מרחק נקודה מישר הוא האנך המגיע מהנקודה אל הישר.
נניח כי יש לנו ישר L ונקודה P שאינה על הישר.
האנך מהנקודה P אל הישר L מגיע אל הנקודה Q שעל הישר.
המרחק המבוקש הוא אורך הקטע PQ.
חישוב המרחק בין הנקודה P אל הישר L נעשה בשלבים הבאים:
- מגדירם את הנקודה הכללית של הישר בעזרת t ומניחים שהיא Q.
- מגדירים את הוקטור PQ בעזרת t.
- הוקטור PQ מאונך לישר L ולכן המכפלה הסקלרית שלהם היא 0.
- בונים משוואה עם נעלם אחד ומוצאים את t.
- מחשבים את המרחק בין P ל Q על ידי |PQ| או מרחק בין שתי נקודות.
תרגיל
מצאו את המרחק של הנקודה (P (1,4,8 מהישר
(L : (2,0,3) + t(5,1,1
פתרון
הנקודה הכללית שעל הישר היא:
5t + 2, t, t +3
נניח כי האנך מהנקודה P אל הישר L מגיע אל הנקודה Q.
נגדיר את Q
(Q (5t + 2, t, t +3
נגדיר את וקטור הכיוון של הישר PQ.
(P (1,4,8
(PQ(5t+2-1, t – 4, t +3-8
(PQ(5t+1, t – 4, t -5
וקטור הכיוון של הישר הוא:
(5,1,1)
המכפלה הסקלרית של וקטורי הכיוון צריכה להיות 0, כי הם מאונכים.
נבנה משוואה:
5t +1)*5 + (t-4)*1 + (t -5) =0)
25t + 5 +t-4+t-5 =0
27t – 4 = 0
27t = 4
t = 0.148
על מנת לפשט את המשך התרגיל נתייחס
t = 0.15
נכתוב את הנקודה Q בצורה מספרית.
(Q (5t + 2, t, t +3
(Q (2.75, 0.15, 3.15
נחשב את הוקטור PQ
(P (1,4,8
(PQ(1.75, -3.85, 4.85
נחשב את אורכו של PQ
PQ|² = 1.75² + (-3.85)² + 4.85² = 41.4|
PQ = 6.43
תשובה: המרחק של הנקודה P מהישר L הוא 6.43 יחידות.
מרחק נקודה ממישור
מרחק נקודה ממישור מחשבים על פי נוסחה.
מרחק בין נקודה p למישור v* x + e = 0
(v הוא הנורמל של המישור).
את הנוסחה ניתן לרשום בצורה יותר מפורטת כך:
המרחק בין הנקודה P (x1, y1, z1)
למישור Ax + By + Cz + D = 0.
עוד באתר: