נפילה חופשית

בדף זה תרגילים בנושא נפילה חופשית.
התרגילים מחולקים לשניים. נפילה חופשית של גוף יחיד ונפילה חופשת של שני גופים.

נפילה חופשית של גוף יחיד

תרגיל 1
גוף מופל מגובה 200 מטרים .

  1. תוך כמה כמה זמן יפגע בקרקע? באיזו מהירות יפגע בקרקע?
  2. מאותו מגדל נזרק גוף במהירות 20 מטרים בשנייה כלפי מטה. תוך כמה זמן יפגע בקרקע? באיזו מהירות יפגע בקרקע?

פתרון

סעיף 1:
נפילה חופשית היא תנועה שוות תאוצה בקו ישר.
חישוב זמן נפילה:
נתון:
y = 0 m
y = 200 m
v0 = 0 m/s
a = g = -9.8 m/s²

הצבה בנוסחה:
y = y0 + v0t + 1/2 * at²
0 = y = 200 + 0 + 1/2 * -9.8t²
200 – = 4.9t² –
t² = 40.816
t = 6.388 s
הגוף יפגע בקרקע לאחר 6.388 שניות.

חישוב מהירות פגיעה:
v = v0 + at
v = 0 – 9.8 * 6.388
v = – 62.602 m/s
הגוף יפגע בקרקע במהירות 62.602 מ"ש (כלפי מטה).

סעיף 2
גם זו נפילה חופשית, אך כעת קיימת מהירות התחלתית v0 = – 20 m/s.
חישוב זמן נפילה:
נתון:
y = 0 m
y = 200 m
v0 = -20 m/s
a = g = -9.8 m/s²

הצבה בנוסחה:
y = y0 + v0t + 1/2 * at²
0 = y = 200  -20t + 1/2 * -9.8t²
4.9t² – 20t + 200 =0 –
t = 20 ± √(20² – 4 * -4.9 * 200) / -9.8
t = (20 ± 65.726 )/-9.8
t= -8.747, t2 = 4.666 s
הגוף יפגע בקרקע לאחר 4.666 שניות.

חישוב מהירות פגיעה:
v = v0 + at
v = -20 – 9.8 * 4.666
v = – 65.726 m/s
הגוף יפגע בקרקע במהירות 65.726 מ"ש (כלפי מטה).

 

תרגיל 2
מכדור פורח שמהירותו 10 מטר בשנייה כלפי מעלה נופלת אבן הפוגעת בקרקע 8 שניות לאחר שהתחילה ליפול מהכדור הפורח.
חשבו את גובה הכדור הפורח בזמן שהאבן נפלה ממנו.

פתרון
נתון:
v= 10 m/s  (המהירותה ההתחלתית של האבן היא מהירות הכדור הפורח)
t = 8 s
a = g = -9.8 m/s²
y (t) = 0 m
? = y0

הצבה בנוסחה:
y(t) = y0 + v0t + 1/2 * at²
0 = y = y0  +10*8 + 1/2 * – 9.8 * 8²
y0 = 295.6 m

תשובה: בעת נפילת האבן גובה הכדור הפורח היה 295.6 מטר.

תרגיל 3
מראש בניין שגובהו 100 מטרים נזרק גוף כלפי מעלה במהירות 40 מטרים בשנייה.

  1. מה יהיה שיא גובהו? תוך כמה זמן יגיע אליו?
  2. מהם שני הזמנים בהם גובה הגוף יהיה 60 מטרים מעל ראש הבניין?
  3. שרטטו גרף מהירות זמן של הגוף, בהנחה שהגוף ממשיך ליפול כלפי מטה עד לקרקע.

פתרון
סעיף 1:
נתון:
y0 = 100 m
v= 40 m/s
a = g = -9.8 m/s²

הגוף יגיע לשיא גובהו כאשר מהירותו כלפי מעלה תתאפס.
חישוב זמן עד התאפסות המהירות:
v = v+ at
0 = 9.8t + 40 –
t = 40 / 9.8 = 4.082 s
מהירות הגוף תתאפס לאחר 4.082 שניות.

חישוב הגובה המירבי:
נציב בנוסחה את הנתונים ואת הזמן שחישבנו:
y(t) = y0 + v0t + 1/2 * at²
y(t) = 100 + 40 * 4.082 + 1/2 * – 9.8 * 4.082² = 181.632 m
הגובה של הגוף יהיה 181.632 מטר.

תשובה: שיא גובהו של הגוף הוא 181.632 מטר, והוא יגיע אליו לאחר 4.082 שניות.

סעיף 2:
נציב בנוסחה את הנתונים, ונחפש t עבורו y(t) = 160 m:
y = y0 + v0t + 1/2 * at²
0 = y = 100  + 40t + 1/2 * -9.8t²
4.9t² + 40t + 100 = 160 –
4.9t² + 40t – 60 = 0 –

t = -40 ± √(40² – 4 * -4.9 * -60) / -9.8
t = (-40 ± 20.591 )/-9.8
t= 1.981 s, t2 = 6.183 s

תשובה: הזמנים בהם גובה הגוף יהיה 60 מ' מעל גובה הבניין הם 1.981 שניות ו 6.183 שניות.

סעיף 3:
בתנועה שוות תאוצה המהירות היא:
v = v+ a*t
נתון:
v0 = 40 m/s
a = g = -9.8 m/s²
גרף המהירות לפי זמן הוא קו ישר:
v = 40 – 9.8t

שימו לב למשמעות הסימן של המהירות:
מהירות חיובית משמעה מהירות למעלה, מהירות שלילית היא מהירות כלפי מטה.


תרגיל 4

גוף נזרק כלפי מעלה מבניין שגובהו 100 מטרים במהירות 40 מטרים בשנייה.
תוך כמה זמן גובהו יהיה 20% מגובהו המרבי ביחס לקרקע?

פתרון
חישוב הגובה המירבי:
נתון:
y0 = 100 m
v0 = 40 m/s
a = g = -9.8 m/s2ניתן לפתור כמו בשאלה 3, אך הפעם לא ביקשו למצוא את הזמן, לכן נשתמש ישירות בנוסחה:
(v2 = v0² + 2a(x-x0, ונחפש x עבורו v = 0.

0 = 40² – 2*9.8(x – 100)
0 = 1600 -19.6x + 1960
19.6 x = 3560
x = 181.633

הגובה המירבי של הגוף הוא 181.633 מ'
20% מגובה זה:
36.326 = 181.633 * 0.2
נחשב מתי יגיע הגוף לגובה זה:

y = y0 + v0t + 1/2 * at²
36.326 = y = 100  + 40t + 1/2 * -9.8t²
4.9t² + 40t + 100 = 36.326 –
4.9t² + 40t + 63.673 = 0 –

t = -40 ± √(40² – 4 * -4.9 * +63.673) / -9.8
t = (-40 ± 53.366 )/-9.8
t= -1.363 s, t2 = 9.527s
ניתן לפסול את הפתרון השלילי.

תשובה: הגוף יגיע לגובה המבוקש לאחר 9.527 שניות.

תרגיל 5
גוף נזרק ממגדל כלפי מעלה.
הוכיחו כי הזמן שלוקח לגוף להגיע לשיא גובהו שווה לזמן שבו הוא יורד משיא גובהו בחזרה לגובה הבניין.

פתרון
הגוף מגיע לשיא גובהו כאשר מהירותו מתאפסת.
v = v– gt = 0
t = v0 / g
הגוף מגיע לגובהו המירבי לאחר v0 / g שניות.

חישוב זמן החזרה לגובה ההתחלתי:
y = y0 + v0t + 1/2 * at²
נשווה y = y0 :
y0 = y0 + v0t – 1/2 * gt²
0 =  v0t – 1/2 * gt²
0 =(t (v0 – 1/2gt
t1 = 0, t2 = 2v0 / g
הפתרון הראשון הוא כמובן הרגע בו נזרק הגוף, הפתרון השני הוא הרגע בו חוזר הגוף לנקודה ההתחלתית.
t2 הוא גדול בדיוק פי 2 מזמן ההגעה לגובה המירבי. לכן, זמן ההגעה לגובה המירבי, וזמן הירידה מהגובה המירבי לגובה ההתחלתי שווים.

תרגיל 6
רקטה משוגרת אנכית כלפי מעלה.
מנוע הרקטה נותן לה תאוצה של 30 m/s² למשך 6 שניות ואז מפסיק לפעול.
תוך כמה זמן תפגע הרקטה בקרקע? באיזו מהירות תעשה זאת?

פתרון
נחשב את הגובה והמהירות של הרקטה בסוף ההאצה. מרגע זה נוכל לפתור כנפילה חופשית באופן רגיל.
מהירות בסוף ההאצה:
v = v+ at
v1 = 0 + 30*6 = 180 m/s
חישוב גובה בסוף האצה:
y = y0 + v0t + 1/2 * at²
y1 = 1/2*30*62 = 540 m

בסוף ההאצה הרקטה נמצאת בגובה y1 = 540 m, ומהירותה v1 = 180 m/s כלפי מעלה.
חישוב זמן פגיעה בקרקע:
0 = y1 + v1t + 1/2 * gt²
0 =540 + 180t – 4.9t²

t = -180 ± √(180² – 4 * -4.9 * +540) / -9.8
t = (-40 ± 207.326 )/-9.8
t= -17.07 s, t2 = 25.237s
ניתן לפסול את הפתרון השלילי, הרקטה תפגע בקרקע לאחר 25.237 שניות.

חישוב מהירות בפגיעה:
v = v+ at
v = 180 – 9.8*25.237
v = -67.323 m/s

תשובה: הרקטה תפגע בקרקע לאחר 25.237 שניות, ומהירותה תהיה 67.323 כלפי מטה.

תרגיל 7
על כוכב לכת דמיוני נזרק גוף אנכית כלפי מעלה במהירות 60 מטרים בשנייה.
כעבור 20 שניות פגע הגוף בקרקע.
מה גודל תאוצת הנפילה החופשית בכוכב זה?

פתרון

נתון:
v0 = 60 m/s
t = 20 s
y(t) = 0
? = a

הצבה בנוסחה:
y = y0 + v0t + 1/2 * at²
0 = y = 0 + 60*20 + 1/2 * a*20²
200a = -1200
a = – 6 m/s²

תשובה: תאוצת הנפילה החופשית על הכוכב היא 6- מ"ש².

נפילה חופשית של שני גופים

תרגיל 1

גוף נזרק כלפי מטה מבניין גבוה במהירות של 20 מטר בשנייה.
4 שניות לאחר מיכן נזרק גוף מאותו ראש בניין במהירות 100 מטרים בשנייה.
באיזה מרחק מראש הבניית הגופים יפגשו?
כמה זמן יעבור מזריקת הגוף הראשון?
מה ההפרש של מהירויות הגופים בזמן הפגישה?

פתרון
נמצא ביטויים לגובה לפי זמן של שני הגופים, ונמצא t כך שהם יהיו שווים:
y(t) = y0 + v0t + 1/2 * at²
מכיוון שגובה  הבניין לא ידוע לנו, נגדיר את ראשו כנקודת ה-0, ואת הכיוון מטה ככיוון החיובי. כלומר:
y0 = 0 m – גג הבניין.
a = g = 9.8 m/s² – שימו לב שהפעם התאוצה חיובית.

גוף 1:
v0 = 20 m/s
y1(t) =  20t + 4.9t²

גוף 2:
v0 = 100 m/s
גוף זה יוצא 4 שניות מאוחר יותר לכן במקום t נרשום t – 4. שימו לב שביטוי זה נכון רק עבור t > 4.
y2(t) =  100(t-4) + 4.9(t-4)²

נשווה את הביטויים:
20t + 4.9t² =  20(t-4) + 4.9(t-4)²
20t + 4.9t² =  100t – 400 + 4.9t² – 39.2t + 78.4
40.8t = 321.6
t = 7.882
הגופים יפגשו 7.882 לאחר זריקת הגוף הראשון.

מציאת מרחק מנקודת הזריקה:
נציב את הזמן בביטוי y(אפשר גם ב y2)
y = 20*7.882 + 4.9*7.882² = 462.057
הגופים יפגשו במרחק 462.057 מ' מראש הבניין.

נחשב את המהירות של כל אחד מהגופים בזמן הפגישה:
v = v+ at
גוף 1:
v = 20 + 9.8*7.882 = 97.244 m/s

גוף 2: (זכרו שזמן ההאצה שלו קטן ב-4 שניות)
138.0436 = (v = 100 + 9.8*(7.882 – 4

הפרש המהירויות:
40.799 = 97.244 – 138.0436

הפרש המהירויות ברגע הפגישה הוא 40.799 מ"ש.

תרגיל 2
מבניין שגובהו 250 מטרים נופל גוף.
שנייה לאחר מיכן נזרק גוף מהקרקע אנכית כלפי מעלה.
א. מה המהירות המינימלית של הגוף השני שתאפשר פגישה שלו עם הגוף הראשון עוד לפני שהגוף השני מתחיל לרדת?
ב. אם מהירות הזריקה של הגוף השני היא 75% ממה שמצאתם בסעיף א.  האם והיכן הגופים יפגשו?

פתרון
סעיף א:
ביטוי לגובה הגוף הראשון לפי זמן:
y(t) = y0 + v0t + 1/2 * at²
y0 = 250 m
v0 = 0 m/s
a = g = -9.8 m/s²
y1(t) = 250  – 1/2gt²

ביטוי לגובה הגוף השני:
y0 = 0
v0 = v= ? (משתנה שנרצה למצוא)
a = g = -9.8 m/s²
הגוף השני נזרק שנייה אחרי הגוף הראשון לכן נציב t-1
y2(t) = 0 + v1(t-1) – 1/2g(t-1)²

המהירות המינימלית בה יש לזרוק את הכדור השני כדי שהמפגש יהיה לפני שהוא מתחיל לרדת היא המהירות עבורה שני הגופים יפגשו בדיוק ברגע בו מהירות הגוף השני מתאפסת (ורגע אחרי זה הוא מתחיל לרדת).
חישוב הזמן בו מהירות הגוף השני מתאפסת:
v = v– g(t-1) = 0
t = 1+  v1 / g
מהירות גוף 2 תתאפס לאחר v1 / g +1 שניות.

אנו מחפשים  vכך שבדיוק ברגע  t = 1+  v1 / g הגופים יפגשו. לכן נשווה את משוואת הגובה של שני הגופים, נציב את t שמצאנו ונמצא את v:
v1(t-1) – 1/2g(t-1)² = 250  -1/2gt²
t = 1+  v1 / g
v1( v1 / g) – 1/2g( v1 / g)² = 250  -1/2g(1+  v1 / g)²
v1( v1 / g) – 1/2g( v1 / g)² = 250  -1/2g(1+  v1 / g)²
v1² / 2g = 250 – 1/2 * g – v1 – v1² / 2g

v1² / g = 250 – g/2 – v1
v1²  +9.8 v1 -2401.98= 0

v1 = -9.8 ± √(9.8² – 4 * -2401.98) / 2
t = (-9.8 ± 98.508 )/2
v= 44.354 m/s , -54.154 m/s
ניתן לפסול את הפתרון השלילי.

תשובה: המהירות המינימלית בה יש לזרוק את הגוף השני כדי ששני הגופים יפגו לפני שהוא מתחיל לרדת היא 44.35 מ"ש.

סעיף ב:
חישוב המהירות המבוקשת:
v = 0.75 * v1 = 0.75 * 44.354 = 33.265

נחשב את הזמן בו יחזור גוף 2 לקרקע. לאחר מכן נבדוק האם שני הגופים יפגשו לפני זמן זה.
(המהירות קטנה מהמהירות המינמלית מסעיף א', לכן ברור שהגופים לא יפגשו כשגוף 2 נע למעלה. אבל ייתכן שהם יפגשו באוויר, לפני שיפגעו בחזרה בקרקע).

זמן הפגיעה של גוף 2 בקרקע:
y2(t) = 0 + v1(t-1) – 1/2g(t-1)²
0 = 0 + (t-1)*33.265 – 4.9(t-1)²
t-1)(33.265 -4(t-1)) =0)
t=1, t = 9.317
t=1 הוא רגע הזריקה, הגוף יפגע שוב בקרקע לאחר 9.317 שניות

נמצא את רגע הפגישה של שני הגופים:
נשווה את שני ביטויי הגובה לפי זמן:
v1(t-1) – 1/2g(t-1)² = 250  -1/2gt²
נציב את המהירות הנתונה:
v1 = 33.265 m/s
t-1)*33.265 – 4.9(t-1)² = 250  – 4.9t²)
33.265t – 33.265 – 4.9t² +9.8t -4.9 = 250  – 4.9t²
43.065t = 288.165
t = 6.691 s
זמן זה קטן מהזמן בו חוזר הגוף השני לקרקע, לכן הגופים יפגשו בעודם באוויר, 6.691 שניות לאחר זריקת הגוף הראשון.

חישוב גובה הפגישה של הגופים:
נציב את הזמן שחישבנו בביטוי הגובה של הגוף הראשון:
y1(t) = 250  – 1/2gt²
y = 250 – 4.9 * 6.691² = 30.629 m

תשובה: הגופים יפגשו 6.691 שניות לאחר זריקת הגוף הראשון, ובגובה 30.629 מ'.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.