בדף זה פתרון של שאלון 582 חורף 2019.
ניתן ללמוד את החומר בקישורים:
שאלה 1
סעיף א
נגדיר את נק’ M בתור: (xM , yM) ואת אורך הרדיוס בתור R.
לכן משוואת המעגל היא:
(x – xM)² + (y – yM)² = R²
ידוע כי ME מאונך לציר y וכי E היא נק’ החיתוך עם ציר y, לכן הנקודה E היא:
(0 , yM)
ידוע כי A היא על ציר ה-y, לכן xA = 0
בנוסף, ידוע כי AE = 6 וכי A חותכת את המעגל בחלקו העליון, לכן yA > yM
מכיוון שגם E וגם A על ציר y, אז ההבדל הוא רק בשיעורי y, לכן:
yA = yE + 6 = yM + 6
לכן הנקודה A היא:
(0 , yM + 6)
הנקודה A היא על המעגל, לכן היא מקיימת את משוואת המעגל, לכן:
(0 – xM)² + (yM + 6 – yM)² = R²
xM² + 36 = R²
קיבלנו משוואה שתלויה ב-R, ולא כוללת את ערך y של הנקודה M.
נתייחס כעת לנתון השני. המרחק מהנקודה M לראשית הצירים הוא מחצית הרדיוס.
נציב בנוסחת מרחק שתי נקודות:
xM² + yM² = 0.25R² / * 4
R² = 4xM² + 4yM²
נציב בנוסחה שמצאנו מקודם:
xM² + 36 = R²
xM² + 36 = 4xM² + 4yM ² / – xM²
36 = 3xM² + 4yM² / : 36
תשובה סופית:
משוואת האליפסה שהיא המיקום הגאומטריה שלש הנקודות M היא
סעיף ב 1
ראשית, נמצא את מוקדים האליפסה:
a² = 12 , b² = 9
c² = a² – b² = 12 – 9 = 3
מוקדי האליפסה הם: (c , 0) , (c , 0-)
לכן מוקדי האליפסה הם: (0 , 3√) , (0 , 3√-)
ניתן לדעת שזה סדר הקודקודים לפי שם המרובע בשאלה.
לחישוב שטח המרובע נחלק אותו לשני משולשים: ΔF1D1F2 , ΔF1D2F2
נחשב את שטח המרובע כסכום שטחי המשולשים.
F1F2 היא צלע בשני המשולשים הנמצא על ציר x, לכן גודל הגובה לצלע זו הוא הערך המוחלט של שיעור ה-y של הקודקוד השלישי במשולש.
S(ΔF1D1F2) = 0.5 * yD1 * F1F2
S(ΔF1D2F2) = 0.5 * |yD2| * F1F2
= S(F1D1F2D2) = S(ΔF1D1F2) + S(ΔF1D2F2)
= 0.5 * yD1 * F1F2 + 0.5 * yD1 * F1F2 = 0.5F1F2(yD1 + |yD2|)
כדי ששטח המרובע יהיה מקסימלי, צריך שהערכים המוחלטים של ערכי y של הנקודות D1 , D2 יהיו הגדולים ביותר.
מצב זה יהיה אם ערכים אלו יהיו b , -b.
b² = 9
b = 3
F1F2 = √3 – (-√3) = 2√3
לכן שטח המרובע הגדול ביותר הוא:
0.5 * 2√3(3 + 3) = 6√3
סעיף ב2
לא. האליפסה היא סכום כל הנקודות שסכום המרחקים של הנקודה משני המוקדים הוא שווה.
היקף המרובע הוא סכום מרחקי הנקודות D1 ו-D2 מהמוקדים, לכן הוא תמיד יהיה שווה.
שאלה 2
סעיף א
למציאת ההצגה הפרמטרית של הישר יש למצוא שתי נקודות(למציאת וקטור הכיוון ונקודה על הישר).
מציאת הנקודה E
הנקודה E נמצא על ציר z, לכן שיעורי x ו-y שלה הם 0.
אורך OE הוא 12. O היא ראשית הצירים ו-E על ציר z, לכן שיעור z של הנקודה E הוא 12.
הנקודה E היא (12 , 0 , 0)
מציאת הנקודה C
נתון כי OE מאונך לבסיס הפירמידה, ובנוסף ש-OE הוא על ציר z, לכן בסיס הפירמידה הוא על מישור xy.
נתון כי OBCD הוא ריבוע, לכן OD = DC = 4
בנוסף, כל הצלעות מאונכות זו לזו בריבוע, לכן OD ⊥ DC
OD נמצא על ציר x, לכן DC מקביל לציר y.
לכן הוקטורים OD ו-DC הם:
OD = (4 , 0 , 0)
DC = (0 , 4 , 0)
OC = OD + DC = (4 , 0 , 0) + (0 , 4 , 0) = (4 , 4 , 0)
הוקטור OC הוא גם ההפרש בין הנקודות O ו-C, כאשר O היא ראשית הצירים:
OC = C – O
C = OC + O = (4 , 4 , 0) + (0 , 0 , 0) = (4 , 4 , 0)
בתחילת הסעיף מצאנו שהנקודה E היא (12 , 0 , 0)
CE = C – E = (4 , 4 , 0) – (0 , 0 , 12) = (4 , 4 , -12)
לכן הצגה פרמטרית של הישר EC הוא:
EC = (0 , 0 , 12) + t(4 , 4 , -12)
לשם הנוחות ניתן לצמצם את וקטור הכיוון פי 4:
EC: (0 , 0 , 12) + t(1 , 1 , -3)
סעיף ב
הנקודה F היא על בסיס הפירמידה, שבסעיף הקודם מצאנו שהוא על מישור xy.
לכן מרחק הנקודה מציר y הוא שיעור x של הנקודה.
NF מאונך לבסיס הפירמידה(מישור xy), לכן שיעור x ו-y של הנקודות N ו-F שווים.
xN = xF = 3
נמצא את t המתאים, ואז נציב אותו במשוואת הישר EC למציאת שיעורי הנקודה N.
משוואת הישר EC:
EC: (0 , 0 , 12) + t(1 , 1 , -3)
0 + t = 3
t = 3
נציב t = 3 במשוואת הישר:
N: (0 , 0 , 12) + 3(1 , 1 , -3) = (0 , 0 , 12) + (3 , 3 , -9) = (3 , 3 , 3)
הנקודה N היא (3 , 3 , 3)
סעיף ג
הזווית בין המישורים היא הזווית בין הנורמלים.
מהנתונים אנו יודעים כי הנורמל למישור הבסיס הוא ציר z , ובהצגה וקטורית: (1 , 0 , 0)
מציאת הנורמל למישור BCN
נגדיר:
הנורמל למישור הוא N(a , b , c)
הזוית בין המישורים היא θ
את וקטור הכיוון של NC אנחנו יודעים(וקטור הכיוון של EC), והוא (3- , 1 , 1)
כל הזוויות בריבוע ישרות, לכן BC ⊥ OB.
OB נמצא על ציר y, לכן BC מקביל לציר x, לכן וקטור הכיוון שלו הוא (0 , 0 , 1)
נורמל למישור צריך להיות מאונך לשני וקטורים במישור, לכן המכפלה הסקלרית שלו עם וקטורים במישור צריכה להיות 0.
(1 , 1 , -3) * (a , b , c) = 0
(1 , 0 , 0) * (a , b , c) = 0
מהמשוואה השנייה נמצא:
a = 0
מהמשוואה הראשונה נמצא:
a + b – 3c = 0
b – 3c = 0 / + 3c
b = 3c
יש שתי משוואות בשלושה נעלמים, לכן יש דרגת חופש אחת.
נציב: c = 1
b = 3
הנורמל למישור הוא: (1 , 3 , 0)
כדי למצוא את הזווית בין הנורמלים למישורים נבצע מכפלה סקלרית:
OE * N = |OE| * |N| * cos θ
OE = (0 , 0 , 1)
N = (0 , 3 , 1)
OE * N = (0 , 0 , 1) * (0 , 3 , 1) = 0 + 0 + 1 = 1
OE * N = |OE| * |N| * cos θ
1 = 1 * √10 * cos θ
cos θ = 1 / √10
θ = 71.56°
סעיף ד
מציאת וקטור הכיוון
הבסיס הוא על מישור xy, לכן וקטור הכיוון של הגובה הוא (1 , 0 , 0)
מציאת נקודה על הישר
הפירמידה היא ישרה, לכן הגובה לבסיס מקודקוד הפירמידה(K) עובר דרך מרכז הבסיס.
מרכז ריבוע הוא נקודת מפגש האלכסונים. האלכסונים בריבוע חוצים זה את זה, לכן מרכז הריבוע הוא אמצע אלכסון.
נמצא את אמצע האלכסון OC בעזרת נוסחת אמצע קטע. הנקודות:
O(0 , 0 , 0) , C(4 , 4, 0)
xM = 0.5(0 + 4) = 2
yM = 0.5(4 + 0) = 2
zM = 0.5(0 + 0) = 0
מרכז הריבוע הוא (0 , 2 , 2)
מרכז הריבוע נמצא על הגובה של הפירמידה, לכן הגובה מונח על הישר:
(2 , 2 , 0) + t(0 , 0 , 1)
שאלה 3
סעיף א
נגדיר:
z = R cis a
לכן:
z‾ = R cis (-a)
לכן המשוואה נראית כך:
(R cis a)³ = R cis (-a)
R³ cis 3a = R cis (-a)
מכאן יוצאות שתי משוואות:
R³ = R
3a = -a + 360k
נתחיל עם המשוואה הראשונה:
R³ = R / – R
R³ – R = 0
R(R² – 1) = 0
R(R – 1)(R + 1) = 0
R1 = 1 , R2 = 0 , R3 = -1
נתון כי המספר שונה מ-0, לכן הפתרון השני נפסל. בנוסף, הרדיוס הוא תמיד אי שלילי, לכן הפתרון השלישי נפסל.
לכן הפתרון הרלוונטי הוא: R = 1
3a = -a + 360k / + a
4a = 360k / : 4
a = 90k
נציב k עד שנחזור על עצמנו:
a1 = 90 * 0 = 0
a2 = 90 * 1 = 90
a3 = 90 * 2 = 180
a4 = 90 * 3 = 270
a5 = 90 * 4 = 360 חזרנו על עצמנו, לכן פתרון זה לא נחשב
לכן הפתרונות לזווית הם:
a1 = 0 , a2 = 90 , a3 = 180 , a4 = 270
לכן פתרונות המשוואה הם:
z1 = 1 cis 0 = 1
z2 = 1 cis 90 = i
z3 = 1 cis 180 = -1
z4 = 1 cis 270 = -i
סעיף ב 1
נגדיר:
z = x + iy
לכן:
z‾ = x – iy
z² * (z‾)² = 1
(z * z‾)² = 1
[(x + iy)(x – iy)]² = 1
לפי נוסחת כפל מקוצר:
[x² – (iy)²]² = 1
[x² – (-y²)]² = 1
(x² + y²)² = 1 / √
x² + y² = 1
המיקום הגאומטרי של כל המספרים המקיימים את המשוואה הנתונה הוא מעגל היחידה
סעיף ב 2
הפתרונות של המשוואה שמצאנו בסעיף א הם:
z1 = 1 cis 0 = 1
z2 = 1 cis 90 = i
z3 = 1 cis 180 = -1
z4 = 1 cis 270 = -i
רדיוס כל אחד מהמספרים הוא 1, לכן הם כולם נמצאים על מעגל היחידה, שזה המקום הגאומטרי שמצאנו בסעיף ב 1
סעיף ג 1
כל אחת מהנקודות המתקבלות ע”י הסיבוב מתאימות למשוואה הנתונה, לכן “נסובב” את אחד הפתרונות ונציב במשוואה:
z1 = 1 cis 0
לכן לאחר הסיבוב יתקבל המספר:
z1 = 1 cis 45
נציב מספר זה במשוואה הנתונה:
a = z4 = (1 cis 45)4 = 14 cis (45 * 4) = 1 cis 180 = -1
תשובה סופית: a = -1
סעיף ג 2
הפתרונות שמצאנו בסעיף א 1 הם:
z1 = 1 cis 0
z2 = 1 cis 90
z3 = 1 cis 180
z4 = 1 cis 270
נסמן: המספר המתאים ל- zn לאחר הסיבוב יהיה wn
w1 = 1 cis a
w2 = 1 cis(90 + a)
w3 = 1 cis(180 + a)
w4 = 1 cis(270 + a)
נוכיח כי המספרים מהווים סדרה הנדסית:
הוכחנו כי ארבעת המספרים מהווים סדרה הנדסית אשר עבורה:
a1 = 1 , q = i
נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית:
שאלה 4
סעיף א
נתון כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית ב- x = ln2
לכן אנו יודעים כי x = ln2 מאפס את המכנה אך לא את המונה.
כדי למצוא את a נציב במכנה x = ln2 ונשווה לאפס. המכנה הוא:
eax – 3ex + 2
ea * ln2 – 3eln2 + 2 = 0
2a – 3 * 2 + 2 = 0
2a – 6 + 2 = 0
2a = 4
a = 2
נוודא כי כאשר a = 2 הערך x = ln2 לא מאפס את המונה.
המונה כאשר a = 2 הוא:
e2x – ex
נציב: x = ln2
e2 * ln2 – eln2 = 4 – 2 = 2
תשובה סופית: a = 2
סעיף ב
למציאת תחום ההגדרה נבדוק אילו ערכים של x מאפסים את המכנה:
e2x – 3ex + 2 = 0
נציב: ex = t
t2 – 3t + 2 = 0
(t – 1)(t – 2) = 0
t1 = 1 , t2 = 2
ex = 1
x = 0
ex = 2
x = ln2
תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x ≠ 0 , x ≠ ln2
כעת נראה את השוויון שביקשו:
נציב: t = ex
סעיף ג 1
מציאת אסימפטוטה אופקית
נשאיף את x לאינסוף ומינוס אינסוף.
מכיוון שבהשאפה x ≠ 0 , נוכל להשתמש בפונקציה הפשוטה שמצאנו:
מציאת אסימפטוטה אנכית:
מצאנו בסעיף ב כי x = ln2 , x = 0 מאפסים את המכנה.
נתון לנו כי x = ln2 היא אסימפטוטה אנכית, לכן נשאר לבדוק אם x = 0 מאפס את המונה.
יש לשים לב כי השוויון מסעיף ב נכון עבור x ≠ 0 לכן אי אפשר להשתמש בפונקציה הפשוטה שמצאנו
נציב במונה x = 0:
e2 * 0 – e0 = 1 – 1 = 0
הערך x = 0 מאפס גם את המכנה, לכן אין שם אסימפטוטה אנכית.
תשובה סופית: אסימפטוטה אנכית- x = ln2
אסימפטוטות אופקיות- y = 0 , y = 1
סעיף ג 2
מכיוון שחלק מתחום ההגדרה של הפונקציה המקורית הוא x ≠ 0 , נוכל להשתמש בפונקציה הפשוטה יותר שמצאנו בסעיף ב למציאת תחומי עלייה/ירידה של הפונקציה.
למציאת תחומי עלייה/ירידה נגזור את הפונקציה:
ex > 0 עבור כל x
x עבור כל (ex – 2)² > 0
0 > 2-
לכן f ‘ (x) < 0 עבור כל x בתחום ההגדרה
לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה
תשובה סופית:
תחום עלייה: אין
תחום ירידה:
x < 0 , 0 < x < ln2 , x > ln2
סעיף ג 3
נאסוף את הנתונים שמצאנו עד כה:
תחום ההגדרה הוא x ≠ 0 , x ≠ ln2
אסימפטוטה אנכית- x = ln2
אסימפטוטות אופקיות- y = 0 , y = 1
תחום עלייה: אין
תחום ירידה:
x < 0 , 0 < x < ln2 , x > ln2
לכן סקיצת הגרף תיראה כך:
סעיף ד 1
מציאת אסימפטוטות אנכיות
השבר בפונקציה הוא אותו השבר, ורק החסירו ממנו מספר.
לכן האסימפטוטות האנכיות יהיו אותן אסימפטוטות אנכיות כמו של f(x):
אסימפטוטה אנכית- x = ln2
מציאת אסימפטוטות אופקיות
דרך א:
|h(x) = |f(x) – 0.5
לכן למציאת האסימפטוטות האופקיות רק נציב את ערך האסימפטוטה האופקית בפונקציה ונמצא את האסימפטוטות של h(x):
עבור y = 0:
|0 – 0.5| = | -0.5 | = 0.5
עבור y = 1:
| 1 – 0.5 | = 0.5
האסימפטוטה האופקית של הפונקציה: y = 0.5
דרך ב(הדרךהרגילה):
ניקח את ביטוי הפונקציה ונשאיף אותו לאינסוף ומינוס אינסוף
האסימפטוטה האופקית של הפונקציה: y = 0.5
תשובה סופית:
אסימפטוטה אנכית- x = ln2
אסימפטוטה אופקית- y = 0.5
סעיף ד 2
לשרטוט הפונקציה, “נוריד” את הפונקציה בחצי, ואז נבצע ערך מוחלט על כל חלק של הפונקציה שהוא שלילי
ביצוע הערך המוחלט- שרטוט גרף סימטרי ביחס לציר x לכל חלק מהגרף שהוא שלילי.
נוודא שהסקיצה תואמת את האסימפטוטות שמצאנו בסעיף הקודם:
אסימפטוטה אנכית- x = ln2
אסימפטוטה אופקית- y = 0.5
סעיף ד 3
מסעיף ג 3 אנו למדים כי בתחום x > ln 2 מתקיים: f(x) > 1
לכן נסתכל על הביטוי בתוך הערך המוחלט בפונקציה h(x):
| h(x) = | f(x) – 0.5
f(x) – 0.5 > 1 – 0.5 = 0.5
לכן בתחום x > ln 2 הביטוי בתוך הערך המוחלט הוא חיובי, לכן לחישוב השטח נגדיר פונקציה חדשה:
בגלל שבפונקציה h(x) הביטוי בתוך הערך המוחלט הוא חיובי, בתחום זה מתקיים:
h(x) = g(x)
לכן לחישוב השטח נבצע אינטגרל מסוים על הפונקציה g(x) בתחום המבוקש.
נשים לב כי המונה הוא הנגזרת הפנימית של המכנה, לכן:
לכן השטח המוגבל ע”י גרף הפונקציה h(x), ציר ה-x והישרים x = ln 8 , x = ln 16 הוא 0.5
סעיף ה
מכיוון שהנקודות סימטריות, נמצא את ערך ה-y של הנקודה A.
אחרי שנמצא את ערך ה-y של הנקודה A(שיהיה גם ערך y של הנקודה B), נציב בפונקציה את ערך זה.
נקבל שני ערכי x: הראשון יהיה x = ln 8 , ערך ה-x של נקודה A והשני יהיה ערך ה-x של הנקודה B.
ערך y של הנקודות A ו- B הוא 6 / 5.
נציב בפונקציה y = 5 / 6:
מכאן יוצאות שתי משוואות:
מהמשוואה הראשונה:
6ex = 8ex – 16 / + 16 – 6ex
16 = 2ex / : 2
ex = 8
x = ln 8
מהמשוואה השנייה נמצא:
6ex = -2ex + 4 / + 2ex
8ex = 4 / : 2
ex = 0.5
x = ln 0.5 = ln 2-1 = -ln 2
שני הפתרונות שמצאנו למשוואה המקורית:
x = ln8 , x = -ln 2
x = ln8 מתאים לנקודה A(לפי הנתון)
לכן הנקודה B היא:
(-ln 2 , 5 / 6)
שאלה 5
סעיף א
לשם הנוחות, נגדיר:
g(x) = ef(x)
נגזור את g(x) ונמצא קשר בינה לבין f ‘ (x).
g ‘ (x) = ef(x) * f ‘ (x)
ef(x) > 0 עבור כל x
לכן g ‘ (x) = 0 כאשר f ‘ (x) = 0
לכן יש לשתי הפונקציות נק’ חשודות לקיצון באותם ערכי x.
וגם סימן g ‘ (x) זהה לסימן f ‘ (x)(כי מכפלה בין מספר חיובי למספר אחר)
לכן תחומי העלייה והירידה של שתי הפונקציות זהים.
מכיוון שיש לשתי הפונקציות נק’ חשודות לקיצון באותם ערכי x וגם אותם תחומי עלייה וירידה, יש לשתי הפונקציות נק’ קיצון מאותו סוג באותם ערכי x
סעיף ב
f(x) = x * ln(xn)
ההגבלה שלנו על תחום ההגדרה היא שהביטוי בתוך ה- ln יהיה חיובי.
מספר בחזקת מספר זוגי יוצא חיובי, לכן תחום ההגדרה הוא:
עבור n זוגי- x ≠ 0
עבור n אי-זוגי – x > 0
סעיף ג
f(x) = x * ln(xn)
חיתוך עם ציר y
תחום ההגדרה הוא:
עבור n זוגי- x ≠ 0
עבור n אי-זוגי – x > 0
לכן עבור כל n אין לפונקציה נק’ חיתוך עם ציר y.
חיתוך עם ציר x
נציב בפונקציה y = 0:
x * ln(xn) = 0
x = 0 נוגד תחום הגדרה, לכן הפתרון לא רלוונטי
ln(xn) = 0
xn = 1
לכן עבור n אי זוגי: x = 1
עבור n זוגי: x = 1 , x = -1
תשובה סופית:
עבור n אי זוגי:
אין חיתוך עם ציר y
חיתוך עם ציר x הוא (0 , 1)
עבור n זוגי:
אין חיתוך עם ציר y
חיתוך עם ציר x הוא (0 , 1) , (0 , 1-)
סעיף ד 1
בסעיף הקודם למדנו כי:
עבור n אי זוגי : חיתוך עם ציר x הוא (0 , 1)
עבור n זוגי: חיתוך עם ציר x הוא (0 , 1) , (0 , 1-)
לכן אם יש לפונקציה שתי נקודות חיתוך עם ציר x, נסיק כי n הוא זוגי.
כעת כדי להוכיח שהפונקציה אי-זוגית, נציב x- בפונקציה.
f(x) = x * ln(xn)
f(-x) = -x * ln((-x)n) = -x * ln(xn) = -f(x)
הוכחנו כי f(-x) = -f(x)
לכן הפונקציה אי-זוגית
סעיף ד 2
למציאת נק’ הקיצון של הפונקציה נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס.
f(x) = x * ln(xn)
ln(xn) = -n
e-n = xn
מצאנו כי n זוגי, לכן:
x1 = 1 / e , x2 = -1 / e
| -1 / e < x < 0 | x = -1 / e | x < -1 / e | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
| x > 1 / e | x = 1 / e | 0 < x < 1 / e | x = 0 | תחום |
| f ‘ (x) | ||||
| לא מוגדר | f(x) |
נציב x עבור כל אחד מהתחומים:
1 / e ≈ 0.36
f ‘ (x) = ln xn + n = n * ln x + n
מצאנו כי n זוגי, לכן מתקיים:
f ‘ (-x) = ln (-x)n + n = ln xn + n = f ‘ (x)
עבור x < -1 / e , x > 1 / e:
f ‘ (-1) = f ‘ (1) = n * ln 1 + n = n > 0
עבור התחומים:
-1 / e < x < 0 , 0 < x < 1 / e
f ‘ (-0.1) = f ‘ (0.1) = n * ln 0.1 + n = -2.3n + n = -1.3n < 0
| -1 / e < x < 0 | x = -1 / e | x < -1 / e | תחום |
| 0 > 1.3n- | n > 0 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
| x > 1 / e | x = 1 / e | 0 < x < 1 / e | x = 0 | תחום |
| n > 0 | 0 > 1.3n- | f ‘ (x) | ||
| עולה | מינימום | יורדת | לא מוגדר | f(x) |
מינימום: x = 1 / e
מקסימום: x = -1 / e
נמצא את ערכי y של הנקודות ע”י הצבה בפונקציה:
f(x) = x * ln(xn)
לכן נקודות הקיצון של הפונקציה הן:
סעיף ד 3
נאסוף את הנתונים מהסעיף הקודם. אם הנתון הוא כתלות ב-n, נציב n = 2:
ת”ה x ≠ 0
חיתוך עם ציר x הוא (0 , 1) , (0 , 1-)
אין חיתוך עם ציר y
נק’ קיצון:
נציב n = 2 ונקבל:
לכן סקיצת הפונקציה נראית כך:
סעיף ה
f(x) = x * ln(xn)
לכן לפי ההוכחה מסעיף א, ל-g(x) ול-f(x) יש את אותו סוג נק’ קיצון עבור אותו ערך x.
ערכי x של נק’ הקיצון של f(x):
מינימום: x = 1 / e
מקסימום: x = -1 / e
כזכור, נקודות הקיצון(בתלות ב-n) הן:
נציב את ערכי x אלה ב-g(x) למציאת ערכי y של הנקודות:
לכן נקודות הקיצון של g(x) הן:
