וקטורים

בדף זה תרגילים שיעשו לכם היכרות עם נושא הוקטורים בהקשר של פיזיקה.

תרגיל 1
אדם הולך צפונה 3 קילומטר ואז מערבה 4 קילומטר.
חשבו את העתקו של האדם (גודל וכיוון).

פתרון
גודל:
מחשבים לפי משפט פיתגורס:
d = √(3² + 4²) = 5

כיוון:
חישוב גודל הזווית המסומנת:
tan α = 4/3
α= 53.13º

תשובה:
העתק האדם הוא 5 ק”מ בזווית  53.13º ביחס לצפון בכיוון מערב.

תרגיל 2
מטוס טס צפונה במהירות 600 קמ”ש ולפתע פוגש רוח מערבית במהירות 100 קמ”ש.
חשבו את מהירות המטוס ביחס לקרקע (גודל וכיוון).

פתרון
מתייחסים אל מהירות הרוח כאל רכיב נוסף במהירות המטוס:

גודל v_total:
v = √(600² + 100²) = 608.276 km/h

כיוון:
חישוב גודל הזווית המסומנת:
tan α = 600/100
α = 80.53º

תשובה: מהירות המטוס היא 608.276 קמ”ש בזווית 80.53º ביחס לכיוון ציר חיובי.

תרגיל 3
מטוס טס במהירות 900 קמ”ש בזווית שהיא 20 מעלות דרומית למזרח.
המטוס עובר באזור עם רוח דרום מערבית (45 מעלות דרומה למערב) שמהירותה 100 קמ”ש.
חשבו את מהירות המטוס.

פתרון
יש לחלק את מהירות המטוס ואת מהירות הרוח לרכיבים, לחשבם, ולחבר רכיבי x ו y בנפרד:

רכיבי מהירות המטוס:
v_ax = v_a cos20 = 900cos20 = 845.72
v_ay = v_a sin20 = 900sin20 = 307.82

רכיבי מהירות הרוח:
v_wx = vw sin45 = 100cos45 = 70.71
v_wy = v_w cos45 = 100sin45 = 70.71

סכימת הרכיבים:
v_totalx = v_ax + v_wx = 845.72 – 70.71 = 775.01
(שימו לב שרכיבי ה-x של מהירות הרוח בכיוון השלילי של ציר x, לכן מחסרים אותו)
v_totaly = v_ay + v_wy = 307.82 + 70.71 = 378.53

חישוב גודל וכיוון של  v_total:
גודל:
v_total = √(v_totalx² + v_totaly²) = √(775.01² + 378.53²) = 862.51 km/h
כיוון:
חישוב גודל הזווית המסומנת:
tan α = v_totaly / v_totalx = 378.53 / 775.01 = 0.488
α= 26.03º

תשובה: מהירות המטוס היא 862.51 קמ”ש בכיוון 26.03º דרומית למזרח.

תרגיל 4
חשבו את הכוח השקול של הכוחות הבאים:

פתרון
נפריד את הכוחות לרכיבי x ו y ונחבר בנפרד:

F₁:
F_1x = 0 (שימו לב שF₁ פועל בכיוון y בלבד)
F_1y = 50

F₂:
F_2x = F₂cos10 = 40cos10 = 39.39
F_2y = F₂sin10 = 40sin10 = 6.94

F₃:
F_3x = F₃cos45 = 20cos45 = 14.14
F_3y = F₃sin45 = 20sin45 = 14.14

חיבור רכיבים:
F_totalx = F_1x + F_2x + F_3x = 0 – 39.39 + 14.14 = -25.25
(שימו לב שרכיב ה-x של הכוח הוא שלילי. זכרו שגודלם של כוחות תמיד חיובי, ושמשמעות המינוס היא הכיוון בו הכוח פועל).
F_totaly = F_1y + F_2y + F_3y = 50 + 6.94 – 14.14 = 42.8

כדאי לבדוק שהתוצאה הגיונית גם מבחינה גיאומטרית:

חישוב גודל וכיוון של הכוח השקול:
_:
גודל:
F_total = √(F_totalx² + F_totaly²) = √(((-25.25)² + 42.8²) = 49.69 N
כיוון:
חישוב גודל הזווית המסומנת:
tan  = F_totaly / |F_totalx |= 42.8 / 25.52 = 1.695
α = 59.46º

תשובה: הכוח השקול הוא 49.69 ניוטון בכיוון 59.46º מעל ציר x בכיוון השלילי.

הערה: קל מאוד להתבלבל בחישוב זוויות הכיוונים בחיבור ווקטורים. מומלץ מאוד לצייר כדי לראות באופן איזו זווית מחשבים.

תרגיל 5
חשבו את הכוח השקול של הכוחות הבאים:

פתרון

נפריד את הכוחות לרכיבי x ו y ונחבר בנפרד:

F₁:
F_1x = F₁cos10 = 10cos10 = 9.84
F_1y = F₁sin10 = 10sin10 = 1.73

F₂:
F_2x = F₂cos20 = 40cos20 = 37.58
F_2y = F₂sin10 = 40sin20 = 13.68

F₃:
F_3x = F₃cos80 = 40cos80 = 6.94
F_3y = F₃sin80 = 40sin80  = 39.39

חיבור רכיבים:
F_totalx = F_1x + F_2x + F_3x = – 9.84 – 37.58 + 6.94 = -40.48
(שימו לב שרכיב ה-x של הכוח הוא שלילי. זכרו שגודלם של כוחות תמיד חיובי, ושמשמעות המינוס היא הכיוון בו הכוח פועל).
F_totaly = F_1y + F_2y + F_3y = 1.73 -13.68 -39.39 = -51.34

כדאי לבדוק שהתוצאה הגיונית גם מבחינה גיאומטרית:

חישוב גודל וכיוון של הכוח השקול:
_:
גודל:
F_total = √(F_totalx² + F_totaly²) = √(((-40.48)² + (-51.34)²) = 65.37 N
כיוון:
חישוב גודל הזווית המסומנת:
tan  = |F_totaly| / |F_totalx |= 51.34 / 40.48 = 1.268
α = 51.74º

תשובה: הכוח השקול הוא 65.37 ניוטון בכיוון 51.74º מתחת ציר x בכיוון השלילי.

עוד באתר:

• מכניקה – נושאים נוספים.
• בגרות במתמטיקה.