איך מוכיחים שפונקציה עולה או יורדת תמיד?

על מנת להוכיח שהפונקציה עולה תמיד יש להוכיח שהנגזרת חיובית תמיד.
עבור פונקציה יורדת תמיד יש נגזרת שלילית תמיד.

יש 2 דרכים להוכיח שהנגזרת חיובית / שלילית תמיד.

  1. בעזרת מציאת נקודות הקיצון המוחלטת של הפונקציה
  2. על פי תכונות הפונקציה. נגזרות הכוללות ביטויים כמו שורש, פונקציה טריגונומטרית או לן יתכן ונוכיח בדרך הקשורה לתכונות הפונקציה.

דף זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.

1.הוכחה באמצעות נקודות קיצון מוחלטות

הוכחה זו מבוססת על חקירת פונקציית הנגזרת.

המשמעות של פונקציה עולה / יורדת תמיד

אם עלינו להוכיח שהפונקציה עולה בתחום מסוים / עולה תמיד עלינו לחקור את גרף הנגזרת ולהראות שהוא חיובי באותו תחום / חיובי תמיד.
פונקציה עולה תמיד ⇐ גרף הנגזרת תמיד מעל ציר ה x.

אם עלינו להוכיח שגרף הפונקציה יורד בתחום מסוים / יורד תמיד עלינו לחקור את גרף הנגזרת ולהראות שהוא שלילי באותו תחום / שלילי תמיד.
פונקציה יורדת תמיד ⇐ גרף הנגזרת תמיד מתחת לציר ה x.

כאשר נחקור את פונקציית הנגזרת, אלו מקרים אנו יכולים לפגוש? (ושיאפשרו לנו להוכיח את המבוקש)

1.גרף הנגזרת הוא פרבולה.
אם גרף הנגזרת הוא פרבולה ועלינו להוכיח כי הנגזרת חיובית תמיד אז עלינו בעצם להוכיח:

  1. שזו פרבולת מינימום.
  2. שערך ה y של נקודת המינימום חיובי (או לחלופין להוכיח שאין לפרבולה נקודת חיתוך עם ציר ה x).

אם עלינו להוכיח שהפרבולה שלילית תמיד:

  1. זו פרבולת מקסימום.
  2. ערך ה y של נקודת המקסימום שלילי (או לחלופין להוכיח שאין לפרבולה חיתוך עם ציר ה x).
אם שני הגרפים הם גרפים של נגזרות אז הפונקציה שהנגזרת שלה נמצאת מימין עולה תמיד. ונגזרת משמאל מייצגת פונקציה היורדת תמיד

אם שני הגרפים הם גרפים של נגזרות אז הפונקציה שהנגזרת שלה נמצאת מימין עולה תמיד.
ונגזרת משמאל מייצגת פונקציה היורדת תמיד

2.גרף הנגזרת כולל מספר נקודות מינימום ומקסימום ביחד (בתחום סגור)

אם גרף הנגזרת כולל גם מינימום וגם מקסימום ואנו צריכים להוכיח שהנגזרת חיובית תמיד אז עלינו:

  1. למצוא את ערך ה y של (f ' (x בנקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה.
  2. להראות שמשני צדדי המקסימום הערך הקיצוני ביותר שמתקבל גדול מ 0.

לדוגמה:
אם עלינו לחקור פונקציה בתחום x ≥1
וגרף הנגזרת נראה כמו בשרטוט שלמטה.
אז עלינו למצוא את ערך הנגזרת (f ' (x בנקודות A,B,C ולהראות שהם חיוביים.
את ערך הנגזרת מימין לנקודה C אין צורך לבדוק כי מצאנו שהנקודה C היא מינימום ולכן חייבת לעלות ולקבל ערכים חיוביים מימין לנקודה C.

דוגמה

דוגמה 1
הוכיחו כי הפונקציה
f (x) = x4 – x³
לא עולה בתחום
x ≤ 0.4

פתרון
נגזור את הפונקציה ונקבל:
f ' (x) = 4x³ – 3x²

עכשיו עלינו להוכיח שערכי הנגזרת בתחום x ≤ 0.4 הם תמיד שליליים או שווים ל 0 (ביקשו מאיתנו "לא עולה").

נחפש את נקודת הקיצון של פונקציית הנגזרת

נגזור את פונקציית הנגזרת:
f ' (x) = 4x³ – 3x²
f " (x) = 12x² – 6x

12x² – 6x = 0
6x (2x – 1) = 0

הפתרונות הם:
x = 0  או  x = 0.5

הפתרון x = 0.5 נמצא מחוץ לתחום ההגדרה ולכן נתעלם ממנו.

נבדוק האם x= 0 זו נקודת מינימום או מקסימום על ידי הנגזרת השנייה של פונקציית הנגזרת.
f " (x) = 12x² – 6x
f "' (x) = 24x – 6
עבור x = 0 ערך הנגזרת השלישית הוא:
f "' (0) = 24*0 – 6 = -6
הנגזרת השנייה שלילית ולכן זו נקודת מקסימום.

נבדוק את ערך הנגזרת בנקודת במקסימום המקומי ובנקודת הקצה
נציב x = 0 בנגזרת:
f ' (x) = 4x³ – 3x²
f ' (0) = 4*0³ – 3*0² = 0

נציב x = 0.4 בנגזרת:
f ' (0.4) = 4 * 0.4³ – 3 * 0.4² = 0 = -0.224

לסיכום
מצאנו כי לפונקציית הנגזרת יש נקודת מקסימום ב (0,0) ולכן הנגזרת לא חיובית כאשר x ≤ 0.
כמו כן מצאנו נקודת קיצון מקומית ב (0.224- , 0.4), גם בנקודה זו הנגזרת אינה חיובית.
לכן הנגזרת אינה חיובית בכול התחום x ≤ 0.4 והפונקציה אינה עולה בכול התחום הזה.

דוגמה 2
הוכיחו כי הפונקציה f (x) = x³  + 6x² + 14x
עולה בכול תחום הגדרתה.

פתרון
על מנת שהפונקציה תעלה תמיד הנגזרת צריכה להיות חיובית תמיד.
גרף הנגזרת צריך להיות כולו מעל ציר ה x.

1.נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 3x² + 12x + 14

2.הוכחה באמצעות תכונות הפונקציה

חלק זה יהיה קצר.

לפונקציה יש תכונות מסוימות שלפעמים גורמים לנגזרת שלהם להיות חיובית תמיד או שלילית תמיד.

דוגמה 1
אם מצאנו כי נגזרת של פונקציה היא:
f ' (x) = √x + 1
אז הפונקציה עולה לכל x.
כי הביטוי
x ≥ 0√
וכאשר מוסיפים לו 1 הסכום הופך לגדול מ 0.

דוגמה 2
אם מצאנו כי הנגזרת של הפונקציה היא:
f ' (x) =  sin x – 2
אז הפונקציה יורדת לכל x בתחום הגדרתה.
כי הערך המקסימלי של sin x הוא 1.
וכאשר מחסרים 2 מקבלים שגרם הערך מקסימלי של הפונקציה הוא שלילי.
לכן הנגזרת שלילית בכול תחום ההגדרה והפונקציה יורדת בכול תחום ההגדרה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.