איך מוכיחים שפונקציה עולה או יורדת תמיד?

על מנת להוכיח שפונקציה עולה תמיד נוכיח שהנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה.

על מנת להוכיח שפונקציה יורדת תמיד נוכיח שהנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה.

על מנת להוכיח דברים מסוג זה לרוב נשתמש בכך ש:

1.מתי שבר חיובי?

כאשר המונה והמכנה חיוביים.

או כאשר המונה והמכנה שליליים.

2.מתי שבר שלילי?

כאשר המונה חיובי והמכנה שלילי או להיפך.

3.ביטויים לדוגמה שהם אף פעם לא שליליים:

x²

x⁴

√x

4.ביטויים לדוגמה שהם אף פעם לא חיוביים:

-x²

-x⁴

-√x

דוגמאות להוכחות

בדוגמאות ניתן את הפונקציה ואת הנגזרת שלה.

כמו כן על מנת להתמקד בעיקר – לא נמצא את תחום ההגדרה.

דוגמה 1

נתונות הפונקציה והנגזרת שלה.

הוכיחו כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

פתרון

תחום ההגדרה x ≠ 0 .

המכנה x ² חיובי לכל x בתחום ההגדרה.

המונה 1 חיובי תמיד.

לכן המנה חיובית תמיד וכאשר מכפילים במינוס שלפני מקבלים שהנגזרת שלילית לכל x בתחום ההגדרה ולכן הפונקציה יורדת לכל x.

דוגמה 2

נתונות הפונקציה והנגזרת שלה.

הוכיחו כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

פתרון

תחום ההגדרה x ≠ 0 .

מכנה הנגזרת חיובי בכל תחום ההגדרה.

-x² – 2
הוא המונה.

2- שלילי תמיד.

-x²
שלילי בכל תחום ההגדרה

לכן הסכום שלהם שלילי והמונה שלילי תמיד.

המונה: שלילי בכל תחום ההגדרה.
המכנה: חיובי בכל תחום ההגדרה.

לכן הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה.

דוגמה 3

נתונות הפונקציה והנגזרת שלה.

הוכיחו כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה (למעט נקודת הקצה).

דוגמה 4

נתונות הפונקציה והנגזרת שלה.

הוכיחו כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה (למעט נקודת הקצה).

נתון כי a < 0.

פתרון

תחום הגדרה:
x < – a  או   x ≤  a וגם x ≠ 0

במונה
a² הוא מספר שונה מ 0 בחזקת 2 – ולכן חיובי תמיד.

במכנה
x² חיובי בכל תחום ההגדרה.

√(x² – a²)
הוא ביטוי חיובי בכל תחום ההגדרה – חוץ מנקודת הקצה.

לכן המכנה חיובי בתחום המבוקש.

לכן הנגזרת חיובית בתחום ההגדרה למעט נקודת הקצה והפונקציה עולה בתחום זה.