זהויות טריגונומטריות ומשוואות טריגונומטריות הוא אחד הנושאים בהם הפער בין תוכנית הלימודים לבין מה שנדרש בפועל בתוכנית הלימודים הוא הגדול ביותר.
משוואות טריגונומטריות סיכום הוא דף הכולל את כל מה שצריך בהקשר של תוכנית הלימודים.
בדף זה אנסה ליצור סיכום שמתמקד במה ששימושי בבחינות הבגרות.
מבוא
אנו רגילים למשוואות עם נעלם אחד הנראות כך:
2x = 4
למשוואה זו פתרון יחיד.
לעומת זאת למשוואה הטריגונומטרית עם נעלם אחד:
sin x = 0.5
יש אינסוף פתרונות.
התכונות המיוחדות של הפונקציות הטריגונומטריות שגורמות להבדל הזה הן מה שמחייב אותנו ללמוד באופן מיוחד את המשוואות הטריגונומטריות.
היסודות
הזהויות הבאות מלמדות אותנו כיצד הפונקציות הטריגונומטריות מתנהגות:
- בתחום 0 – 360.
- מעבר ל 360 מעלות.
פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180 – x
פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
במקרה ותחום ההגדרה של הפתרונות הוא חיובי בלבד נשתמש במקום המשוואה השנייה בזהות:
(cos x = cos (360 – x
פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
כאשר נפתור משוואה טריגונומטרית:
1.נמצא את פתרון ראשון בעזרת המחשבון.
2.נמצא את הפתרון השני בתחום 0-360 בעזרת אחת מהנוסחאות
(sin x = sin (180 – x
(cos x = cos (-x
דוגמה
פתרו את המשוואה:
sin x= 0.5
פתרון
את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30
ובנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150
אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k לכל פתרון.
התשובה הסופית תהיה:
x1 = 30 ± 360k, x2 = 150 ± 360k
יש כאלו המתייחסים אל k כאל מספר היכול לקבל ערכים שליליים ואז הפתרון הוא:
x1 = 30 + 360k, x2 = 150 + 360k
סיכום הפתרון בשקף הבא:
שתי הערות
מתי מוסיפים את ה 360k?
בחלק זה נסביר מצב שבו בתוך הסוגריים יש ביטוי השונה מ x.
למשל:
פתרו את המשוואה:
cos (2x -10) = -0.17364
פתרון
בעזרת המחשבון נמצא
2x – 10 = 100
לפני שאנו מוצאים את x עלינו להוסיף את ± 360k
2x – 10 = 100 ± 360k
2x = 110 ± 360k
x = 55 ± 180k
אפשרות שנייה על פי (cos a = cos(360 – a
2x – 10 = 300 ± 360k
2x = 310 ± 360k
x = 155 ± 180k
הפתרונות הם:
x1 = 55 ± 180k, x2 = 155 ± 180k.
מסקנה
זכרו להוסיף את 360k מיד כאשר אתם מקבלים את האפשרות הראשונה לפתרון מהמחשבון.
הערה לגבי טנגס
לגבי פונקציות ה sin, cos הן חוזרות על עצמן כל 360 מעלות לכן אנו מוסיפים 360k.
לגבי פונקציית הטנגס היא חוזרת על עצמה כל 180k מעלות.
למשל:
tg 30 = tg 210
או
tg 0 = tg 180
לכן ניתן להוסיף 180k לפתרון במחשבון ואין צורך למצוא שני פתרונות בתחום 0 – 360.
הסבר על ידי דוגמה
tg x = 0.5
פתרון
במחשבון נקבל:
x = 26.565
ואז בדרך “הרגילה”:
x = 26.565 + 360k
ואז ניתן למצוא את הפתרון השני בתחום 0 – 360 על ידי הזהות:
tg (x) = tg (180 + x)
ואז:
x = 206.585 + 360k
זו דרך נכונה אך ארוכה מהנדרש.
דרך פתרון שנייה
לאחר שמצאנו:
x = 26.565
נוכל להשתמש בזהות:
tg (x) = tg (180 + x)
כדי לתאר גם שני הפתרונות בתחום 0 – 360 וגם כדי לתאר את המחזוריות:
x = 26.565 + 180k
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
עוד באתר: