פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 582 חורף 2020

בדף זה פתרון של שאלון 582 חורף 2020.

ניתן ללמוד את החומר בקישורים:

שאלה 1:

סעיף א’

נמצא תחילה את a.
נתון כי a > b וכמו כן כי אורך הציר הגדול של האליפסה הינו 13.

על כן נמצא את נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה- x. לשם כך נציב נקודה כללית הנמצאת על ציר ה- x (x,0) במשוואת האליפסה ונקבל:

x² / a² = 1

x² = a²

x = a או x = -a

לכן נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה- x הם: (0,a), (0,-a).

כעת נשתמש בנתון כי אורך הציר הגדול של האליפסה הוא 13.
ונקבל את המשוואה הבאה:

a – ( -a ) = 13

2a = 13

a = 6.5

כעת נמצא את b:

נתון כי היקף המשולש F₁AF₂הוא 25, כמו כן ידוע כי סכום מרחקי נקודה על האליפסה מהמוקדים הוא 2a, כלומר מתקיים

F₁A + AF₂= 2a = 13

נוכל אם כך לחלץ את אורך הצלע F₁F₂

F₁A + AF₂+ F₁F₂= 25

13 + F₁F₂= 25

F₁F₂= 12

נשים לב שנתון כי F₁, F₂ אלו הם מוקדי האליפסה לכן מתקיים:

2c = F₁F₂= 12

c = 6

כעת נשתמש במשוואת מרחק המוקד מהראשית, וכך נמצא את b

c² = a² – b²

6² = 6.5² – b²

b² = 6.25

לסיכום, מצאנו כי a² = 42.25, b² = 6.25 לכן משוואת האליפסה היא:

סעיף ב’

על מנת למצוא את A, נשתמש בנתון כי שטח המשולש F₁AF₂ הוא 12.
ניזכר כי מצאנו את בסיס המשולש F₁F₂= 12 ובכך נוכל למצוא את גובה המשולש שהוא למעשה שיעור ה- y של הנקודה A.
לכן לפי משוואת שטח המשולש נקבל:

12 * y_A= 24

y_A= 2

כעת נציב זאת במשוואת האליפסה ובכך נקבל את שיעור ה- y של הנקודה A

x² = 15.21

x = 3.9 או x = -3.9

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון לכן על שיעור ה- x ושיעור ה- y להיות חיובים, על כן נקבל כי הנקודה
A=(3.9,2)

סעיף ג’

נתון כי דרך הנקודה A (שמצאנו בסעיף ב’) עוברת פרבולה שמשוואתה: y² = 2px, לכן נוכל להציב את הנקודה A במשוואת הפרבולה ובכך למצוא את p:

y² = 2px

2² = 2p*3.9

4 = 7.8p

p = 0.513

לכן משוואת הפרבולה הינה:

y² = 2px

y² = 1.03x

כעת נמצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה A, נעזר בנוסחה המתאימה:

y*y₀ = p(x + x₀)

2y = 0.513(x + 3.9)

y = 0.257(x+3.9)

נמצא את שיעור נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- x, ע”י הצבת y = 0 ונקבל:

y = 0.257(x+3.9)

0 = 0.257(x+3.9)

x = -3.9

לכן שיעור ה- x של הנקודה L הינה x_L = -3.9.

סעיף ד’

נתון כי הפרבולה והאליפסה נחתכות בנקודה נוספת, B. נמצא את נקודה זו על מנת שנוכל להביע באמצעותה את שיעור הנקודה D, הנמצאת של הישר AB.

כלומר עלינו לפתור מערכת של 2 משוואות עם 2 נעלמים:

(1)

(2) y² = 1.03x

נציב את משוואה (2) במשוואה (1) ונקבל:

x² + 6.96x = 42.25

x² + 6.96x – 42.25 = 0

x = -10.85 או x = 3.9

x > 0 (נובע מתחום ההגדרה של הפרבולה) ולכן x = -10.85 נפסל. כלומר, קיבלנו כי הישר AB הוא למעשה x = 3.9 (קו ישר המקביל לציר ה- y), לכן שיעור הנקודה D הינה D = (3.9, y_D).

נמצא כעת את אמצע הצלע AL (ניזכר כי (3.9,0-) = A = (3.9,2), L) נסמן את אמצע AL בתור E ונמצא את שיעורה:

קיבלנו כי E = (0,1) (אמצע הצלע AL).

כמו כן לפי משפט, נקודת מפגש התיכונים במשולש מחלקת התיכון ביחס של 1:2, נסמן את נקודת מפגש התיכונים ב F ונביע את שיעוריה באמצעות הנקודות E ו- D.

נשתמש בנוסחה לחישוב שיעור נקודה פנימית על צלע המחולקת ביחס נתון:

נציב את שיעורי הנקודות E ו- D, לפי היחס 2:1 ונקבל:

לכן קיבלנו כי שיעור נקודת מפגש התיכונים במשולש ALD הינה:

לכן ניתן להסיק כי המקום הגיאומטרי הינו הישר x = 1.3.

שאלה 2:

סעיף א’

על מנת למצוא את משוואת המישור π נמצא תחילה את הנורמל למישור.
נתון כי הישר L מאונך למישור π, ולכן נוכל להסיק כי וקטור הכיוון של הישר הינו הנורמל של המישור.

נמצא את ווקטור הכיוון של הישר L:

(-1,-1,2) נתון כי הישר עובר דרך ראשית הצירים ודרך הנקודה

לכן וקטור הכיוון הינו:

(-1,-1,2) – (0,0,0) = (-1,-1,2)

זהו למעשה וקטור הנורמל נציב אותו במשוואת מישור כללית ונקבל:

Ax + By + Cz + D = 0

-1x – 1y + 2z + D = 0

נמצא את D על ידי הצבת הנקודה P הנמצאת במישור במשוואת המישור.

-x – y + 2z + D = 0

-1*(-1) -1*(-1) + 2*2 + D = 0

D = -6

כלומר קיבלנו כי משוואת המישור הינה:

-x – y + 2z – 6 = 0

סעיף ב’ (1)

ניקח נקודה כללית (x,0,0) הנמצאת על הישר x, ונציב אותה במשוואת המישור על מנת למצוא את שיעור נקודת החיתוך של המישור עם ציר ה- x:

-x – y + 2z – 6 = 0

-x -6 = 0

x = -6

לכן A = (-6,0,0)

באותו האופן נמצא את B:

ניקח נקודה כללית

B = (0,y,0)

הנמצאת על הישר y, ונציב אותה במשוואת המישור

-x – y + 2z – 6 = 0

-y -6 = 0

y = -6

B = (0,-6,0)

סעיף ב’ (2)

הפירמידה ABCD הינה פירמידה ישרה, כלומר הגובה לבסיס (במקרה זה נתון כי זהו הישר L), עובר דרך מרכז המעגל החוסם.

לכן מרכז המעגל החוסם הינו נקודת החיתוך בין הישר L למישור, נשים לב כי נקודה זו נתונה והיא למעשה הנקודה P.

כמו כן מפגש האלכסונים במלבן חסום במעגל הוא מרכז המעגל החוסם.

לסיכום ראינו כי הנקודה P היא נקודת מפגש האלכסונים במלבן ABCD, נשתמש בעובדה זו, ובמשפט כי אלכסוני מלבן מחלקים זה

את זה לשתי חלקים שווים ונמצא את הנקודות C,D:

2z_P – z_A = z_C2y_P – y_A = y_C2x_P – x_A = x_C

2*2 – 0 = z_C 2*(-1) – 0 = y_C2*(-1) – (-6) = x_C

4 = z_C-2 = y_C 4 = x_C

C = (4,-2,4) ⇐

באותו האופן נמצא את D:

2z_P – z_B = z_D2y_P – y_B = y_D2x_P – x_B = x_D

2*2 – 0 = z_D 2*(-1) – (-6) = y_D2*(-1) – 0 = x_D

4 = z_D4 = y_D -2 = x_D

D = (-2,4,4) ⇐

סעיף ג’

נמצא את משוואת המישור AOB.

AO = (-6,0,0) – (0,0,0) = (-6,0,0)

OB = (0,-6,0) – (0,0,0) = (0,-6,0)

נשים לב כי ווקטורים אלו אינם תלויים לינארית ועל כן קובעים מישור. נמצא את הנורמל למישור, נסמנו:

N = (a,b,c)

הנורמל למישור מאונך לכל ישר העובר המוכל במישור ובפרט מאונך ל- AO ו- OB,לכן:

AO*OB = (-6,0,0)*(a,b,c) = -6a = 0 ⇒ a = 0

AO*OB = (0,-6,0)*(a,b,c) = -6b = 0 ⇒ b = 0

נקבע c = 1 ונקבל:

N = (0,0,1)

נשתמש בנוסחה לחישוב זווית בין 2 מישורים:

cos α = 35.26^º

סעיף ד’ (1)

FG = G – F = (-2,-4,0) – (-4,-2,0) = (2,-2,0)

AB = B – A = (0,-6,0) – (-6,0,0) = (6,-6,0)

⇐ |FG| = 1/3*|AB|

סעיף ד’ (2)

על מנת שנפח הפירמידה OFGHI יהיה 1/3 מנפח הפירמידה OABCD נבחר את הנקודות I ו- H כך שבסיס הפירמידה FGHI יהיה מוכל בבסיס הפירמידה ABCD ושגבהיי הפירמידות יתלכדו.

במצב זה גובה הפירמידה לא ישפיע על ההבדל בין הנפחים (מאחר והגבהים זהים), לכן הגורם שיגרום להבדל בין נפחי הפירמידות הינו שטחי הבסיסים.

בסעיף קודם ראינו כי |FG| = 1/3 * |AB|, לכן אם נדרוש FI = AD = GH נקבל S_FGHI = 1/3 * S_ABCD.

GH = FI = AD = D – A = (-2,4,4) – (-6,0,0) = (4,4,4)

FI = I – F = (x_I,y_I,z_I) – (-4,-2,0) = (x_I+ 4,y_I+ 2,z_I) = (4,4,4)

z_I = 4 y_I+ 2 = 4 x_I+ 4 = 4

y_I = 2 x_I= 0

I = (0,2,4) ⇐

GH = G – H = (x_G,y_G,z_G) – (-2,-4,0) = (x_G+ 2,y_G+ 4,z_G) = (4,4,4)

z_G = 4 y_G+ 4 = 4 x_G+ 2 = 4

y_G = 0 x_G= 2

G = (2,0,4) ⇐

שאלה 3:

סעיף א’

נייצג את 1- בייצוג קוטבי, 1- = cis 180

נסמן r*cis θ = z, וכעת נשווה בין הביטויים:

r*cis θ)³ = cis 180)

נשתמש בנוסחת דה – מואבר ונקבל:

[R(cos θ + isin θ)]ⁿ = Rⁿ(cos nθ + isin nθ) = Rⁿcis nθ

r³cis 3θ = cis 180

3θ = 180 + 360k וגם r³ = 1

θ = 60 + 120k r = 1

נציב k = 0,1,2 ונמצא את הפתרונות של המשוואה:

k = 0:

θ = 60, r = 1

z = r*cis θ = 1*cis 60 = 0.5 + (√3 / 2)i

k = 1:

θ = 60 + 120 * 1 = 180 , r = 1

z = r*cis θ = 1*cis 180 = -1

k = 2:

θ = 60 + 120 * 2 = 300, r = 1

z = r*cis θ = 1*cis 300 = 0.5 – (√3 / 2)i

סעיף ב’

נרשום את הנוסחה לאיבר הכללי של סדרה הנדסית, ונציב בו את המנה הנתונה ( q = 2i )

a_n = a₁ * q^n-1

a_n = a₁ * (2i)^n-1

נבטא כעת את ₄₊a_n, ניעזר בחוקי חזקות (aⁿa^m = a^n+m) ונקבל:

a_n+4 = a₁(2i)^n+4-1 = a₁(2i)ⁿ⁺³ = a₁(2i)^n-1(2i)⁴ = 16a₁(2i)^n-1 = 16a_n

סעיף ג’ (1)

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון ומיוצגת ע”י a₁ אשר מהווה אחד מהפתרונות של המשוואה 1- = z³ שפתרנו בסעיף א’.

לכן הפתרון היחיד שנמצא ברביע הראשון (הרביע בו הן הרכיב הממשי והן הרכיב המדומה חיוביים) הוא עבור 0 = k, כלומר

.a₁ = cis 60

ניעזר בנוסחה הכללית ל- a_n שמצאנו בסעיף קודם ובנוסחת דה – מואבר על מנת למצוא את יתר הנקודות:

a_n = a₁ * (2i)^n-1 = cis 60 * (2cis 90)^n-1 = 2^n-1cis (90(n-1) + 60)

a₂= 2^n-1cis (90(n-1) + 60)= 2cis (90 + 60) = 2cis 150

a₃ = 2²cis (90 * 2 + 60) = 4cis 240

a₄= 2³cis (90 * 3 + 60) = 8cis 330

סעיף ג’ (2)

נשים לב כי האלכסונים מאונכים זה לזה (יש הבדל של 90 מעלות בין 2 נקודות סמוכות), לכן לפי משפט ניתן לחשב את שטח המרובע ABCD ע”י מכפלת האלכסונים חלקי 2, נעשה זאת:

נמצא תחילה את BD ו- AC

AC = AO + OC = r_A + r_C = 1 + 4 = 5

BD = BO + OC = r_B + r_D= 2 + 8 = 10

S_ABCD = (AC * BD) / 2 = (10 * 5) / 2 = 25 ⇐

סעיף ד’

ניעזר בסעיף ב’ על מנת למצוא את a₅, a₆, a₇, a_{8 :}

A’ = a₅= 16a₁ = 16cis 60

B’ = a₆= 16a₂ = 16 * 2cis 150 = 32cis 150

C’ = a₇= 16a₃ = 16 * 4cis 240 = 64cis 240

D’ = a₈= 16a₄ = 16 * 8cis 330 = 128cis 330

נשים לב שגם במקרה זה האלכסונים במרובע ‘A’B’C’D מאונכים זה לזה, נמצא תחילה את ‘A’C ו- ‘B’D:

A’C’ = A’O + OC’ = r_A_‘ + r_C’= 16 + 64 = 80

B’D’ = B’O + OD’ = r_B_‘ + r_D_‘= 32 + 128 = 160

לכן נחשב את שטח המלבן לפי הנוסחה שהזכרנו מקודם ונקבל:

S_{A’B’C’D’} = (A’B’ * C’D’) / 2 = (80 * 160) / 2 = 6400

S_{A’B’C’D’} / S_ABCD = 6400 / 25 = 256 ⇐

שאלה 4

סעיף א’

נדרוש שהמכנה לא יתאפס כלומר

x – 1 ≠ 0
x ≠ 1

סעיף ב’

עלינו למעשה להרכיב 2 משואות עם 2 נעלמים, כאשר הנעלמים הינם a,c.

ננסה לזהות את האסימפטוטה.
נבדוק למה הפונקציה שואפת ב x שואף לאינסוף.

נתון כי y = 1 היא האסימפטוטה ולכן.

1 + c = 1
c = 0

כעת על מנת למצוא את a נציב את הנקודה הנתונה בפונקציה:

f(0) = e^-a = e^-a= e^-4

-a = -4

a = 4

סעיף ג’ (1)

על מנת למצוא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה נגזור אותה ונמצא תחומי חיוביות ושליליות של הנגזרת (ניזכר כי כשהנגזרת שלילית הפונקציה יורדת וכשהנגזרת חיובית הפונקציה עולה):

הביטוי השמאלי תמיד חיובי – כי זו חזקה של מספר חיובי.
הביטוי מימין תמיד שלילי כי המונה והמכנה חיוביים אבל יש מינוס לפני השבר.

לכן הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה (x ≠ 1) ואין לה קיצון.

סעיף ג’ (2)

מכיוון שהפונקציה היא:

חזקה של מספר חיובי תמיד חיובית לכן הפונקציה חיובית בכל תחום הגדרתה.

סעיף ד’ (1)

נבדוק את גבולות הפונקציה בסביבת x = 1:

לכן לפונקציה יש אסימפטוטה כאשר x שואף ל 1 מהכיוון החיובי.

סעיף ד’ (2)

מהסרטוט נוכל להסיק כי הישר y = k חותך את f(x) יהיה כאשר:

0 < k < 1 , 1 < k

סעיף ה’

נשרטט את המשיק והגרף:

נשים לב כי S_ABC> S_ACD

נחשב את S_ABC:

S_ABC= (AB * BC) / 2 = (X_A * Y_A) / 2 = 0.5 * e^-2 = 0.5e^-2

0.5e^-2 = S_ABC> S_{ACD ⇐}

שאלה 5

סעיף א’ (1)

נדרוש כי הביטוי בתוך ה- ln יהיה חיובי, כלומר

0 < x-

0 > x

כמו כן עלינו לדאוג שאנו לא מחלקים באפס, על כן נדרוש בנוסף כי המכנה שונה מאפס, לכן נקבל:

0 ≠ x

לסיכום, תחום ההגדרה של הפונקציה הינה: 0 > x

סעיף א’ (2)

על מנת למצוא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה נשווה את הנגזרת לאפס ונמצא את תחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת (ניזכר כי כאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת וכשהנגזרת חיובית הפונקציה עולה):

ln (-x) + 2 = 0

ln (-x) = -2

-x = e^-2

x = -e^-2

0 ≤ x	-e^-2 < x < 0	x = -e^-2	x < -e^-2
לא מוגדר	עולה /	מינימום	יורדת \	f (x)
לא מוגדר	(+)	0	(-)	f ‘(x)

על מנת להשלים את הטבלה נציב ערכים ב (x)’ f ונבדוק תחומי חיוביות ושליליות:

-e^-2 < x = -e^-3 < 0

f ‘(-e^-3) = (-3 + 2) / -e^-3 = 1 / e^-3 = (+)

x = -e^-1 < -e^-2

f ‘(-e^-1) = (-1 + 2) / -e^-1 = -1 / e^-1 = (-)

לסיכום:

תחומי עלייה:

-e^-2 < x < 0

תחומי ירידה:

x < -e^-2

סעיף א’ (3)

על מנת למצוא את תחומי הקעירות של הפונקציה נמצא את הנגזרת השנייה, נשווה אותה לאפס ונמצא את תחומי החיוביות והשליליות שלה (ניזכר כי כאשר הנגזרת השנייה שלילית הפונקציה קעורה כלפי מטה וכשהנגזרת השנייה חיובית הפונקציה קעורה כלפי מעלה):

1 – ln(-x) – 2 = 0

ln (-x) = -1

-x = e^-1

x = -e^-1

0 ≤ x	e^-1 < x < 0-	x = -e^-1	x < -e^-1
לא מוגדר	U	פיתול	∩	f(x)
לא מוגדר	(+)	0	(-)	(f ”(x

על מנת להשלים את הטבלה נציב ערכים ב (x)” f ונבדוק תחומי חיוביות ושליליות:

נשים לב כי המכנה מועלה בריבוע, ולכן חיובי לכל x בתחום ההגדרה, לכן המונה הוא זה שיקבע את תחומי השליליות והחיוביות של הנגזרת השנייה. נציב ערכים משמאל ומימין לנקודת החיתוך של הנגזרת השנייה עם ציר ה- x שמצאנו ונציב במונה:

-e^-1 < x = -e^-2 < 0

-ln( -(-e^-2) ) – 1 = -ln(e^-2) – 1 = 2 – 1 = 1 = (+)

x = -e^-0.5 < -e^-1

-ln( -(-e^-0.5) ) – 1 = -ln(e^-0.5) – 1 = 0.5 – 1 = -0.5 = (-)

לסיכום:

תחומי קעירות כלפי מעלה:

-e^-1 < x < 0

תחומי קעירות כלפי מטה:

x < -e^-1

סעיף ב’ (1)

נמצא תחילה אסימפטוטות אופקיות, ניזכר כי תחום ההגדרה הוא 0 > x לכן נבדוק את התנהגות הפונקציה כאשר x שואף למינוס אינסוף.

ניזכר כי ln שואפת חלש יותר מ- x, לכן נסדר מעט את הביטוי ונקבל:

כעת נבדוק האם קיימת לנגזרת אסימפטוטה אנכית כאשר x שואף ל-0 משמאל (מימין הפונקציה לא מוגדרת):

נציב מספר ששואף ל- 0 משמאל:

f ‘(-0.00001) = (ln(0.00001) + 2) / -0.00001 = 1,351,292

כלומר הפונקציה שואפת לאינסוף כשאר x שואף ל- 0 משמאל.

סעיף ב’ (2)

סעיף ג’ (1)

על מנת למצוא את f(x) נבצע אינטגרציה על f ‘(x), ונקבל

כעת נציב את הנקודה הנתונה על מנת למצוא את c:

(-2)² / 2 + 2 * (-2) + c = 0

2 – 4 + c = 0

c = 2

לכן,

סעיף ג’ (2)

ניעזר בסעיפים קודמים ונמצא את ערכי הפונקציה בנקודות הבאות:

x = -e^-2(נקודת קיצון):

f (-e^-2) = ln²(e^-2) / 2 + 2 * ln|e^-2| +2 = (2)² / 2 + 2 * (-2) + 2 = 2 – 4 +2 = 0

x = -e^-1(נקודת קיצון):

f (-e^-1) = ln²(e^-1) / 2 + 2 * ln|e^-1| +2 = (1)² / 2 + 2 * (-1) + 2 = 0.5 – 2 + 2 = 0.5

*** להוסיף את הגרף ***

לומדים מתמטיקה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 582 חורף 2020

כתיבת תגובה ביטול התגובה