חוק שני של ניוטון

בדף זה תרגילים בנושא החוק השני של ניוטון  f = ma.

תרגיל 1
כדור תלוי על גג רכבת מאיצה.
הזווית שבו נוטה החוט היא 20 מעלות.
מסת הכדור היא 3 ק”ג.

1. חשבו את מתיחות החוט.
2. חשבו את תאוצת הקרון.

פתרון

סעיף 1:
שרטוט תרשים כוחות:
הכוחות הפועלים על הכדור הם הכבידה (mg) ומתיחות החוט (T).
נחלק את המתיחות לרכיבי x ו y:

משווואות תנועה עפ”י חוק שני:
ברכיב האנכי לא קיימת תאוצה לכן:

ma_y = 0
0 = F_y∑

F_y = mg + T_y = 0∑
T_y = – mg
(משמעות סימן המינוס היא שכיווני הכוחות מנוגדים. אנו מתעניינים כעת בגודל בלבד, לכן ניתן להשמיט אותו)
Tcos20 = mg
T = mg/cos 20
T = 3*9.8/0.9397 = 31.257 N

תשובה: מתיחות החוט היא 31.257 ניוטון.

סעיף 2:
הכדור תלוי בזווית קבועה ונע יחד עם הקרון, לכן תאוצת הכדור שווה לתאוצת הקרון. התאוצה היא בכיוון האופקי בלבד.
משוואת תנועה עפ”י חוק שני:
F_x = ma∑
F_x = T_x∑
T_x = Tsin20 = ma
a = (Tsin20)/m = (mgsin20)/mcos20
(במעבר האחרון מציבים את T כפי שמצאנו בסעיף 1)
a = g * tan 20 = 3.567

תשובה: תאוצת הקרון היא 3.567 מ”ש².

תרגיל 2
אדם עולה במעלית המאיצה כלפי מעלה במהירות של 5 מטר בשנייה.
אם מסת האדם היא m:

1. מה הכוח הנורמלי שרצפת המעלית מפעילה על האדם?
2. כאשר המעלית יורדת ומאיטה היא עושה זאת בתאוטה של 2 מטר בשנייה. מה הכוח הנורמלי שרצפת המעלית מפעילה על האדם אז?
3. באיזו תאוצה האדם לא ירגיש כלל כוח נורמלי?
   

פתרון
סעיף 1:
תרשים כוחות:

האדם נמצא במנוחה ביחס למעלית, לכן הוא נע באותה תאוצה a.
משוואה מחוק השני:
F_x = N – W = ma∑
N = ma + W
W = mg
g = 9.8 , a = 5 m/s²
N = ma + mg
(N = m (a + g
N = 14.8m

תשובה: הכוח הנורמלי שמפעילה המעלית על האדם היא 14.8m ניוטון כלפי מעלה.

סעיף 2:

האדם נמצא במנוחה ביחס למעלית, לכן הוא נע באותה תאוצה a.
משוואה מחוק שני:
F_x = W – N = ma∑
(הפעם המעלית מאיצה למטה, לכן ניקח את הכיוון למטה ככיוון החיובי)
N = W – ma
W = mg
g = 9.8 , a = 2 m/s²
N = mg – ma
(N = m (g – a
N = 7.8m

תשובה: הכוח הנורמלי שמפעילה המעלית על האדם היא 7.8m ניוטון כלפי מעלה.

סעיף 3:
נסתכל על הביטוי לכוח הנורמלי מסעיף 2:
(N = m (g – a
N = 0 אם a = g.

כלומר, על האדם לא יפעל כוח נורמלי כלל אם תאוצת המעלית תהיה שווה לתאוצת הכובד g.
הערה: מצב זה יתרחש אם המעלית תיפול נפילה חופשית. במקרה זה האדם והמעלית יפלו יחד כך שהכוח היחידי שפועל עליהם הוא כוח הכובד, ובמקרה כזה האדם והמעלית לא יפעילו שום כוח אחד על השני.

תרגיל 3
על פי הנתונים שבשרטוט. מה תאוצת המערכת ובאיזה כיוון?
(המערכת ללא חיכוך).

פתרון
נצייר תרשים כוחות. המערכת חסרת חיכוך לכן הכוחות שפועלים הם כבידה ומתיחות:

הערה: על המסה שמונחת על השולחן פועלים גם mg וכוח נורמלי שמפעיל השולחן. המסה הזו אינה נעה ברכיב האנכי, וכוחות אלה לא משפיעים על התנועה.

המתיחות על כל אחד מהחוטים קבועה וניתן להניח שכל המערכת נעה באותה תאוצה.
נניח באופן אינטואיטיבי שהמסה 10 ק”ג נעה מטה והמסה 5 ק”ג נעה מעלה. מותר להניח זאת ולחשב לפי ההנחה. (במידה ואנו טועים, נקבל a < 0 , והמשמעות היא שהמערכת מאיצה בכיוון ההפוך)

נשתמש בחוק השני על כל אחד מהגופים:
מסה 10 ק”ג:
F = m₁g – T₁ = m₁a∑
מסה 5 ק”ג:
F = T₂ – m₂g  = m₂a∑
מסה 7 ק”ג:
F = T₁ – T₂ = m₃a∑

נחשב את T₁ ו T₂ מהמשוואות הראשונות:
(T₁ = m₁(g – a
(T₂ = m₂(a – g

נציב במשוואה השלישית:
(m₃a  = m₁(g – a) –  m₂(a – g
a * (m₃ + m₁ + m₂) = m₁g +m₂g
(a = (m₁ + m₂)g / (m₁ + m₂ + m₃

a = 15*10 / 22 = 6.818 m/s²

תשובה: תאוצת המערכת היא 6.818 מ”ש כאשר המסה השמאלית נעה מטה.

תרגיל 4

ידוע כי מקדם החיכוך הססטי הוא 0.15, מקדם החיכוך הקינטי הוא 0.1.
M1 = 5
M2 = 5
שיפוע המדרון 40 מעלות.

1. האם המערכת תנוע?
2. אם כן חשבו חשבו את תאוצת המערכת.

פתרון

סעיף 1:
שרטוט תרשים כוחות:

סעיף 1:
נסתכל על המסה שמונחת על המדרון. היא תנוע אם שקול הכוחות במישור השיפוע שונה מ-0, כאשר המערכת במנוחה.

מציאת המתיחות כאשר המערכת במנוחה:
עפ”י חוק שני על הגוף התלוי:
F = mg – T = ma = 0∑
T = mg.

מציאת משוואות כוחות של הגוף על המדרון:
נחלק את mg לרכיבים:

חישוב החיכוך הקינטי:
f = μ_s N
אין תנועה ברכיב המאונך למישור לכן עפ”י חוק שני:
N – mg_y’ = 0
N = mgcos40
נציב בחזרה בביטוי של החיכוך:
f = μ_s mgcos40

נחשב את שקול הכוחות בכיוון x’:
_‘F = T – f – mg_x∑
T = mg = 5*10 = 50 N
f =  μ_s mgcos40 = 0.15 * 5 * 10 * cos40 = 5.745 N
 mg_x’ = mgsin40 = 32.14 N

F > 0∑

שקול הכוחות במישור השיפוע גדול מ-0, ועפ”י חוק שני המסה תאיץ ימינה.

סעיף 2:
עפי סעיף 1, המערכת תאיץ כך שהגוף על המישור מאיץ ימינה:

(מתיחות החוט קבועה במערכת לכן המערכת נעה באופן אחיד, כלומר התאוצות של שתי הגופים שוות ל-a)

חישוב התאוצה עפ”י חוק שני על המסה במדרון:
F = T – f_k – mg_x’ = ma∑

חישוב המתיחות:
עפ”י חוק שני על המסה התלויה:
F = mg – T = ma
(T = mg – ma = m(g-a

חישוב החיכוך הקינטי:
f_k = μ_k N
f_k = μ_k mgcos40

הצבה חזרה במשוואה:
T – f_k – mg_x’ = ma
m(g – a) – μ_k mgcos40 – mgsin40 = ma
g – a) – μ_k gcos40 – gsin40 = a)
2a = g -μ_k gcos40 – gsin40
a = (10 – 0.1 * 10 * cos 40 – 10 * sin 40) / 2
a = 2.806 m/s²

תשובה: תאוצת המערכת תהיה 2.806 מ”ש² כאשר המסה התלויה מאיצה מטה.

תרגיל 5
גוף שמסתו 8 ק”ג מונח על מישור משופע חלק, ומחובר לגוף התלוי דרך גלגלות. המסה התלויה מחוברת לגלגלת במוט קשיח חסר מסה כפי שמתואר בשרטוט.
על פי הנתונים שבשרטוט.

1. האם המערכת תנוע? אם כן, מצאו לאיזה כיוון וחשבו את התאוצה של כל אחד מהגופים.
2. מחליפים את המשטח במשטח מחוספס שמקדם החיכוך שלו μ. חשבו את מקדם החיכוך המינמלי הדרוש כדי שהמערכת תשאר במצב מנוחה.

 

פתרון
סעיף 1:
שרטוט תרשים כוחות:
לאורך החוט הסגול קיימת מתיחות אחידה T₁ הפועלת על הגוף 8kg ועל הגלגלת הימנית בשני צדדיו. המסה התלויה מחוברת לגלגלת בחוט האפור, והמתיחות שלו היא T_2.

מציאת משוואות תנועה לפי חוק שני:
גוף 8kg:
ברכיב האנכי לא תהיה תנועה, נתייחס רק לרכיב האופקי:
F = T₁ – m₁gsin20 = m₁a₁∑

גוף 6kg + גלגלת:
F = m₂g – 2T₁ = m₂a₂∑
הסבר: הגלגלת הימנית נמשכת ע”י החבל הסגול משני צדיה, לכן הכוח הפועל עליה כלפי מעלה הוא 2T₁.

מציאת הקשר בין תאוצות הגופים:
המסה 8kg נמשכת ישירות ע”י החוט הסגול, לכן ההעתק שלה זהה להעתק של החוט.
המסה התלויה לעומת זאת, נעה יחד עם הגלגלת שמחוברת לחבל בשני צדדיה, וההעתק שלה שווה לחצי מההעתק של החוט הסגול.
לדוגמה, עם המסה התלויה ירדה למטה בהעתק של 1 מ’, זה אומר שאורך החבל הסגול התארך ב1 מ’ בכל אחד מהצדדים של הגלגלת. כלומר, בסה”כ הקצה השמאלי שמחובר למסה 8kg נע ימינה 2 מטר.
המשמעות היא שגם התאוצה של המסה 8kg גדולה פי מסה מהתאוצה של המסה 6kg, כלומר:
a₁ = 2a₂ .

בדיקת כיוון התנועה ומציאת התאוצה:
נניח באופן שרירותי שהמערכת מאיצה כך שהמסה התלויה מאיצה כלפי מטה, והגוף על המדרון נע למעלה.
נחשב את התאוצה בהתאם. במידה ותתקבל תאוצה שלילית, נסיקה שההנחה הייתה שקולה והמערכת מאיצה בכיוון ההפוך.

מציאת a₁ וa₂:
פיתוח אלגברי של משוואת התנועה:

F = T₁ – m₁gsin20 = m₁a₁∑
F = m₂g – 2T₁ = m₂a₂∑

בידוד T₁:
T₁ = m₁a₁ + m₁gsin20
הצבה במשוואה השנייה:
m₂g – 2m₁a₁ – 2m₁gsin20 = m₂a₂
הצבת הקשר  a₁ = 2a₂ :

m₂g – 4m₁a₂ – 2m₁gsin20 = m₂a₂

הצבת גדלים מספריים:
8a₂ = 80 – 32a₂ – 160sin20
40a₂ = 80 – 160sin20
a₂ = 0.632 m/s²

a₁ =  1.264 m/s².

תשובה: המערכת תאיץ כך שהגוף התלוי מאיץ מטה.
תאוצת הגוף התלוי היא 0.632 מ”ש² ותאוצת הגוף על המדרון הוא 0.632 מ”ש².

סעיף 2:
עפ”י סעיף א’, ללא החיכוך המערכת מאיצה ונעה ימינה. החיכוך שואף להקטין את התנועה ולכן יפעל לכיוון שמאלה.
תרשים כוחות:

משוואות תנועה:
גוף 8kg:
F = T₁ – m₁gsin20 – f = m₁a₁∑

גוף 6kg + גלגלת:
F = m₂g – 2T₁ = m₂a₂∑

חישוב כוח החיכוך:
f ≤ μN = μm₁gcos20.

כדי למצוא את מקדם החיכוך המינמלי הדרוש כדי לבלום את התנועה, נחפש μ כך שבזמן שהחיכוך מקסימלי התאוצה מתאפסת:
T₁ – m₁gsin20 – f = m₁a₁
T₁ – m₁gsin20 –  μm₁gcos20 = 0

חישוב T₁ ממשוואת התנועה של הגוף התלוי:
m₂g – 2T₁ = m₂a_{2 = 0}
T₁ = m₂g / 2

הצבת T₁ בחזרה:
m₂g / 2 – m₁gsin20 –  μm₁gcos20 = 0
μ = (m₂g / 2 – m₁gsin20) / m₁gcos20.

הצבת מספרים:
μ = (6*10/2 – 8*10*sin20) / 8*10cos20 = 0.035

תשובה: מקדם החיכוך המינמלי הדרוש הוא 0.035.

תרגיל 6
גוף שמסתו 8 ק”ג מונח על מדרון משופע שזוויתו אינה ידועה.
מקדם החיכוך הסטטי בין הגוף למדרון הוא 0.4 ומקדם החיכוך הקינטי הוא 0.2.

1. מגדילים לאט את זווית השיפוע. חשבו מה הזווית הקטנה ביותר של המדרון שבה הגוף יתחיל לנוע.
2. כאשר הגוף יתחיל לנוע, מה תהיה תאוצתו?

פתרון
סעיף 1:
שרטוט תרשים כוחות:

הגוף יתחיל לנוע כאשר שקול הכוחות ברכיב ה-x יהיה שונה מ-0.

משוואת חוק שני ברכיב ה-x:
F_x = mg_x – f∑

חישוב רכיבי המשוואה:
mg_x = mgsina
לפי חוק שני בציר y:
N = mg_y = mgcosa
f_s ≤ Nμ_s = mgcosaμ_s

הצבה חזרה במשוואה:
0 ≠ F_x = mg_x – f_s ∑
(בהנחה שהגוף משוחרר ממצב מנוחה, מחפשים זווית כך ש mg_x > f_{s max} )
mgsina > mgcosaμ_s
sina > cosaμ_s
sina / cosa = tan a >  μ_s = 0.4
a > 21.801°

תשובה: הזווית הקטנה ביותר בה הגוף יתחיל לנוע היא 21.801°.

סעיף 2:
משוואת כוחות מסעיף א:
F_x = mg_x – f∑

כאשר הגוף נע החיכוך הוא חיכוך קינטי.

עפ”י חוק שני:
F_x = mg_x – f_k = ma_x∑

הצבת הביטווים לכוחות מסעיף א:
mgsina – mgcosaμ_k = ma
( a = g (sin a – cos a μ_k 

הצבת גדלים מספריים:
( a = 10 ( sin 21.801 – 0.2 cos 21.801
a = 1.857 m/s²

תשובה: הגוף ינוע בתאוצה של 1.857 מ”ש².
הערה: שימו לב לכך שתאוצת הגוף במערכת זו אינה תלויה במסה שלו.

תרגיל 7
על גוף A שמסתו 20 ק”ג מונח גוף B שמסתו 5 ק”ג.
מקדם החיכוך הסטטי בין הגופים הוא 0.3. מקדם החיכוך הקינטי בין הגופים הוא 0.2.
בין גוף A למשטח עליו הוא מונח לא פועל חיכוך.
מפעילים כוח F אופקי על הגוף A.

1. מה הכוח המקסימלי שעבורו שני הגופים ינועו יחד.
2. מפיעילים כוח F שגודלו גדול מן הגודל המקסימלי שמצצאתם בסעיף א’. שרטטו את הכוחות הפועלים על גוף B וקבעו מה תהיה התאוצה שלו.

 

פתרון
סעיף 1:
שרטוט תרשים כוחות:
על כל אחד מהגופים פועל כוח הכבידה. על גוף A פועל כוח נורמלי שמפעיל המשטח. “המשטח” עליו מונח גוף B הוא גוף A, ולכן גוף A מפעיל כוח נורמלי על גוף B (שמפעיל עליו כוח נורמלי בחזרה, לפי חוק שלישי).
הכוח החיצוני F גורם לתנועת גוף A שמאלה. החיכוך בינו לבין גוף B “מפריע” לתנועה הזו כלומר מאט אותה, ולכן החיכוך על גוף A פועל שמאלה. לפי חוק שלישי, גם גוף A מפעיל חיכול על גוף B בכיוון הפוך, כלומר ימינה.

הערה:
עפ”י חוק שלישי,כוח החיכוך והכוח הנורמלי ש גופים A ו B מפעילים זה על זה שווים בגודלם והפוכים בכיוונם, כלומר:
N_AB = – N_BA
f_AB = – f_BA

שני הגופים ינועו יחד אם התאוצות שלהם תהיינה שוות.
משוואות תנועה מחוק שני:
גוף A:
F_x = F – f_BA = m_Aa_Ax∑

גוף B:
F_x = f_AB = m_Ba_Bx∑

חישוב החיכוך:
כאשר הגופים נעים ביחד הם למעשה במצב סטטי אחד ביחס לשני, לכן החיכוך הפועל במצב זה הוא חיכוך סטטי.
f_s ≤ Nμ_s .
עפ”י חוק שני ברכיב y של גוף B:
N = m_Bg
f_s ≤ m_Bgμ_s .

מכיוון שכוח החיכוך הוא הכוח שמאיץ את גוף B, הכוח F המקסימלי עבורו הגופים ינועו יחד, הוא הכוח כך שהחיכוך הדרוש להאצת גוף B יהיה מקסימלי, כלומר  f_s = m_Bgμ_s.
מבחינה הגיונית, ניתן להבין שעבור F גדול מהכוח המקסימלי, החיכוך לא יהיה מספיק חזק בשביל לגרום לגוף B להאיץ באותו קצב, והוא “יחליק שמאלה” על גבי גוף A.

הצבה במשוואת התנועה:
גוף A:
F – m_Bgμ_s = m_Aa_Ax
a_AX = (F – m_Bgμ_s) / m_A

גוף B:
m_Bgμ_s = m_Ba_Bx
a_BX = gμ_s

הגופים ינועו יחד אם התאוצות תהיינה שוות:
השוואת התאוצות ומציאת F:
a_BX = a_AX
gμ_s = (F – m_Bgμ_s) / m_A
gμ_sm_A = F – m_Bgμ_s
F = gμ_sm_A + m_Bgμ_s
(F = gμ_s(m_A + m_B

הצבת מספרים:
F = 10 * 0.3 ( 20 + 5) = 75 N

תשובה: הכוח המקסימלי עבורו שני הגופים ינועו יחד הוא 75 ניוטון.

סעיף 2:
תרשים הכוחות זהה לסעיף א, רק שכעת גוף A ינוע ביחס לגוף B והחיכוך ביניהם יהיה חיכוך קינטי.

מציאת משוואת תנועה עפ”י חוק שני:
F_x = f_{AB k} = m_Ba_Bx∑
a_Bx = f_{AB k} / m_B

מציאת החיכוך:
כמו בסעיף א:
f_k = Nμ_k = m_Bgμ_k

a_Bx =m_Bgμ_k / m_B
a_Bx = gμ_k

הצבת מספרים:
a_Bx = 10 * 0.2 = 2 m/s²

תשובה: תאוצת הגוף תהיה 2 מ”ש².

עוד באתר:

• מכניקה – נושאים נוספים.
• בגרות במתמטיקה.