בדף זה פתרון של שאלון 582 קיץ 2021.
ניתן ללמוד את החומר בקישורים:
שאלה 1
סעיף א
ידוע כי קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים בטרפז ונמצא במרחקים שווים משני הבסיסים.
לכן משוואת הבסיסים היא:
x + y + c1 = 0 :AB
x + y + c2 = 0 :CD
מכיוון שהמרחק בין קטע האמצעים לכל אחד מהבסיסים שווה, הוא יהיה מחצית המרחק בין שני הבסיסים ולכן שווה ל 2√0.5
נשתמש בנוסחת מרחק בין ישרים מקבילים:
נציב את קטע האמצעים:
2 = 2 |-4 – c |
1 = | -4 – c |
מכאן יוצאות שתי משוואות:
1 = -4 -c
c = -5
-1 = -4 – c
c = -3
לכן הישרים הם:
x + y – 5 = 0
x + y – 3 = 0
לפי השרטוט, CD מעל AB(ובשניהם המקדם של y חיובי) , לכן ערך C שלו צריך להיות קטן יותר.
לכן משוואות הישרים הן:
x + y – 3 = 0 :AB
x + y – 5 = 0 :CD
סעיף ב 1
כדי שהטרפז יהיה הגדול ביותר, צריך שהקודקודים A ו-D יהיו בעלי ערך x השלילי ביותר.
הם יהיו בעלי ערך x השלילי ביותר כאשר p יהיה הגדול ביותר.
מוקד הפרבולה נמצא בנקודה (0 , 0.5p).
לכן כאשר p יהיה מקסימלי, המוקד יהיה הכי חיובי.
לכן מוקד הפרבולה הוא הקודקוד C(יותר חיובי מהנקודה B).
נמצא את הקודקוד C:
נציב y = 0 במשוואת הישר DC:
x + y – 5 = 0 :CD
x + 0 – 5 = 0 / + 5
x = 5
לכן הנקודה C (מוקד הפרבולה) היא (0 , 5)
מוקד הפרבולה נמצא בנקודה (0 , 0.5p) , לכן:
0.5p = 5
p = 10
לכן משוואת הפרבולה תהיה: y² = 2 * 10x = 20x
y² = 20x
סעיף ב 2
כדי שהטרפז יהיה הגדול ביותר, צריך שהקודקודים A ו-D יהיו בעלי ערך x הגדול ביותר .
הם יהיו בעלי ערך x הגדול ביותר כאשר p יהיה הקטן ביותר(מכיוון ששתי הנקודות בעלי ערך x שלילי).
מוקד הפרבולה נמצא בנקודה (0 , 0.5p).
לכן כאשר p יהיה מינימלי, המוקד יהיה הכי קטן.
לכן מוקד הפרבולה הוא הקודקוד B(ערך x קטן יותר מהנקודה C).
מציאת הנקודה B:
נציב y = 0 במשוואת הישר AB:
x + y – 3 = 0 :AB
x + 0 – 3 = 0 / + 3
x = 3
לכן הנקודה B היא (0 , 3)
מוקד הפרבולה הוא על הנקודה (0, 0.5p)
0.5p = 3
p = 6
משוואת הפרבולה: y² = 2px
y² = 2 * 6x = 12x
סעיף ג
הפרבולה הירוקה היא y² = 12x
הפרבולה האדומה היא y² = 20x
נגדיר: הנקודה E נמצאת על הפרבולה מסעיף ב1 והנקודה F נמצאת על הפרבולה מסעיף ב2.
נמצא פרמטרית את שתי הנקודות ולמציאת המיקום הגאומטרי של אמצע הקטע EF נשתמש בנוסחת אמצע קטע.
ידוע כי הישר EF מקביל לציר x, לכן yE = yF
נגדיר: yE = yF = t
מציאת הנקודה E:
משוואת הפרבולה: y² = 20x
x = 0.05y²
הנקודה E היא: (0.05t² , t)
מציאת הנקודה F:
משוואת הפרבולה: y² = 12x
x = y² / 12
הנקודה F היא: (t² / 12 , t)
נוסחת מרכז קטע:
yM = 0.5(yF + yE)
yM = 0.5(t + t) = t
xM =0.5( xF + xE)
t² = 15x
נציב y = t
y² = 15x
משוואת המיקום הגאומטרי של מרכז EF היא y² = 15x
שאלה 2
סעיף א 1
למציאת הנקודה C ראשית נגדיר נקודה F על הקטע AB כך ש:
AF = 2U / 3
למציאת שיעורי הנקודה F נמצא את הוקטור U ונוסיף שני שליש U לנקודה A.
U = AB = (-3 , 2 ,2) – (0 , 2 -1) = (-3 , 0 , 3)
= F = A + U / 3 = (0 , 2 , -1) + 2(-3 , 0 , 3) / 3
= (0 , 2 , -1) + (-2 , 0 , 2) = (-2 , 2 , 1)
שיעורי הנקודה F הם (1 , 2 , 2-)
כעת, מחישובי וקטורים במרחב נמצא כי:
FD = v / 3
נמצא את הוקטור FD ע”י חיסור בין נקודות, וכן נמצא את הוקטור v.
אחרי שנמצא את הוקטור v נוסיף אותו לנקודה A וכך נמצא את הנקודה C.
FD = D – F = (-2 , 3 , 1) – (-2 , 2 , 1) = (0 , 1 , 0)
v / 3 = (0 , 1 , 0)
AC = v = 3(0 , 1 , 0) = (0 , 3 , 0)
AC = C – A
(0 , 3 , 0) = C – (0 , 2 , -1)
C = (0 , 3 , 0) + (0 , 2 , -1) = (0 , 5 , -1)
שיעורי הנקודה C הם (1- , 5 , 0)
כדי לבדוק שהמשולש הוא ישר זווית, נבדוק אם מכפלת סקלרית בין שני וקטורים במשולש היא אפס.
מצאנו שני וקטורים(ושיעוריהם מרמזים לנו שהם המאונכים), לכן נבדוק אותם קודם:
AB = (-3 , 0 , 3)
AC = (0 , 3 , 0)
AB * AC = (-3 , 0 , 3) * (0 , 3 , 0) = 0 + 0 + 0 = 0
המכפלה הסקלרית בין שני הוקטורים היא אפס, לכן הם מאונכים.
סעיף א 2
למציאת משוואת המישור ABC אנו צריכים למצוא את הנורמל למישור. נגדיר את הנורמל:
N = (a , b , c)
וקטור הוא נורמל למישור אם הוא מאונך לשני וקטורים שונים במישור.
לכן למציאת נורמל נבצע מכפלה סקלרית לוקטור שהגדרנו אם AB ו-AC ויהיו לנו שתי משוואות בשלושה נעלמים.
(-3 , 0 , 3) * (a , b, c) = 0
(0 , 3 , 0) * (a , b, c) = 0
נפתור את המשוואה הראשונה:
-3a + 3c = 0 / + 3a
3c = 3a / : 3
a = c
נפתור את המשוואה השנייה:
3b = 0 / : 3
b = 0
יש לנו שתי משוואות בשלושה נעלמים, לכן יש לנו דרגת חופש אחת.
נגדיר: a = 1
לכן a = c = 1
לכן הנורמל למישור הוא (1 , 0 , 1)
משוואת המישור החלקית:
x + z + d = 0
כעת למציאת הפרמטר d אנו צריכים להציב נקודה על המישור.
נציב למשל את הנקודה B(-3 , 2 , 2)
x + z + d = 0
-3 + 2 + d = 0
-1 + d = 0 / + 1
d = 1
לכן משוואת המישור ABC היא:
x + z + 1 = 0
סעיף ב 1
למציאת הצגה פרמטרית לישר MS אנו צריכים למצוא נקודה על הישר ולמצוא את וקטור הכיוון.
מכיוון ש-MS מאונך למישור ABEC, וקטור הכיוון שלו הוא הנורמל למישור.
בסעיף הקודם מצאנו כי הנורמל למישור הוא (1 , 0 , 1)
ידוע לנו כי האלכסונים במלבן חוצים זה את זה, לכן מפגש האלכסונים הוא מרכז האלכסונים.
נמצא את הנקודה M ע”י מציאת מרכז הקטע BC בעזרת נוסחת מרכז קטע.
שיעורי הנקודות שמצאנו/נתונים:
B(-3 , 2 , 2) , C(0 , 5 , -1)
xM = 0.5(xB + xC) = 0.5(-3 + 0) = -1.5
yM = 0.5(yB + yC) = 0.5(2 + 5) = 3.5
zM = 0.5(zB + zC) = 0.5(2 – 1) = 0.5
שיעורי הנקודה M הם (0.5 , 3.5 , 1.5-)
לכן הצגה פרמטרית לישר MS היא:
(-1.5 , 3.5 , 0.5) + t(1 , 0 , 1)
פירמידה ישרה היא פירמידה אשר קודקודה הוא מעל מרכז הבסיס.
מפגש האלכסונים במלבן הוא מרכז המלבן, ובגלל שנתון ש-MS מאונך למישור ABEC, אז נסיק כי S(קודקוד הפירמידה) היא מעל M(מפגש האלכסונים)
סעיף ב 2
למציאת דוגמה לנקודה S, נצטרך להציב ערך כלשהו ל-t במשוואת הישר.
הערה: מכאן והלאה התשובות הסופיות תלויות בערך t שנבחר. אם תבחרו ערך t אחר מאשר זה שבחרנו, יצאו לכם תשובות אחרות.
נציב לדוגמה t = 1:
S = (-1.5 , 3.5 , 0.5) + (1 , 0 , 1) = (-0.5 , 3.5 , 1.5)
למציאת הזווית SAB∠ נבצע מכפלה סקלרית:
AS * AB = |AS| * |AB| * cos ∠SAB
כזכור:
A(0 , 2 , -1) , AB = (-3 , 0 , 3)
AS = S – A = (-0.5 , 3.5 , 1.5) – (0 , 2 , -1) = (-0.5 , 1.5 , 2.5)
AS * AB = (-0.5 , 1.5 , 2.5) * (-3 , 0 , 3) = 4.5 + 0 + 7.5 = 12
נחשב את אורכי AS ו-AB:
נציב בנוסחת המכפלה הסקלרית:
AS * AB = |AS| * |AB| * cos ∠SAB
12 = √18 * √8.75 * cos ∠SAB
12 = 12.55 cos ∠SAB
cos ∠SAB = 0.95
∠SAB = 17.02°
סעיף ב 3
כן. אם נלך את אותו אורך על MS כמו שהלכנו בסעיף הקודם, רק לכיוון ההפוך, נמצא נקודה נוספת P כך ש:
∠SAB = ∠PAB
דרך א:
בגלל שהצבנו t = 1 בסעיף ב 2 , נציב הפעם t = -1:
הישר MS:
(-1.5 , 3.5 , 0.5) + t(1 , 0 , 1)
P = (-1.5 , 3.5 , 0.5) – (1 , 0 , 1) = (-2.5 , 3.5 , -0.5)
הנקודה P היא (0.5- , 3.5 , 2.5-)
דרך ב:
מכיוון שלמציאת הנקודה P אנו נלך מהנקודה M את אותו אורך שהלכנו עד ל-S, אבל בכיוון הפוך, M היא מרכז הקטע SP.
נמצא את P ע”י נוסחת מרכז קטע.
הנקודות הן:
S(-0.5 , 3.5 , 1.5) , M(-1.5 , 3.5 , 0.5)
xM = 0.5(xS + xP)
-1.5 = 0.5(-0.5 + xP) / : 0.5
-3 = -0.5 + xP / + 0.5
xP = -2.5
yM = 0.5(yS + yP)
3.5 = 0.5(3.5 + yP) / : 0.5
7 = 3.5 + yP / – 3.5
yP = 3.5
zM = 0.5(zS + zP)
0.5 = 0.5(1.5 + zP) / : 0.5
1 = 1.5 + zP / – 1.5
zP = -0.5
לכן הנקודה P היא (0.5- , 3.5 , 2.5-)
שאלה 3
סעיף א
i * z6 = 1 / 64
z6 = 1 / 64i
מי ששם לב לכך, ניתן לראות כי המשוואה ממעלה 6, לכן יהיו שישה פתרונות.
נציב k = 0 ועד k = 5.
z1 = 0.5cis(45 + 60 * 0) = 0.5cis 45
z2 = 0.5cis(45 + 60 * 1) = 0.5cis 105
z3 = 0.5cis(45 + 60 * 2) = 0.5cis 165
z4 = 0.5cis(45 + 60 * 3) = 0.5cis 225
z5 = 0.5cis(45 + 60 * 4) = 0.5cis 285
z6 = 0.5cis(45 + 60 * 5) = 0.5cis 345
תשובה סופית: הפתרונות למשוואה הם:
0.5cis 45 , 0.5cis 105 , 0.5cis 165 , 0.5cis 225 , 0.5cis285 , 0.5cis 345
סעיף ב
נסתכל על הפתרונות z1 ו-z4.
הזוית של z1 ביחס לכיוון החיובי של ציר x היא 45, ושל z4 היא 225.
180 = 45 – 225
לכן שני הקודקודים נמצאים על אותו הישר.
עבור הפתרונות z2 , z5:
180 = 105 – 285
עבור הפתרונות z3 , z6:
180 = 165 – 345
לכן גם עבור קודקודים אלה יש ישר המחבר אותם העובר בראשית.
סעיף ג
בסעיף ב הוכחנו כי לכל פתרון יש פתרון נגדי לו, ז”א, בעל אותו R אבל בכיוון הפוך ביחס לראשית.
לכן לפי חיבור וקטורים, סכום כל זוג כזה הוא 0.
הזוגות הם: z1 ו – z4
z2 ו- z5
z3 ו- z6
נכפול כל מספר ב-w ונסכום את המכפלות:
= w * z1 + w * z2 + w * z3 + w * z4 + w * z5 + w * z6
= w(z1 + z2 + z3 + z4 + z5 + z6) =
w[(z1 + z4) + (z2 + z5) + (z3 + z6)] = w * 0 = 0
סעיף ד
w = 0.5√3 + 0.5i
נעבור לתצוגה פולרית כדי שיהיה לנו יותר נוח להכפיל:
θ = 30°
w = 1cis 30
אלו הפתרונות המקוריים:
z1 = 0.5cis 45
z2 = 0.5cis 105
z3 = 0.5cis 165
z4 = 0.5cis 225
z5 = 0.5cis 285
z6 = 0.5cis 345
ולאחר הכפל נקבל גם את הפתרונות:
z7 = 0.5cis 75
z8 = 0.5cis 135
z9 = 0.5cis 195
z10 = 0.5cis 255
z11 = 0.5cis 315
z12 = 0.5cis 15
המשוואה שאנו צריכים לבנות היא מהצורה:
zn = R cis a
כלומר שלושת המשתנים שצריך למצוא הם:
n, R, Θ
והפתרונות שרשומים למעלה יתקבלו על ידי הנוסחה:
בניית המשוואה (מציאת n, R, Θ)
מציאת n
ה n קובע את מספר הפתרונות וגם את ההפרש בזווית שבין כל הפתרון.
מספר הפתרונות הוא 12 וגם כל פתרון גדול מהסמוך לו ב 30 – ולכן n = 12.
מציאת R
הרדיוס של הפתרונות הוא 0.5.
מהסתכלות בנוסחה אנו רואים כי הרדיוס הזה מתקבל על ידי:
ולכן
מציאת Θ
כאשר k = 0 בפתרון הראשון, אנו צריכים לקבל את הזווית 15 כפתרון.
לכן מהסתכלות בנוסחה למציאת שורשים נקבל:
Θ : n = 15
Θ :12 = 15
Θ = 180
הערה
לצורך מציאת Θ השתמשנו ב k = 0 וזווית של הפתרון הראשון.
אבל באותה מידה יכולנו להשתמש ב k = 1 והזווית של הפתרון השני.
כתיבת המשוואה
z12 = R cis Θ
שאלה 4
סעיף א 1
ההגבלה היא שהמכנה לא יכול להתאפס.
לכן למציאת תחום ההגדרה נפתור:
e2x – 4ex + 3 = 0
נגדיר: ex = t
t² – 4t + 3 = 0
(t – 3) (t – 1) = 0
t1 = 1 , t2 = 3
ex = 1
x = 0
ex = 3
x = ln3
לכן תחום ההגדרה הוא: x ≠ 0 , x ≠ ln3
סעיף א 2
אסימפטוטה אופקית:
לכן האסימפטוטות האופקיות הן: y = 0 , y = -4 / 3
אסימפטוטה אנכית:
מכיוון שמונה הפונקציה הוא מספר קבוע שונה מ-0, אין ערך של x שיאפס אותו.
לכן בכל ערך של x שיאפס את המכנה תהיה אסימפטוטה.
לכן אסימפטוטות אנכיות: x = 0 , x = ln3
תשובה סופית:
אסימפטוטות אופקיות: y = 0 , y = -4 / 3
אסימפטוטות אנכיות: x = 0 , x = ln3
סעיף א 3 + 4
למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס. נגזור את הפונקציה כנגזרת מנה
8ex(ex – 2) = 0
8ex = 0 אין פתרון
ex – 2 = 0 / + 2
ex = 2
x = ln2
נבדוק כעת תחומי עלייה וירידה לפונקציה, וכך נדע גם אם החשודה לקיצון שמצאנו היא אכן נקודת קיצון.
יש לשים לב כי גם החשודה לקיצון וגם האסימפטוטות האנכיות מחלקות את הפונקציה לתחומים:
| 0 < x < ln2 | x = 0 | x < 0 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
| x > ln3 | x = ln3 | ln2 < x < ln3 | x = ln2 | תחום |
| f ‘ (x) | ||||
| f(x) |
| 0 < x < ln2 | x = 0 | x < 0 | תחום |
| 0 > 3 / 32- | 0 > 1.73- | f ‘ (x) | |
| יורדת | אסימפטוטה | יורדת | f(x) |
| x > ln3 | x = ln3 | ln2 < x < ln3 | x = ln2 | תחום |
| 0 < 26.88 | 0 < 9 / 160 | f ‘ (x) | ||
| עולה | אסימפטוטה | עולה | מינימום | f(x) |
לכן עבור x = ln2 יש נק’ מינימום.
למציאת את ערך ה-y של הנקודה נציב בפונקציה x = ln2
תשובה סופית:
נק’ מקסימום- אין
נק’ מינימום – (4 , ln2)
תחומי עלייה:
ln2 < x < ln 3 , x > ln3
תחומי ירידה:
x < 0 , 0 < x < ln2
סעיף א 5
נאסוף את הנתונים שמצאנו עד כה:
תחום ההגדרה הוא: x ≠ 0 , x ≠ ln3
אסימפטוטות אופקיות: y = 0 , y = -4 / 3
אסימפטוטות אנכיות: x = 0 , x = ln3
נק’ מקסימום- אין
נק’ מינימום – (4 , ln2)
תחומי עלייה:
ln2 < x < ln 3 , x > ln3
תחומי ירידה:
x < 0 , 0 < x < ln2
לכן סקיצת הגרף תראה כך:
סעיף ב
לפי סקיצת הגרף נוכל לראות כי עבור x < 0 מתקיים: f(x) < -4 / 3
לכן עבור כל b < 0 יתקיים:
ולסיכום:
סעיף ג
קיבלנו נתון על g(x) הקשור לנקודות הקיצון, לכן זה מרמז שאנו צריכים לגזור את הפונקציה:
f 2 (x) > 0 עבור כל x
k- הוא מספר קבוע
לכן סימן הנגזרת נקבע אך ורק לפי f ‘ (x).
אנו רוצים שתהיה נקודת מינימום ל-g(x), לכן סימן g ‘ (x) צריך להיות זהה לסימן f ‘ (x).
כדי שזה יקרה צריך להתקיים:
-k > 0 / : -1
k < 0
תשובה סופית: תחום הערכים של k הוא k < 0
שאלה 5
סעיף א 1
הגבלה ראשונה על תחום ההגדרה היא שהמכנה לא יכול להתאפס.
לכן למציאת תחום ההגדרה נפתור את המשוואה:
(ln x)³ – 1 = 0 / + 1
(ln x)³ = 1
ln x = 1
x = e
לכן x ≠ e
הגבלה שנייה על תחום ההגדרה היא שהביטוי בתוך ה-ln לא יכול להיות שלילי.
לכן x > 0
תשובה סופית: תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≠ e , x > 0
סעיף א 2
אסימפטוטות אופקיות
בסעיף א מצאנו כי x > 0, לכן למציאת אסימפטוטה אופקית נשאיף רק לאינסוף
לכן אסימפטוטה אופקית: y = 1
אסימפטוטות אנכיות:
המכנה הוא מספר קבוע שונה מאפס, לכן אין ערך של x שיאפס אותו.
לכן בכל ערך של x שמאפס את המכנה יש אסימפטוטה אופקית.
בסעיף א 1 מאנו כי x = e מאפס את המכנה, לכן
אסימפטוטה אנכית: x = e
תשובה סופית:
אסימפטוטה אופקית: y = 1
אסימפטוטה אנכית: x = e
סעיף א 3
למציאת תחומי העלייה והירידה נגזור את הפונקציה.
נסתכל על הנגזרת:
x > 0
[(ln x)³ – 1]² > 0
(ln x)² > 0
-3 < 0
לכן הנגזרת תמיד שלילית, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.
תשובה סופית:
תחומי עלייה: אין
תחומי ירידה:
0 < x < e , x > e
סעיף א 4
לפי תחום ההגדרה, x > 0 , לכן אין נק’ חיתוך עם ציר y.
למציאת נק’ החיתוך עם ציר x נציב y = 0:
1 = -(ln x)³ + 1
(ln x)³ = 0
ln x = 0
x = 1
תשובה סופית:
נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 1)
נק’ חיתוך עם ציר y: אין
סעיף א 5
נאסוף את הנתונים שמצאנו עד כה:
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≠ e , x > 0
אסימפטוטה אופקית: y = 1
אסימפטוטה אנכית: x = e
תחומי עלייה: אין
תחומי ירידה:
0 < x < e , x > e
נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 1)
נק’ חיתוך עם ציר y: אין
לכן סקיצת הפונקציה תיראה כך:
סעיף ב
נחלק את הפונקציה לשני תחומים: לפני האסימפטוטה האנכית ואחרי.
עבור כל k > 1 הפונקציה חותכת את הישר y = k פעם אחת אחרי האסימפטוטה.
לפני האסימפטוטה האנכית הגבול העליון של הפונקציה הוא כאשר x שואף לאפס.
נבדוק את הגבול העליון בתחום זה:
לכן בתחום זה f(x) < 1
לכן k = 1
סעיף ג 1
נגדיר: F(x) היא הפונקציה הקדומה של f(x)
T ‘ (x) = F ‘ (x) = f(x)
לפי הסקיצה, אנו רואים כי”
| 1 < x < e | x = 1 | 0 < x < 1 | תחום |
| f(x) < 0 | f(x) > 0 | T ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | T(x) |
לכן עבור x = 1 לפונקציה T(x) יש מקסימום
לכן ערך האינטגרל הוא הגדול ביותר עבור x = 1
סעיף ג 2
מצאנו כי בתחום הנתון x = 1 היא נק’ מקסימום של T(x).
לכן נבדוק מה תחום הערכים האפשריים של T(1).
בתחום x < e מתקיים f(x) > 0, לכן:
נשרטט את השטחים:
השטח מתחת לגרף(הירוק) הוא חלק משטח המלבן, לכן:
T(1) < 1
מצאנו כי בתחום הנתון x = 1 היא נק’ מקסימום, לכן עבור כל x בתחום מתקיים:
T(x) < T(1) < 1