שאלון 571 חורף 2023

סעיף א

1. 39150
2. c = 2

סעיף ב

1. 2a
2. a /180

סעיף ג

1. x = 0
   y = 2
   y = -2
2. 2.5

סעיף ד

1.

-2 < t < 0

2. לא

3. כן

תת סעיף 1

נתון: לכל n טבעי מתקיים

1*2 + 4*7 + 7*12 + … + (3n – 2)(5n – 3) = n (5n² – 2n – 1)

ומבקשים שנמצא את הביטוי-

7*12 + 10*17 + … + 58*97

נחפש את הקשר בין ביטוי זה לאחד משני הצדדים במשוואה.

נמצא שהביטוי הזה הוא חלק מצד שמאל של המשוואה בלי שני האיברים הראשונים ועד n מסוים.

נמצא את ה-n בה הסדרה עוצרת-

(3n – 2) = 58

3n = 60

n = 20

* אפשר היה לבדוק גם עם

(5n – 3) = 97

נציב 20 בביטוי לסכום הסדרה השלמה, ונחסר בשני האיברים הראשונים:

n (5n² – 2n – 1)

7*12 + 10*17 + … + 58*97 =

= 20* ( 5 * 20² – 2 * 20 -1) – (1*2 + 4*7)=

= 20* 1959 – 30 = 39150

מצאנו שסכום הביטוי הנתון הוא 39,150.

תת סעיף 2

נתון כעת:

1*2 + 4*7 + 7*12 + … + (3n – 2)(5n – 3) + (3n + 1)(5n + 2) = (n +1) (5n² +8n + C)

נשים לב כי הביטוי (5n + 2)(3n + 1) שהצטרף לסדרה הוא פשוט האיבר העוקב של האחרון-

(3(n+1) – 2) (5(n+1) – 3) = (3n + 1)(5n + 2)

כלומר זה סכום הסדרה עד n + 1 במקום עד n כמו מקודם.

לכן לפי הביטוי בסעיף א, סכום הסדרה צריך להיות:

1*2 + 4*7 + 7*12 + … + (3n – 2)(5n – 3) + (3n + 1)(5n + 2) =

= (n +1) (5(n+1)² -2(n+1) -1) =

= (n+1) ( 5(n² +2n +1) – 2n -2 -1) =

= (n+1) (5n² +8n +2)

נשתמש בתוצאה זו לחילוץ הנעלם C:

1*2 + 4*7 + 7*12 + … + (3n – 2)(5n – 3) + (3n + 1)(5n + 2) =

=(n+1) (5n² +8n +2) = (n+1) (5n² +8n +C)

C = 2

תת סעיף 1

סכום זוויות במשולש הוא 180°, לכן הזווית AOB:

∠AOB = 180° – 2(90° – α) = 2α

תת סעיף 2

מתקיים במעגל-

מבקשים את היחס בין אורך הקשת AB להיקף המעגל הנתון.

מצאנו בסעיף הקודם שהזווית המרכזית מול הקשת AB:

∠AOB  = 2α

נציב בנוסחה ונקבל שהיחס הוא:

תת סעיף 1

נתונה הפונקציה:

עם תחום ההגדרה – x ≠ 0

אסימפטוטות אנכיות:

במונה אין נקודות אי הגדרה כי הביטוי בתוך השורש חיובי לכל x.

x ≠ 0 לא מאפס מונה, לכן x = 0 אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות:

קיבלנו שתי אסימפטוטות אופקיות לפונקציה:

y = 2

y = -2

תת סעיף 2

נתונה פונקציה חדשה:

g (x) = k * f (x + 3)

k > 0 פרמטר.

הזזה בכיוון x בשלוש יחידות לא משפיעה על האסימפטוטות האופקיות בפונקציה.

המכפלה בפרמטר k משנה את האסימפטוטות האופקיות של g לעומת f באופן הבא-

y = 2k

y = -2k

מבקשים שנמצא את k עבורו המרחק בין האסימפטוטות יהיה 10.

2k – (-2k) = 4k = 10

k = 2.5

תת סעיף 1

נתונה פונקציה אי זוגית  f(x) מוגדרת בכל x.

הגדירו פונקציה g(t) באופן הבא:

המוגדרת בתחום

-2 < t < 2

מבקשים את תחום הירידה של g(t).

לפי הקשר הנתון באינטגרל, הגרף של f(x) בתחום

-2 < x < 2

זהה לגרף הנגזרת g ‘ (t) בתחום

-2 < t < 2

לכן כשהפונקציה f שלילית , הפונקציה g תהיה בירידה.

מהסתכלות בגרף ניתן לראות שזה קורה בתחום

-2 < t < 0

תת סעיף 2

שואלים אם קיים תחום בו g(t) חיובית.

האינטגרל המסויים הנתון הוא השטח המצטבר בין ציר ה-x לגרף של f(x) בתחום 2- עד הנקודה t.

מהתבוננות בשטח אפשר לראות שהוא מתחיל כמצטבר שלילי מתחת לציר ה-x עד לנקודה 0.
ממנה והלאה הוא מתחיל לצבור שטח חיובי.

נתון כי f(x) היא פונקציה אי זוגית,
לכן השטח הכלוא בינה לבין ציר ה-x בין 2- עד 0 זהה לשטח הכלוא בין 0 עד 2.

מכאן שהשטח המצטבר באינטגרל יפסיק להיות שלילי ויתאפס רק בנקודה 2.

מכיוון שתחום ההגדרה של g(t) הוא עד 2, היא לא תגיע לתחום בו היא חיובית.

למעשה היא מתחילה מאפס, יורדת ונהיית שלילית, מגיעה לקיצון מינימום בנקודה 0,
ומתחילה לעלות אבל עדיין שלילית, עד שחותכת שוב את ציר ה-x בנקודה 2.

תת סעיף 3

כפי שטענו בסעיף א, הגרף של f(x) זהה לגרף הנגזרת g ‘ (t) בתחום בין 2- ל-2.

לכן אם נראה שלפונקציה f יש נקודות קיצון, זה אומר שלפונקציה g יש נקודות פיתול.

מהתבוננות בגרף ניתן לראות כי יש ל-f שתי נקודות קיצון, לכן לפונקציה g(t) אכן יש נקודות פיתול.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב1

נכון

סעיף ב2

לא נכון

סעיף ג

q = 2/3

סעיף ד

n = 7

נוכיח שהסדרה B היא סדרה הנדסית גם כן.

נתון:

b_n = a_n * q^{n -1}

b_n+1 = a_n+1 * q^{(n+1) -1} = a_n+1 * qⁿ

הוכחנו שהסדרה B היא סדרה הנדסית עם מנה :

q_B = q²

נתון ההיגד: אם הסדרה A לא מתכנסת – בהכרח גם הסדרה B לא מתכנסת.

כדי שהסדרה B תתכנס צריך להתקיים-

Ιq_B Ι < 1

Ιq² Ι < 1

Ιq Ι < 1

אם הסדרה A לא מתכנסת-

Ιq Ι ≥ 1

לכן הסדרה B בהכרח לא מתכנסת.

ההיגד נכון.

נתון ההיגד: אם הסדרה A יורדת – בהכרח היא גם מתכנסת.

הנתון “אם הסדרה A יורדת” לא מגביל לנו את המנה כך שתקיים Ιq Ι < 1 כדי שהסדרה A תתכנס.

ההיגד לא נכון.

דוגמה נגדית- סדרה עם איבר a₁ < 0 ומנה q > 1 כך שהיא יורדת ושלילית אך אינה מתכנסת.

נתון כעת שהסדרות A ו-B מתכנסות ומתקיים:

היחס בין הסכום של כל איברי הסדרה B לסכום של כל איברי הסדרה A הוא 3/5.

נמצא את הסכום של כל סדרה (הנדסית אין סופית):

נשים לב כי מתקיים-

b₁ = a₁ * q⁰ = a₁

3 (1 – q²) = 5 (1 -q)

3 – 3q² = 5 – 5q

-3q² +5q -2 = 0

q₁ = 1

נפסל כי הסדרות מתכנסות ולכן

Ιq Ι < 1

q₂ = 2/3

זו המנה של הסדרה A , אז מנת הסדרה B-

q_B = 4/9

נתון:

נגדיר סדרה חדשה C:

איברה הכללי-

המנה שלה והאיבר הראשון שלה-

כעת הביטוי המקורי שקיבלנו הוא סכום עד n של הסדרה C.

הסכום נתון לנו, נמצא את n:

קיבלנו:

n = 7

מלאו את הנתונים עבור הדיאגרמה הזו-

לא לשכוח שההסתברויות בבחירה השנייה משתנות כי ייתכן שהוספנו פרי נוסף לארגז ב’.

סעיף א

סעיף ב

a = 10

b =12

סעיף ג

7/13

סעיף ד

0.172

סעיף ה

1/5

נשרטט דיאגרמת עץ המתארת את האירועים המתוארים:

מבקשים את ההסתברות להוצאת 2 תפוחים. לפי הדיאגרמה:

נתון 1:

נתון 2:

נבודד את a מהמשוואה הראשונה ונציב בשנייה-

נציב בנתון השני-

קיבלנו b = 12.

נמצא את a-

לסיכום:

a = 10

b =12

זאת הסתברות מותנית המתוארת הענף המוקף באדום.

וזו התשובה.

בארגז החדש: 8 תפוחים, 14 אגסים, סה”כ 22 פירות.

נשתמש בנוסחת ברנולי. נגדיר את ה”הצלחה” כהוצאת תפוח.

n = 6 , p = 8/22 , (1 -p) = 14/22

ההסתברות להוציא תפוח 4 פעמים:

ההסתברות להוציא אגס 6 פעמים שווה להסתברות להוציא תפוח 0 פעמים:

ביקשו את ההסתברות עבור 4 תפוחים או 6 אגסים, אז זה חיבור ההסתברויות:

ידוע כעת שיצאו 4 פעמים תפוחים מתוך 6 הבחירות.

כלומר יש 15 אפשרויות איך להוציא 4 תפוחים מתוך 6 בחירות של פירות.

כאשר יש הסתברות שווה לכל אחת מה 15.

כמה מאפשרויות האלה כוללות הוצאה רצופה של ארבעת התפוחים?

ניתן לחשוב על ארבעתם כגוף אחד, ואז ברור כי האפשרויות הן-

אגס , אגס , 4 תפוחים

אגס, 4 תפוחים, אגס

4 תפוחים, אגס, אגס

כלומר יש 3 אפשרויות כאלו.

לכן הסיכוי שארבעתם יצאו ברצף:

3/15 = 1/5

מש”ל א’

מש”ל ב’

	טענה	נימוק
21		(8) יחס הדמיון במשולשים ΔACE ∼ ΔBCD
22	BE = DB	(20) צלעות שווה בהתאמה במשולשים חופפים ΔBFE ≅ ΔBCD
23		(21) (22) כלל המעבר
24	AC * BE = AE * BC	(23) אלגברה

מש”ל ג’1

מש”ל ד’

סעיף א

cosα = m / 2R

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

α = 37.76°

סעיף ד

∠OEG =  115.44°

BD קוטר במעגל, לכן מתקיים שהזווית ההיקפית שנשענת עליו ישרה-

∠ BCD = 90°

כלומר משולש BCD הוא ישר זווית. לפי ההגדרה של קוסינוס-

cosα = CD / BD = m / 2R

cosα =m / 2R

נסתכל על המשולש CED ונשתמש במשפט הקוסינוסים כדי למצוא את הביטוי עבור CE הדרוש-

CE² = CD² + ED² – 2*CD*ED*cosα =

= m² + (0.5R)² – 2* m* 0.5R * (m / 2R) =

= m² + 0.25R² – 0.5m² = 0.5m² + 0.25R² =

נרצה שהביטוי יראה כמו הביטוי שנדרשנו להוכיח אז גם נוציא החוצה רבע-

=0.25 ( 2m² +R²)

נתון כעת EC = BC.

כבר יש לנו ביטוי עבור CE מסעיף ב’, נבטא את BC.

משפט פיתגורס במשולש BCD:

BC² = BD² – CD² =

=4R² – m²

BC = CE

4R² – m² = 0.25 (2m² + R²) = 0.5m² + 0.25R²

3.75R² = 1.5m²

m² = 2.5 R²

m = 1.581 R

נציב בביטוי שמצאנו בסעיף א’ לקוסינוס הזווית:

α = 37.76°

נתון OG מקביל ל-CD.

∠CDE = ∠EOG = α

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.

כרגע יש לנו במשולש OEG זווית ושתי צלעות. כדי למצוא את הזווית OEG
נצטרך את הצלע ממול אלפא  – EG.

נשתמש במשפט הקוסינוסים:

EG² = OG² + OE² – 2* OG* OE* cosα =

= R² + 0.25 R² – 0.79 R² = 0.46 R²

EG = 0.678 R

עכשיו אפשר להשתמש במשפט הסינוסים כדי למצוא את הזווית OEG:

נשים לב שיש כאן 2 אפשרויות לזווית, מהזהות-

sinx = sin(180° – x)

אפשר גם לשים לב אינטואיטיבית שיש זווית חדה וזווית קהה שתקיים את אותה המשוואה.

אפשרות ראשונה:

β₁ = ∠OEG = 64.55°

אפשרות שנייה:

β₂ = ∠OEG = 180° – 64.55° = 115.44°

נבדוק איזה מהם הנכונה.

OG הצלע הארוכה יותר במשולש OEG  לכן הזווית OEG צריכה להיות הגדולה ביותר במשולש בהתאמה.

שתי האפשרויות לזווית כבר גדולות מאלפא. נבדוק את זווית OGE המתקבלת מכל אחת מהן-

אפשרות ראשונה:

∠OGE = 180° – 37.76° – 64.55° = 77.69°

אפשרות זו נפסלת כיוון שמתקבל שהזווית הגדולה ביותר במשולש אינה ממול לצלע הגדולה ביותר.

אפשרות שנייה:

∠OGE = 180° – 37.76° – 115.44° = 26.8°

אפשרות זו מתאימה למשולש.

לכן סה”כ מצאנו:

∠OEG =  115.44°

* ייתכן שתקבלו זווית מעט שונה (בעשיריות המעלה) בהתאם לשמירת ספרות לאחר הנקודה בסעיף הזה וקודמיו.

סעיף א:

נקודות החיתוך:

(-1,0) , (0,0)

סעיף ב:

n זוגי – 

חיוביות:

x > 0

-1 < x < 0

x < -1

שליליות: אין

n אי זוגי – 

חיוביות:

x > 0

שליליות:

-1 < x < 0

x < -1

סעיף ג

עבור n זוגי :

min (-1, 0) , max ( x = -n/n+2) , min (0, 0)

עבור n אי זוגי:

max (-1, 0) , min ( x = -n/n+2)

סעיף ד

n זוגי : גרף 3

n אי זוגי: גרף 2

סעיף ה

S = T/a

אז נקודות החיתוך הן:

(0,0) , (-1,0)

עבור n זוגי

הביטויים שמרכיבים את הפונקציה בחזקות זוגיות,
לכן הפונקציה אי שלילית תמיד.

יש חיובית בכל התחום מלבד נקודות החיתוך עם ציר ה-x :

x > 0

-1 < x < 0

x < -1

והפונקציה לא שלילית באף נקודה.

עבור n אי זוגי:

הביטוי השמאלי בחזקה אי זוגית ולכן שלילי עבור כל x<0 .

הביטוי הימני חיובי לכל  x ≠ 0  כי הוא בחזקה זוגית.

לכן הפונקציה כולה:
עבור x חיובי היא חיובית גם כן,

עבור x שלילי היא שלילית מלבד נקודות החיתוך עם ציר ה-x.

לכן חיובית:

x > 0

ושלילית:

-1 < x < 0

x < -1

נמצא את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון החשודות.

נקודה ראשונה:

x^n-1 = 0

x = 0

נקודה שנייה:

x + 1 = 0

x = -1

נקודה שלישית:

נשים לב שהמכנה גדול תמיד מהמונה לכן זה שבר.

נקודת קיצון זו ממוקמת בין 0 לבין (1-) .

עבור n זוגי:

מצאנו בסעיף ב’ שחיובית בכל התחום מלבד החיתוך עם x.

מצאנו בסעיף א’ את שיעורי ה-y של שתיים מנקודות הקיצון החשודות:

(0,0) , (-1,0)

נשרטט סקיצה גסה של הפונקציה, לפי תחומי החיוביות והשליליות-

למעשה אין צורך בטבלה והצבת ערכים כיוון שתחומי החיוביות והשליליות
“מכריחים” את הפונקציה להיראות כך.

נקודת הקיצון באמצע צריכה להיות חיובית בגלל שהיא בתחום חיוביות,

אך ניתן להציב ולראות זאת:

מהגרף ניתן לראות את סוגן של נקודות הקיצון:

min (-1, 0) , max ( x = -n/n+2) , min (0, 0)

(שאלו רק לגבי ערכי ה- x אז אין צורך להציב את הנקודה

x = -n/n+2 )

עבור n אי זוגי:

יש את אותן נקודות החיתוך.

מצאנו בסעיף ב’-

חיובית:

x > 0

ושלילית:

-1 < x < 0

x < -1

נשרטט סקיצה גסה של הפונקציה, לפי תחומי החיוביות והשליליות-

הפעם נקודת הקיצון באמצע צריכה להיות שלילית בגלל שהיא בתחום שליליות,

אך ניתן להציב ולראות זאת:

מהגרף ניתן לראות את סוגן של נקודות הקיצון:

max (-1, 0) , min ( x = -n/n+2)

הנקודה (0, 0) אינה קיצון כיוון שהנגזרת לא משנה כיוון לפניה ואחריה,
ניתן לראות מהגרף שהיא עולה לפני 0 ועולה גם אחריו.

אבל היא הופיע כנקודה בה הנגזרת מתאפסת, כלומר השיפוע בה 0,
לכן היא נקודת פיתול.

כבר שרטטנו סקיצות לגרפים עבור n זוגי ואי זוגי.

n זוגי : גרף 3
נקודות מינימום ב- 0 ו- (1-) וביניהן מקסימום.

n אי זוגי : גרף 2
נקודת מקסימום ב-(1-) ומינימום בינה לבין 0
עם פיתול בנקודה 0. בגרף 1 אין פיתול ב-0 ולכן אינו מתאים.

נתונה פונקציה :

g (x) = a · f(x – 2) =

=a·(x – 2)ⁿ·(x – 1)²

נקודות החיתוך עם ציר ה-x החדשות:

g (x) = 0 = a·(x – 2)ⁿ·(x – 1)²

x = 2

x = 1

הפונקציה f(x – 2) היא הזזה ימינה בשתי יחידות של f(x).
a חיובי ולא משפיע על הסימן.

עבור n זוגי:

השטח מתואר על ידי האינטגרל:

כאשר האינטגרל על f(x) הוא השטח הכלוא בין f(x) לבין ציר ה-x.

נחלק ב-a את שני האגפים ונקבל:

S = T/a

עבור n אי זוגי:

החישוב יהיה זהה.

נשים לב שהשטח כעת כלוא מתחת לציר ה-x לכן יהיה שלילי,
אך כיוון ששלילי גם לפני וגם אחרי ההזזה למעשה זה לא רלוונטי.

השטח הכלוא יהיה עדיין S = T/a .

סעיף א

g(x)

סעיף ב1

x = – 2

y = 1

סעיף ב2

(1,0) , (0, -0.5)

סעיף ג

סעיף ד

t = – 2 +√3

עבור הפונקציות:

יש שני ערכים שמאפסים את המכנה ולא מאפסים את המונה – ולכן יש להן שתי אסימפטוטות אנכיות והן נפסלות.

לעומת זאת בפונקציה

יש שני ערכים שמאפסים את המכנה  אך x = -1 מאפס גם את המונה וכאשר מציבים x = -1 בפונקציה המצומצמת נקבל שהפונקציה אינה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף.

לכן x = -1 הוא חור והפונקציה g(x) היא היחידה שיכולה להתאים לתנאי הסעיף.

עבור x ≠ -1 .
לא לשכוח כיוון שמסמן “חור”.

אסימפטוטה אנכית:

x + 2 = 0

x = -2

אסימפטוטה אופקית:

לכן y=1 אסימפטוטה.

ל- g(x) אסימפטוטה אופקית ואנכית אחת כנדרש לכן זו הפונקציה המבוקשת.

x = -1,   x = -2 מאפסים את המכנה.

עבור x = -2

המונה הוא מספר.

לכן הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף ולכן x = -2 הוא אסימפטוטה.

עבור x = -1

נצמצם את הפונקציה.

כאשר מציבים x = -1 בפונקציה המצומצמת מקבלים מספר.

לכן x = -1 הוא חור.

אסימפטוטה אופקית:

לכן y=1 אסימפטוטה.

אסימפטוטה אנכית :

x = – 2

אסימפטוטה אופקית:

y = 1

ו”חור” בנקודה x = -1 .

ציר x:

x – 1 = 0

x = 1

ציר y:

 g (0) = (0 – 1) / (0 + 2) = -1/2

נקודות החיתוך:

(1,0) , (0, -1/2)

נתון כי אין נקודות קיצון.

נשרטט גרף על בסיס המידע שקיים לנו.
(אין צורך בטבלה ונגזרת כי אין קיצון).

האסימפטוטות:

y = 1

x = -2

x ≠ -1 נקודת “חור” כיוון ומאפסת את המכנה אך אינה אסימפטוטה.

בתחום שמימין לאסימפטוטה האנכית כבר קיימות לנו נקודות (החיתוך):
(1,0) , (0, -1/2)
המראות לנו באיזה “רביע” הפונקציה עוברת.

בתחום שמשמאל נצטרך להציב ולבדוק-

כאשר x < -2 המונה והמכנה שליליים לכן הפונקציה עצמה חיובית.

נתון –

-1 < t < 1

נתבונן במלבן בגרף:

t יכול להיות גם בצד החיובי.

ערך הפונקציה בנקודה t:

g (t) = (t – 1) / (t + 2)

כדי למצוא את ההיקף נמצא את אורכי הצלעות:

רוחב :

x_A – x_B= t – (-2) = t + 2

אורך:

y_D – y_A =  – (t – 1) / (t + 2)

פונקציית ההיקף:

נגזור ונמצא את המינימום.

נתון לנו שהתחום של t :

-1 < t < 1

מחוץ לתחום.

-1 < – 2 +√3  < 1

נמצא בתחום.

בדיקה שזה מינימום

מכנה הנגזרת חיובי תמיד.

לכן סימן הנגזרת הוא כסימן המונה.

המונה הוא פרבולת מינימום, נשרטט את הפרבולה:

אנו רואים t = -0.26 המונה והנגזרת עוברים משליליות לחיוביות – ולכן זו נקודת מינימום.

בדיקה בעזרת טבלה (דרך נוספת)

p ‘ (0) > 0

P ‘ (-1) < 0

בדיקה בעזרת נגזרת שנייה (דרך שלישית)

נבדוק שזו נקודת מינימום באמצעות נגזרת שנייה:

המכנה חיובי לכל t, והמונה חיובי עבור t < -2.

לכן בנקודה : t = – 2 +√3

הנגזרת השנייה חיובית, אז זו נקודת מינימום.