פרבולה יסודות (אנליטית 582)

פרבוֹלה היא המקום הגאומטרי של הנקודות במישור שמרחק כל אחת מהן מנקודה נתונה (המוקד) שווה למרחקה מישר נתון (המדריך).

בדף זה נלמד את היסודות ונכיר מושגים בסיסיים בפרבולה.

הדף זה מיועד לתלמידי 5 יחידות. לתלמידי 3-4 יחידות יש דף נפרד: פרבולה.

1.סרטון הסבר

ניתן לצפות בסרטון כשהוא מחולק לחלקים קצרים יותר בהמשך הדף.

2.הסבר מה היא פרבולה

הדברים שנלמד בחלק זה הם:

1. משוואת הפרבולה הקנונית y²=2px ומתקיים התנאי P>0.
2. המוקד נמצא ב (0.5p, 0)
3. המדריך x= -0.5P.
4. מיתר פרבולה הוא קטע המחבר שתי נקודות בפרבולה.
5. קוטר פרבולה הוא ישר המקביל לציר הסימטריה של הפרבולה.
6. רדיוס הוקטור הוא המרחק השווה של כל נקודה על הפרבולה מהמוקד והמדריך. מרחק זה נתון עבור הנקודה (x₁, y₁) על ידי הנוסחה x₁+0.5p.

1.הצורה והמשוואה של הפרבולה הקנונית

הצורה הכללית של הפרבולה כפי שהיא נלמדת ברמת 5 יחידות היא זו:

והמשוואה של הפרבולה היא:

y² = 2px

הפרבולה הזו היא לא פונקציה, כי עבור ערך x יחיד מתקבלים שני ערכי y.

2.המוקד והמדריך של הפרבולה

שני מושגים מרכזיים בפרבולה הם מוקד ומדריך.

המוקד הוא נקודה וערכו (0.5p, 0).
המוקד מסומן לרוב באות F.

המדריך הוא ישר שמשוואתו x = -0.5p.

המרחק של כל נקודה על הפרבולה מהמדריך (ישר) ומהמוקד (נקודה) הוא שווה.

 

3.מה היא ההגדרה של פרבולה? (כיצד מתקבלת הצורה של פרבולה?)

פרבוֹלה היא המקום הגאומטרי של הנקודות במישור שמרחק כל אחת מהן מנקודה נתונה (המוקד, מסומן באות F) שווה למרחקה מישר נתון (המדריך).

לדוגמה הנקודות A,B,C נמצאות במרחק שווה מהנקודה F שהיא המוקד ומהישר השחור שהוא המדריך.
כאשר משרטטים את כל הנקודות המקיימות את התכונה הזו ומחברים בניהן מתקבלת פרבולה.

4.כיצד ערכי ה p משפעים על גרף הפרבולה

כמו כן ככל שערכי ה p במשוואת הפרבולה גדולים יותר כך הפרבולה רחבה יותר.

כי אם נשווה את המשוואות:
y² = 6x
ן-
y² = 10x

נראה שעבור אותו ערך x נקבל במשוואה השנייה ערך y גדול יותר.

 

5.מושגים בפרבולה

כל הערכים המוצגים כאן מתייחסים לפרבולה קנונית (ההגדרה בהמשך).

קודקוד הפרבולה

קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה (0,0).

רדיוס פרבולה

רדיוס הפרבולה הוא המרחק שבין המוקד לנקודה כלשהיא שעל הפרבולה.
(מרחק זה שווה למרחק של הנקודה מהמדריך).

רדיוס הפרבולה מרחק מהמדריך x₀ + 0.5p. וגם מרחק נקודה מהמוקד.

מיתר

ישר המחבר שתי נקודות על פרבולה.

שתי נקודות על פרבולה היוצרות מיתר המאונך לציר ה x (נקרא גם קוטר פרבולה) הן בעלות אותו ערך x וערך y עם סימן הפוך.
הסיבה לכך היא שעל ישר מקביל לציר ה y יש נקודות עם אותו ערך x.
וערך ה y המתקבל במשוואת הפרבולה הוא פעם חיובי ופעם שלילי.

y = ±√2px

6.כיצד נגדיר נקודה על פרבולה

אם אנו רוצים להשתמש בפרמטר t להגדרת נקודה על הפרבולה ניתן לעשות זאת בשתי דרכים.

אנו יכולים לבחור:
x = t

ואז:

y = ± √2pt

או
y = t
x = t² / 2p

לרוב הדרך השנייה היא המועדפת כי בה אנו מקבלים פתרון יחיד לנקודה.

לעומת הדרך השנייה שבה כאשר נמצא את t נקבל שתי נקודות.

7.פרבולה קנונית

הפרבולה הנדרשת ללימוד בבחינת הבגרות והפרבולה שאנו מדברים עליה בדף זה היא פרבולה קנונית.

פרבולה קנונית היא פרבולה שהקודקוד שלה הוא בראשית הצירים (0,0) וציר הסימטריה שלה הוא ציר ה x.

למדנו שמשוואת הפרבולה היא:

y² = 2px

אך גם המשוואה:

y² = – 2px

יוצרת פרבולה קנונית, אבל משוואה זו מופיעה הרבה פחות בבגרות.
וצריך לדעת שאם בשאלה על מקום גיאומטרי (נושא שנלמד בהמשך) מתקבלת משוואה כזו, אז המשוואה מייצגת פרבולה.

8.מציאת משוואת הפרבולה על פי נקודה שעליה

y² = 2px
במשוואת הפרבולה יש רק משתנה אחד p.

לכן אם נדע נקודה על הפרבולה נוכל לבנות משוואה ולמצוא את p.

דוגמה
מצאו את משוואת הפרבולה העוברת דרך הנקודה.
(5,10).

פתרון
נציב את הנקודה במשוואת הפרבולה:

y² = 2px
10² = 2p*5
100 = 10p
10 = p

תשובה: משוואת הפרבולה היא y² = 20x.