פי הנוסחה  (sin x = sin (180-x
5x = 180 – 2x – 60 ± 360k
7x = 120 ± 360k  / : 7
x = 17.14 ± 51.43k

תשובה: x1 = 20 ± 120k,   x2 = 17.14 ± 51.43k

(cos (2x -20) = cos (-3x +15

אפשרות פתרון ראשונה
2x -20 = -3x + 15 ± 360k
5x = 35 ± 360k  / : 5
x = 7 ± 72k

אפשרות פתרון שנייה על פי הנוסחה (cos x = cos (-x
2x -20 = 3x – 15 ± 360k
x = 5 ± 360k-
x = -5 ± 360k
( ה 360k מסמן את כיוון הפתרונות של התרגיל והוא לא משנה את כיוונו כאשר מחלקים או מכפילים במינוס).

תשובה: x1 = 7 + 72k,    x2 = -5 + 360k

(tg 3x = tg (x +30

3x = x + 30 ± 180k
2x = 30 + 180k  / : 2
x = 15 + 90k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

3 מחשבות על “משוואות טריגונומטריות עם פונקציה זהה”

  1. אתר מצויין, אשריך! הכל פה מוסבר באופן ברור ומפורט, מהנושאים הכי קטנים בחומר עד לעיקריים… ועוד בחינם.. באמת תודה רבה!!(:
    למה יש פלוס-מינוס ליד ה-360k? אפשר במקום זה לשים רק פלוס 360k ולהציב ב-k גם ערכים שליליים פשוט?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.