משפטים בגיאומטריה – מרובעים

בדף זה תמצאו את משפטי המרובעים.

למנויים באתר יש את הדף איך לזכור את משפטי המרובעים הכולל טיפים רבים המקלים על זכירת המשפטים.

זכירת משפטי מקבילית

מקבילית משפטי הוכחה:

1. (הגדרת המקבילית) מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית
2. מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
3. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
4. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
5. מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית

מקבילית משפטי תכונות (משפטים הפוכים):

1. במקבילית כל זוג צלעות נגדיות מקביל.
2. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
3. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
4. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.

שרטוטים של המשפטים

(הגדרת המקבילית) מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית

 

מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית

 

מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.

מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

 

זכירת משפטי מעוין

אלו משפטי המעוין המאושרים לשימוש בבגרות.

1. מקבלית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
2. במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
3. (המשפט ההפוך / משפט ההוכחה) מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
4. במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
5. (המשפט ההפוך / משפט ההוכחה) מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

שרטוט משפטי הוכחת מעוין

1.מקבלית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

2.מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.

3.מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

זכירת תכונות הריבוע

ריבוע כולל את כל התכונות של מקבילית, מעוין, מלבן.

• 4 צלעות שוות.
• שני זוגות של צלעות מקבילות.
• 4 זוויות של 90 מעלות.
• אלכסונים חוצים זה את זה.
• אלכסונים שווים זה לזה.
• אלכסונים מאונכים.
• אלכסונים חוצה זווית.

כדי להוכיח ריבוע קודם מוכיחים מלבן או מעוין ולאחר מיכן ממשיכים:

מוכיחים מלבן ואז צריך להוכיח את אחת מתכונות המעוין:

• אם במלבן זוג צלעות סמוכות שוות אז המרובע הוא ריבוע.
• אם במלבן אלכסון הוא חוצה זווית אז המרובע הוא ריבוע.
• אם במלבן האלכסונים הם מאונכים אז המרובע הוא ריבוע.

או מוכיחים מעוין ואז צריך להוכיח את אחת מתכונות המלבן:

• אם במעוין זווית של 90 מעלות אז המרובע הוא ריבוע.
• אם במעוין האלכסונים שווים אז המרובע הוא ריבוע.

1.האם לריבוע יש התכונות של הצורות הבאות:

• מקבילית.
• מלבן.
• מעוין.

 

2.רשמו את תכונות הריבוע בהקשר של:

• צלעות (שתי תכונות)
• זוויות (תכונה אחת).
• אלכסונים (4 תכונות).

 

3.האם המשפט הבא נכון:

אלכסוני הריבוע יוצרים בנקודת מפגש האלכסונים 4 משולשים שהם ישרי זווית ושווה שוקיים

 

זכירת משפטי טרפז שווה שוקיים

 

1. טרפז בו השוקיים שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
2. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
3. (המשפט ההפוך) טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
5. (המשפט ההפוך) טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.
6. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
7. (המשפט ההפוך) בטרפז  ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.

זכירת משפט הדלתון

איך מוכיחים דלתון?

כדי להוכיח דלתון צריך להוכיח שהמרובע מורכב משני משולשים שווה שוקיים.

אם ידוע שהמרובע דלתון אז התכונה שלו היא:

• האלכסון הראשי בדלתון חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני.

הדרך לזכור את המשפט היא שמכוון שהאלכסון הראשי יוצא מקודקוד הראש של משולש שווה שוקיים ואם יש לו את אחת מהתכונות:

• חוצה זווית.
• תיכון.
• גובה.

אז יש לו את שלושתן.

לכן נזכור שיש לו אחת מיהן – ויש לו את שלושתן.

ומדוע לאלכסון המשני אין את התכונות?

כי הוא לא יוצא מקודקוד משולש שווה שוקיים.

זכירת נוסחאות שטחים

תרגיל 1

האם אתם זוכרים את נוסחת השטח של הצורות הבאות:

1. מקבילית.
2. מעוין.
3. מלבן.
4. ריבוע.
5. טרפז.
6. דלתון.

 

תרגיל 2

עבור חלק מהצורות נוסחת השטח היא גם:

מכפלת האלכסונים חלקי 2.

לאלו צורות הנוסחה הזו מתאימה, ומה משותף לצורות הללו?

 

עוד באתר:

• תכונות מרובעים.
• מבחן מסכם בנושא מרובעים
• משפטים בגיאומטריה.
• מרובעים.
• מתמטיקה לכיתה ט.