מבוא לוקטורים גיאומטריים

 

מבוא: מהו וקטור?

וקטור הוא גודל פיזיקלי,  אשר יש לו שתי תכונות:

1. גודל.
2. כיוון.

עד כה הכרנו מספרים המייצגים רק גודל. כלומר, מספר המייצג משקל או טמפרטורה.
מספר המייצג רק גודל (ללא כיוון) נקרא סקלר.

דוגמאות לגדלים המיוצגים ע”י וקטורים:
1. מהירות – למהירות יש גם גודל, כלומר כמה מהר נוסעים, וגם כיוון – כלומר לאן נוסעים.
2. כוח – לכוח יש גודל ,  כלומר כמה כוח מפעילים, וגם כיוון – לאיזה כיוון מפעילים את הכוח.

גודל של וקטור:

גודלו של הוקטור נקרא גם הערך המוחלט של הוקטור.
במידה ויש לנו וקטור כלשהו, u , אזי גודלו יסומן כך : |u| .
הגודל של הוקטור הוא סקלר , כלומר מספר רגיל שלא מייצג כיוון.

סימון וקטורים

לרוב, הוקטור מסומן ע”י חץ או קו מעל האותיות – זאת על מנת לזהות כי זהו וקטור בעל כיוון ולא סתם קטע.
כלומר, מסומן בצורות הבאות:
1.  , כאשר תחילת הוקטור בנקודה A , וסופו בנקודה B.
(יש חשיבות לסדר האותיות – האות השמאלית היא תחילתו של הוקטור, והימנית היא נקודת הסיום שלו)
2.  ,  כאשר לא נתונות לנו נקודות ההתחלה והסוף של הוקטור, נסמן אותו באות כלשהי.

הערה:

באתר זה נסמן וקטור ללא קו מעל האותיות. זאת מכיוון שאין אפשרות לבצע זאת מבחינה טכנית.
לכן הסימון שלנו לוקטור  כמו ישר כלומר:
– AB או ab הוא וקטור.
לעומת זאת כאשר נרצה לכתוב את הישר AB נכתוב במפורש “הישר AB”.

*במידה והוקטור יסומן ע”י אות אחת (כלומר u או v וכו’), נציין כי זהו אכן וקטור.

שוויון וקטורים

שני תנאים שצריכים להתקיים על מנת שווקטורים יהיו שווים:

1. לשני הוקטורים צריך להיות אורך זהה.
2. לשני הוקטורים יש את אותו הכיוון.

כאשר וקטור משנה את מיקומו במרחב, אבל שומר על גודלו וכיוונו הוא נשאר שווה.

למשל בשרטוט הווקטורים AB, CD נמצאים במקומות אחרים אבל הם שווים כי יש להם אותו גודל וכיוון.

וקטורים עם סימן הפוך

אם נגדיר את הוקטור AB כ v.
אז הווקטור BA יהיה שווה ל v-.

חיבור וקטורים

ראשית יש להבין שמכיוון שלוקטורים יש גם כיוון , איננו יכולים לבצע עליהם פעולות חשבון כפי שלמדנו עבור מספרים רגילים (סקלרים).

בדף זה נדון בחיבור של וקטורים בצורה גאומטרית.

ישנן 2 שיטות לבצע את החיבור:

1. שיטת המשולש:
   בשיטה זו מזיזים את אחד הוקטורים אל הנקודה שבה האחר מסתיים.
   כך נוצר רצף של קו וחיבור הוקטורים הוא הוקטור שמתחיל בהתחלה ומסתיים בנקודת הסיום.

   

   כעת, עפ”י שיטת המשולש, נצמיד את התחלת הוקטור CD (כלומר נקודה C),
   אל סוף הוקטור AB (כלומר נקודה B).

    

   סכום הוקטורים הוא הוקטור המשלים את הצורה למשולש – התחלתו היא ההתחלה של הוקטור הראשון (AB),
   וסופו הוא הסוף של הוקטור השני (CD). (מסומן באדום).

   

   כלומר – מתקיים : AB + CD = AD

2. שיטת המקבילית:

בשיטה זו מביאים את שני הוקטורים לאותה נקודת התחלה. ואז משלימים את המבנה למקבילית.

שוב, ניקח לדוגמה את חיבור שני הוקטורים AB ו – CD.

לפי שיטת המקבילית , נביא את התחלת שני הוקטורים לאותה נקודה. (כלומר נצמיד את הנקודות A ו – C).

כעת נבנה את המקבילית – נוסיף שני וקטורים זהים במקביל לוקטורים הקיימים , בצורה הבאה:

סכום הוקטורים הוא אלכסון המקבילית, אשר תחילתו בהתחלת הוקטורים המקוריים (נקודות A ו – C),
וסופו בקצה השני של המקבילית.

לכן מתקיים : AB + CD = AE

חיסור וקטורים

בחיסור וקטורים, ניעזר בשיטות חיבור הוקטורים שלמדנו.

במקום לחסר את הוקטור, נחבר את המינוס של הוקטור.
כלומר: ( u ,v שני וקטורים)
(u – v = u + (-v

כאשר לוקחים מינוס של וקטור מסוים, הוקטור שמתקבל זהה בגודלו לוקטור המקורי , 
אך הפוך בכיוונו.

לדוגמה:

 

דוגמה לחיסור וקטורים:

נחסר את הוקטור CD מהוקטור AB.

כלומר:  ? = AB – CD

ניקח את המינוס של הוקטור CD , ונחבר אותו לוקטור AB.
כלומר:
? = (AB + (-CD

נהפוך את כיוונו של הוקטור CD,
ונבצע את החיבור בשיטת המקבילית:

לכן מתקיים:
AB – CD = AE

תרגילים

תרגיל 1 – חיבור וקטורים

נתונים 2 וקטורים : AB , CD.
נתון כי וקטור הסכום מתחיל בראשית, ומסתיים בנקודה E.
מצאו את שיעורי הנקודה E.

פתרון

נשתמש בשיטת המשולש לחיבור הוקטורים.
נצמיד את תחילת הוקטור CD (כלומר נקודה C) אל סוף הוקטור AB (כלומר נקודה B).
לאחר מכן נעביר וקטור שמתחיל בנקודה A ומסתיים בנקודה D.

הוקטור שמתקבל הוא וקטור הסכום.

תשובה: ניתן לראות מהשרטוט כי שיעורי הנקודה E הם:   (x , y) = (4 , 3).

 

תרגיל 2 – חיסור וקטורים

נתונים 2 וקטורים : AB , CD.
נתון עוד וקטור , u , כך שמתקיים: u = AB – CD
נתון כי תחילתו של הוקטור u היא בנקודה A, וסופו בנקודה E.
מצאו את שיעורי הנקודה E.

פתרון

בחיסור וקטורים, בעצם מבצעים חיבור של הוקטור ההופכי.
כלומר, נחבר לוקטור AB את הוקטור CD- .
נהפוך את הוקטור CD כדי לקבל את CD- , ולאחר מכן נשתמש בשיטת המשולש לחיבור הוקטורים.

תשובה: ניתן לראות מהשרטוט כי שיעורי הנקודה E הם:   (x , y) = (5 , 4).

עוד באתר:

• וקטורים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.