בעיות קיצון מספרים (מינימום מקסימום)

בדף זה נלמד לפתור בעיות קיצון של מספרים, וזה הדף הראשון בנושא בעיות קיצון שאתם אמורים לפגוש.
חלקי הדף הם:

  1. השלבים לפתרון בעיות קיצון.
  2. בניית פונקציה עבור בעיות קיצון.
  3. תרגילים עם פתרונות מלאים.

1.השלבים לפתרון בעיות קיצון

לפתרון של בעיות קיצון יש שלבים קבועים:

  1. בחירת והגדרת משתנים.
  2. בניית פונקציה.
  3. גזירת הפונקציה ומציאת הערך שעבורו הפונקציה מקבלת מינימום / מקסימום.
    החלק הזה כולל מספר תתי שלבים:
    1. גזירת הפונקציה.
    2. מציאת ערך בו הנגזרת שווה ל -0.
    3. בדיקה האם כאשר הנגזרת שווה 0 זו נקודת קיצון מהסוג אותו אנו מחפשים.
  4. לרוב נדרש לעשות דבר נוסף, בכול שאלה זה משהוא אחר אבל שימו לב שלרוב לאחר מציאת הערכים אנו צריכים לעשות משהוא נוסף

מבין השלבים הללו הדבר החדש הוא שלבים 1-2 של בניית פונקציה.

2.בניית פונקציה עבור בעיות קיצון

בחלק זה נתרגל כיצד בונים פונקציה.
תמיד עלינו לבנות את הפונקציה בעזרת משתנה אחד בלבד.

תרגיל 1
סכום שני מספרים הוא 10.
בנו פונקציה המביעה את סכום ריבועי המספרים.

פתרון
שלב א: הגדרת המספרים
x  המספר הראשון.
כדי שסכום שני המספרים יהיה 10 המספר השני צריך להיות:

שלב ב: בניית הפונקציה
הפונקציה של סכום ריבועי המספרים היא:
f(x) = x² + (10 – x)²

תרגיל 2
הפרש שני מספרים הוא 10.
בנו פונקציה המביעה את הפרש ריבועי המספרים.

פתרון
שלב א: הגדרת המספרים
x המספר הראשון.
המשפט "הפרש שני מספרים הוא 10" אומר שמספר אחד גדול מהשני ב 10.
לכן המספר השני הוא:
x + 10.
(נבדוק שבאמת הפרש המספרים הוא 10
x + 10 – x = 10)

שלב ב: בניית הפונקציה
הפונקציה של הפרש ריבועי המספרים הוא:
f(x) = (x + 10)² – x²

הערה
המספרים הוגדרו כ:
x
x + 10
אבל אם היינו מגדירים
x
x – 10
זה היה עדיין נכון, כי בשני המקרים ההפרש בין המספרים הוא 10.

תרגיל 3
המספרים x,y מקיימים   4y + x = 20
בנו פונקציה המתארת את סכום החזקות השלישיות שלהם.

פתרון
שלב א: הגדרת המספרים
y  הוא מספר אחד.
על פי המשוואה נקבל:
4y + x = 20
x = 20 – 4y

שלב ב: בניית הפונקציה
הפונקציה המתארת את סכום החזקות השלישיות היא:
f(x) = y³ + (20 – 4y)³

תרגיל 4
סכום 3 מספרים הוא 10. אחד המספרים גדול מהשני פי 2.
בנו פונקציה המביעה את סכום ריבועי המספרים.

פתרון
שלב א: הגדרת המספרים
x  מספר ראשון
2x המספר הגדול ממנו פי 2.
המספר השלישי משלים את שני המספרים ל 10 ולכן הוא:

שלב ב: בניית הפונקציה
הפונקציה של סכום ריבועי המספרים היא:
f(x) = x² + (2x)² + (10 – 3x)²

תרגיל 5
במשולש ישר זווית סכום אורכי הניצבים הוא 12.
בנו פונקציה המביעה את אורך היתר.

פתרון
במשולש ישר זווית יש את משפט פיתגורס. כך שאם נגדיר את אורכי הניצבים נוכל לבנות בעזרת משפט פיתגורס פונקציה המתארת את אורך היתר.

שלב א: הגדרת אורכי הניצבים
x אורך של ניצב אחד.
ידוע כי "סכום אורכי הניצבים הוא 12" לכן הניצה השני הוא:

שלב ב: בניית הפונקציה
על פי משפט פיתגורס הפונקציה המתארת את אורך היתר היא:
f(x) = x² + (12 – x)²

3.תרגילים עם פתרונות מלאים

תרגילים 1-2 הם תרגילים קלים יחסית.
תרגיל 3 קשה יותר ודורש ידע בנגזרת שורש.

תרגיל 1
מצאו זוג המספרים שסכומם הוא 14 ומכפלתם היא מקסימלית.
מצאו את המכפלה.

פתרון
שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
x1   המספר המבוקש הראשון.
המספר השני

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את מכפלת המספרים.
f (x) = x1 (14 – x1) = 14x1 – x1²

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה:
f (x) = 14x1 – x1²
f ' (x) = 14 – 2x1

2x1 + 14 = 0 –
2x1 = 14  / : 2
x1 = 7
כלומר המספר החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 7.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (x) = 14 – 2x1
f " (x) = -2

מצאנו שהנגזרת השנייה שלילית לכל x, וגם עבור x1 = 7.
נגזרת שנייה שלילית זה אומר נקודת מקסימום.

לכן עבור x = 7 ערך מכפלת המספרים הוא מקסימלי.
המספר השני הוא:
7 = 7 – 14.
תשובה: זוג המספרים שסכומם 14 ומכפלתם מקסימלית הוא 7,  7.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בנוסף שאלו אותנו מה היא המכפלה המקסימלית
49 = 7 * 7
תשובה: המכפלה המקסימלית היא 49.

גרף הפונקציה f (x) = 14x - x² ונקודת המקסימום שלו (49, 7)
גרף הפונקציה f (x) = 14x – x² ונקודת המקסימום שלו (49, 7)

 

תרגיל 2
סכום שלושה מספרים הוא 20. נתון כי מספר אחד גדול מהשני פי 2.
א) מצאו את שלושת המספרים שמכפלתם היא הגדולה ביותר.
ב) מה היא המכפלה הגדולה ביותר.

פתרון
1.נגדיר משתנים:
x – אחד המספרים.
2x – המספר הכפול בגודלו.
20-3x – המספר השלישי.

2. נבנה פונקציה המבטאת את המכפלה של המספרים:
ƒ(x)=x*2x*(20-3x)=2x²(20-3x)=40x²-6x³
ƒ(x)=40x²-6x³

3. נמצא מתי הנגזרת שווה ל- 0.
f ' (X) = 80x – 18x²
80x – 18x² = 0
x (80 – 18x) = 0

קיבלנו שני גורמים שהמכפלה שלהם היא 0.
לכן אחד הגורמים צריך להיות שווה ל- 0.
אפשרות ראשונה:
x = 0
אפשרות שנייה:
18x = 80  / :18
x = 4.444

4. נבדוק האם מתקבלת נקודת מקסימום
נעשה זאת בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (X) = 80x – 18x²
f "( x)  = 80 – 36x

נציב x = 0.
f " (0) = 80 – 36*0 = 80
הנגזרת השנייה חיובית לכן x =0 זו נקודת מינימום.
לא מה שאנו מחפשים.

נציב x = 4.44
f " (4.44) = 80 – 36 * 4.44 < 0
הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מקסימום.

5. נמצא את שלושת המספרים.
x = 4.44
2x = 8.88
6.66 = 4.44 – 8.88 – 20

תשובה: שלושת המספרים הם 4.44,  8.88,  6,66

סעיף ב
חישוב המכפלה המקסימלית:
262.58 = 8.88 * 6.66 * 4.44

תרגיל 3 (תרגיל קשה יותר עם פונקציית שורש).
סכום ריבועי מספרים הוא 50.
מה הם שני המספרים שסכומם מינימלי.
מהו הסכום המינימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
x  –  המספר המבוקש הראשון.
y – המספר השני.

נרצה לבטא את y באמצעות x – כדי שתהיה לנו משוואה של משתנה אחד.
לכן נשתמש בנתון לגבי סכום הריבועים.
x2 + y2 = 50
y2 = 50 – x2
(y = ±√(50 – x2

אנו מחפשים את הסכום המינימלי. לכן נבחר מספר שלילי. (עבור מספר חיובי כנראה שלא יתקבל סכום שהוא מינימלי).
לכן:
(y = -√(50 – x2

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את סכום המספרים.
f (x) = x + y 
(f(x) = x – √(50 – x2

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

נצמצם ונעביר אגפים:

נכפול במכנה:
 **
נעלה בריבוע את שני האגפים:
x2 = 50 – x2
2x2 = 50
x2 = 25
x = ±5

מהמשוואה ** ניתן להסיק כי x הוא שלילי. (השורש תמיד חיובי , והוא נכפל במינוס).
לכן x = -5.

כלומר המספר החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מינימלי הוא 5-.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.

נכפול מונה ומכנה ב – 

נציב x = -5 בנגזרת השנייה:
f"(-5) = 50/125 > 0
מצאנו כי הנגזרת השנייה חיובית עבור x = -5.

נגזרת שנייה חיובית => זוהי נקודת מינימום.

לכן עבור x = -5 ערך סכום המספרים הוא מינימלי.

המספר השני הוא:
y = -√(50-x2) = -√(50-25) = -√25
y = -5
תשובה: זוג המספרים שסכום ריבועיהם הוא 50 וסכומם מינימלי הוא 5- , 5-.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי שאלו אותנו מהו הסכום המינימלי.
הסכום המינימלי הוא הסכום של שני המספרים שמצאנו:
Smin = -5 + (-5) = -10

תשובה: הסכום המינימלי הוא  10-.


גרף הפונקציה:  (f(x) = x – √(50 – x ונקודת המינימום שלה.

עוד באתר

דפים בנושא בעיות קיצון.
בעיות לפי נושא:

  1. בעיות קיצון גיאומטריות.
  2. בעיות קיצון גרפים.
  3. בעיות קיצון חישוב מרחקים ושטח משולש.

בעיות לפי מספר יחידות:

  1. בעיות קיצון 3 יחידות.
  2. בעיות קיצון 4 יחידות.
  3. בעיות קיצון 5 יחידות.

דפים נוספים:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.