אינדוקציה בגרות 5 יחידות

אינדוקציה מתמטית זאת דרך להוכיח שאם משהו נכון לכל n אז הוא נכון לכל המספרים הטבעיים.
לאינדוקציה מתמטית יש 3 שלבים:

1. בסיס האינדוקציה: מראים שהביטוי נכון עבור מקרה פרטי (לדוגמה במקרה שלנו עבור n = 2)
2. הנחת האינדוקציה: מניחים שהביטוי נכון לכל n (נציב n = k ונשתמש בביטוי כמשפט)
3. צעד האינדוקציה: נוכיח שהביטוי נכון עבור כל צעד קדימה n = k +1
   (במקרה שלנו n = k+2 כי המספרים זוגיים)

מבקשים מאיתנו להוכיח באינדוקציה מתמטית שהביטוי הבא מתקיים עבור כל n טבעי וזוגי:

48 + 144 + 288 + … + 6n (n + 2) = n (n + 2) (n + 4)

שלב 1: בדיקה עבור  n = 2

עבור n = 2 מתקיים:

צד שמאל- האיבר הראשון בסדרה הוא

6n (n + 2) = 12 * 4 = 48

צד ימין- נציב ונקבל

2 ( 2 + 2) ( 2 + 4) = 2 * 4* 6 = 48

קיבלנו שוויון בין אגפי המשוואה.

שלב 2: הנחת האינדוקציה- n = k

נניח כי קיים k טבעי זוגי המקיים:

48 + 144 + 288 + … + 6k (k + 2) = k (k + 2) (k + 4)

שלב 3: הוכחה 

כדי לקבל את האיבר הבא צריך להציב k + 2 במקום k

נציב בצד שמאל:

48 + 144 + 288 + … + 6k (k + 2) + 6(k + 2) (k + 4)

הוספנו איבר נוסף לסדרה, האיבר העוקב של k.

נשים לב שהביטוי המודגש, על פי הנחת האינדוקציה בשלב הקודם, שווה k (k + 2) (k + 4).

נציב את הנחת האינדוקציה ונקבל:

k (k + 2) (k + 4) + 6(k + 2) (k + 4)

בצד ימין:

נציב ישירות לתוך הביטוי n = k + 2

(k + 2) (k + 4) (k + 6)

סה”כ קיבלנו:

k (k + 2) (k + 4) + 6(k + 2) (k + 4) = (k + 2) (k + 4) (k + 6)

נשים לב שבצד שמאל יש גורם משותף:

(k + 6) (k + 2) (k + 4) = (k + 2) (k + 4) (k + 6)

הגענו לשוויון.

לכן לפי אינדוקציה מתמטית הוכחנו שהביטוי

48 + 144 + 288 + … + 6n (n + 2) = n (n + 2) (n + 4)

מתקיים עבור כל n טבעי וזוגי.

נדרשנו להוכיח באינדוקציה או בכל דרך אחרת את המשוואה הבאה:

הוכחה באינדוקציה

שלב 1: בדיקה עבור n = 1

עבור n = 1

המשוואה מתקיימת.

שלב 2: הנחת האינדוקציה

נניח שקיים k טבעי המקיים:

שלב 3: הוכחה

נוכיח כי אם ההנחה מתקיימת אז מתקיים עבור k + 1

החלק המסומן שווה להנחה:

נציב:

עכשיו יש לנו שתי אפשרויות אלגבריות.

האפשרת הראשונה: לפתוח סוגריים בצד שמאל:

האפשרות השנייה: להוציא גורם משותף A מצד שמאל

משפט מסכם:

בדקנו שהטענה נכונה עבור k=1.
ועל סמך ההנחה שהטענה נכונה עבור איבר במקום k  הוכחנו שהטענה נכונה גם עבור האיבר הבא לאחריו.
לכן הטענה

נכונה עבור כל n טבעי.

דרך נוספת- סדרה הנדסית

ניתן לזהות גם שהביטוי השמאלי במשוואה:

זה סכום של סדרה הנדסית עם מנה של חצי.

לכן מאפייני הסדרה הם-

וניתן לחשב את הסכום שלה עד האיבר ה-n באמצעות הנוסחה-

נציב:

ואם נכניס את המינוס לסוגריים נראה שהסכום הוא-

כלומר הוכחנו כנדרש שמתקיים השוויון:

נדרשנו להוכיח באינדוקציה או בכל דרך אחרת את המשוואה הבאה:

נוכיח באינדוקציה מתמטית.

שלב 1: בדיקה

נציב n = 1

נציב בביטוי מימין:

משמאל האיבר הוא:

1² = 1

אז המשוואה מתקיימת.

שלב 2: הנחת האינדוקציה

נניח שמתקיים עבור k טבעי:

שלב 3: הןכחה 

נוכיח כי אם ההנחה מתקיימת אז מתקיים:

נתחיל מהצד השמאלי.

בתוך הסוגריים השמאליים נמצא הביטוי מהנחת האינדוקציה, אותו נציב כדי להוכיח את הנדרש.

נפשט את הביטוי עם הוצאת גורם משותף-

קיבלנו את הביטוי אליו נדרשנו להגיע:

לסיכום, הוכחנו באינדוקציה שלכל n מתקיימת המשוואה: