בדף זה פתרון של שאלון 582 חורף 2017.
ניתן ללמוד את החומר בקישורים:
שאלה 1
סעיף א
משוואת פרבולה נראית כך:
y² = 2px
עבור פרבולה 1:
y² = 4x
2p = 4
p = 2
נשתמש בשיפוע המשיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1):
m = p / y1
נמצא את שיעורי הנקודה:
y² = 4x
x = 0.25y²
הנקודה A היא (0.25yA² , yA)
שיפוע המשיק לפרבולה 1 בנקודה A:
mAC = 2 / yA
עבור פרבולה 2:
y² = -4x
2p = -4
p = -2
נשתמש בשיפוע המשיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1):
m = p / y1
נמצא את שיעורי הנקודה:
y² = -4x
x = -0.25y²
הנקודה B היא (0.25yB² , yB-)
שיפוע המשיק לפרבולה 2 בנקודה B:
mBC = -2 / yB
ידוע כי המשיקים מאונכים זה לזה, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-
לכן נבנה את המשוואה הבאה:
4 = yA * yB
שני המשיקים נחתכים בנקודה C, אשר נמצאת על ציר y, לכן שיעוריה הם:
C(0 , yC)
נמצא את משוואת כל משיק ונציב בה את נקודה C.
נשתמש בנוסחת משוואת משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1):
y * y1 = p(x + x1)
נציב במשוואה זו את הנקודות A ו-B:
הנקודה A היא (0.25yA² , yA)
הנקודה B היא (0.25yB² , yB-)
עבור AC:
עבור פרבולה 1 מתקיים p = 2(מצאנו בתחילת הסעיף)
y * yA = 2(x + 0.25yA²)
y * yA = 2x + 0.5yA²
y = 2x / yA + 0.5yA
yC = 0 / yA + 0.5yA = 0.5yA
עבור BC:
עבור פרבולה 2 מתקיים p = -2(מצאנו בתחילת הסעיף)
y * yB = -2(x – 0.25yB²)
y * yB = -2x + 0.5yB²
y = -2x / yB + 0.5yB
yC = 0 / yB + 0.5yB = 0.5yB
מצאנו כי:
yC = 0.5yA , yC = 0.5yB
לכן:
0.5yA = 0.5yB
yA = yB
נציב זאת במשוואה שמצאנו קודם:
4 = yA * yB
yA² = 4
yA1 = 2 , yA2 = -2
נתון כי הנקודות נמצאת מעל ציר x, לכן הפתרון הרלוונטי הוא yA = yB = 2
נציב ערך y זה בביטוי לערך x של שתי הנקודות וכך נמצא את ערך x של כל נקודה:
הנקודה A היא (0.25yA² , yA)
הנקודה B היא (0.25yB² , yB-)
מציאת xA:
xA = 0.25yA² = 0.25 * 2² = 0.25 * 4 = 1
מציאת xB:
xB = -0.25yB² = -0.25 * 2² = -0.25 * 4 = -1
לכן הנקודות A ו-B הן:
A(1 , 2) , B(-1 , 2)
סעיף ב 1
הערה: למרות שזה נראה כך לפי הסקיצה, אי אפשר להניח כי M היא על ציר y.
נשתמש בביטויים שמצאנו בסעיף הקודם ונציב את ערכי הנקודות A ו-B מהסעיף הקודם למציאת AC ו-BC.
בעזרת משוואות BC ו-AC והנקודות A ו-B נמצא את משוואות MA ו-MB.
למציאת ערך x של הקודקוד M נשווה בין MA ו-MB.
מציאת AC ו-MC:
בסעיף הקודם מצאנו:
y = 2x / yA + 0.5yA
נציב את הנקודה A(1 , 2):
AC: y = 2x / 2 + 0.5 * 2 = x + 1
AC: y = x + 1
ידוע כי המרובע AMBC הוא ריבוע, לכן:
MA ⊥ AC
לכן מכפלת שיפועי MA ו-AC היא 1-.
mAC * mMA = -1
1 * mMA = -1
mMA = -1
MA: y = -x + b
למציאת b נציב את הנקודה A(1 , 2)
2 = -1 + b / + 1
b = 3
MA: y = -x + 3
מציאת BM ו-BC:
בסעיף הקודם מצאנו:
y = -2x / yB + 0.5yB
נציב את הנקודה B(-1 , 2):
BC: y = -2x / (2) + 0.5 * 2 = -x + 1
BC: y = -x + 1
ידוע כי המרובע AMBC הוא ריבוע, לכן:
MB ⊥ BC
לכן מכפלת שיפועי MB ו-BC היא 1-.
mBC * mMB = -1
-1 * mMB = -1
mMB = 1
MB: y = x + b
למציאת ערך b נציב את הנקודה B(-1 , 2):
2 = -1 + b / + 1
b = 3
MB: y = x + 3
סיכום ביניים:
MA: y = -x + 3
MB: y = x + 3
למציאת הנקודה M נשווה בין שתי המשוואות:
x + 3 = -x + 3 / + x – 3
2x = 0 / : 2
x = 0
נציב x = 0 במשוואת MB(אפשר גם ב-MA):
y = 0 + 3 = 3
לכן שיעורי הנקודה M הם (3 , 0)
סעיף ב 2
ידוע כי M מרכז המעגל וכי BC , AC משיקים למעגל.
הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, לכן מרחק הנקודה M מאחד המשיקים תהיה רדיוס המעגל.
נביא את משוואת הישר AC שמצאנו בסעיף ב 1 לצורה המתאימה לנוסחה:
AC: y = x + 1
y – x – 1 = 0
עבור ישר מהצורה Ax + By + C = 0, מרחק נקודה (x1 , y1) הוא:
לכן רדיוס המעגל הוא 2√
נוסחת המעגל הכללית:
(x – x1)² + (y – y1)² = R²
נציב בנוסחה זו את מרכז המעגל, הנקודה M(0 , 3) ו- R = √2
משוואת המעגל: x² + (y – 3)² = 2
כדי לבדוק אם A ו-B הן נקודות ההשקה, נבדוק שהן אכן על המעגל:
הנקודות A ו-B הן:
A(1 , 2) , B(-1 , 2)
הצבת הנקודה A:
1² + (2 – 3)² = 2
1 + (-1)² = 2
1 + 1 = 2
2 = 2
הצבת הנקודה B:
(-1)² + (2 – 3)² = 2
1 + (-1)² = 2
1 + 1 = 2
2 = 2
שתי הנקודות נמצאות על המעגל וגם על המשיקים, לכן הן נקודות ההשקה.
שאלה 2
סעיף א
נגדיר מערכת צירים כמתואר בשרטוט, כל ש:
O היא ראשית הצירים
OB על ציר x
OC על ציר y
OD על ציר z
נתון כי OB = 3 , OC = 4 , OD = 6
לכן ערכי הנקודות B , C , D הם:
B(3 , 0 , 0) , C(0 , 4 , 0) , D(0 , 0 , 6)
נתון כי:
OK : BK = 2 : 1
OP : PD = 1 : 1
ראשית, נמצא את הנקודות K ו-P:
מציאת K:
הנקודה K נמצאת על OB, לכן על ציר x , לכן שיעור y ו-z הם 0.
BK = 0.5 * OK
OB = OK + BK = OK + 0.5 * OK = 1.5 OK
3 = 1.5 * OK / 1.5
OK = 2
לכן:
K(2 , 0 , 0)
מציאת P:
הנקודה P נמצאת על OD, לכן על ציר z, לכן שיעורי x ו-y של הנקודה הם 0.
OP : PD = 1 : 1
OP = PD
OP + PD = OD
OP + OP = OD
2 * OP = 6 / : 2
OP = 3
לכן:
P(0 , 0 , 3)
אם המישור העובר דרך K ו-P מקביל ל-DC אז יש להם נורמל משותף.
נגדיר: הנורמל המשותף הוא N¯(a , b ,c)
נמצא את וקטורי הכיוון PK ו-DC.
המכפלה הסקלרית של וקטורי הכיוון עם הנורמל צריכה להיות 0.
וקטור הכיוון KP:
P(0 , 0 , 3) , K(2 , 0 , 0)
KP¯ = P – K = (0 , 0 , 3) – (2 , 0 , 0) = (-2 , 0 , 3)
וקטור הכיוון DC:
D(0 , 0 , 6) , C(0 , 4 , 0)
DC¯ = C – D = (0 , 4 , 0) – (0 , 0 , 6) = (0 , 4 , -6)
נבצע את המכפלות הסקלריות:
DC * n = (0 , 4 , -6) * (a , b , c) = 0
KP * n = (-2 , 0 , 3) * (a , b , c) = 0
מהמשוואה הראשונה:
4b – 6c = 0 / + 6c
4b = 6c / : 4
b = 1.5c
מהמשוואה השנייה:
-2a + 3c = 0 / + 2a
3c = 2a / : 2
a = 1.5c
פתרון המשוואה:
a = 1.5c , b = 1.5c
נבחר c = 1
a = 1.5 , b = 1.5
הנורמל למישור: (1 , 1.5 , 1.5)
משוואת המישור החלקית:
1.5x + 1.5y + z + d = 0
למציאת הפרמטר d נציב את הנקודה P(0 , 0 , 3) (אפשר גם את K) במשוואת המישור.
1.5 * 0 + 1.5 * 0 + 3 + d = 0
3 + d = 0 / – 3
d = -3
משוואת המישור:
1.5x + 1.5y + z -3 = 0
הנקודה Q היא על OC , לכן על ציר y , לכן ערכי z ו-x שלה הם 0.
נציב זאת במשוואת המישור למציאת שיעור y:
1.5 * 0 + 1.5y + 0 – 3 = 0
1.5y – 3 = 0 / + 3
1.5y = 3 / : 1.5
y = 2
לכן שיעורי הנקודה y הם (0 , 2 , 0)
מכיוון שהישר OQC הוא על ציר y, למציאת אורכי OQ ו-QC מספיק לחסר את שיעורי y של הנקודות.
O(0 , 0 , 0) , Q(0 , 2 , 0) , C(0 , 4 , 0)
OQ = 2 – 0 = 2
CQ = 4 – 2 = 2
OQ : QC = 2 : 2 = 1 :1
סעיף ב
נמצא את נפחי שתי הפירמידות ונמצא את היחסים ביניהם.
מציאת נפח הפירמידה OBCD:
ידוע כי OB ⊥ OC
OB = 3 , OC = 4
לכן:
SΔOBC = 0.5 * OB * OC = 0.5 * 3 * 4 = 6
OD ⊥ OB , OD ⊥ OC לכן OD הוא גובה הפירמידה.
מציאת נפח הפירמידה OKQP:
ידוע כי OK ⊥ OQ
OK = 2 , OQ = 2
לכן:
SΔOKQ = 0.5 * 2 * 2 = 2
ידוע כי
OP ⊥ OK , OP ⊥ OQ
לכן OP הוא גובה הפירמידה.
ידוע כי OP = 3
לכן:
VOKQP : VOBCD = 2 : 12 = 1 : 6
סעיף ג
נמצא את הזווית בין הישר CB לנורמל למישור.
נחסר זווית זו מ-90 מעלות וכך נמצא את הזווית בין הישר למישור.
נגדיר:
a – הזווית בין הישר לנורמל למישור
β – הזווית בין הישר למישור
נמצא את הזווית בין CB לנורמל למישור באמצעות מכפלה סקלרית.
נמצא את הוקטורים:
את הנורמל למישור KPQ מצאנו בסעיף הקודם והוא (1 , 1.5 , 1.5).
הנקודות B ו-C הן:
B(3 , 0 , 0) , C(0 , 4 , 0)
BC¯ = C – B = (0 , 4 , 0) – (3 , 0 , 0) = (-3 , 4 , 0)
BC * N = (-3 , 4 , 0) * (1.5 , 1.5 , 1) = -4.5 + 6 + 0 = 1.5
כעת נמצא את אורכי הוקטורים:
BC * N = |BC| * |N| * cos a
1.5 = 5 * 0.5 * √22 * cos a
cos a = 0.128
a = 82.65°
β = 90 – 82.65 = 7.35º
שאלה 3
סעיף א
נגדיר:
z = a + bi
לכן:
z‾ = a – bi
נמצא את משוואות המקומות הגאומטריים:
מקום 1
z * z‾ + i(z – z‾) + z + z‾ = 0
(a + bi) * (a – bi) + i(a + bi – (a – bi)) + a + bi + a – bi = 0
a² + b² + i(0 + 2bi) + 2a = 0
a² + b² – 2b + 2a = 0 / + 2
a² + 2a + 1 + b² – 2b + 1 = 2
(a + 1)² + (b – 1)² = 2
המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו הוא 2√ ומרכזו הוא (1 , 1-)
מקום 2
|z|² + i(z‾ – z) = 0
a² + b² + i(-2bi) = 0
a² + b² + 2b = 0 / + 1
a² + b² + 2b + 1 = 1
a² + (b + 1)² = 1
המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 1 ומרכזו הוא (1- , 0)
סיכום:
מקום 1- באדום- מעגל שרדיוסו הוא 2√ ומרכזו הוא (1 , 1-)
מקום 2- בשחור – מעגל שרדיוסו 1 ומרכזו הוא (1- , 0)
סעיף ב
משוואות המקומות שמצאנו בסעיף הקודם:
מקום 1-
(a + 1)² + (b – 1)² = 2
מקום 2 –
a² + (b + 1)² = 1
נשחק עם המשוואה הראשונה:
a² + 2a + 1 + b² – 2b + 1 = 2
a² + 2a + b² – 2b = 0
נשחק עם המשוואה השנייה:
a² + b² + 2b + 1 = 1
a² + b² + 2b = 0
שתי משוואות בשני נעלמים:
a² + 2a + b² – 2b = 0
a² + b² + 2b = 0
נחסר את המשוואות אחת מהשנייה:
2a – 4b = 0 / + 4b
2a = 4b / : 2
a = 2b
כעת נציב באחת ממשוואות המקום a = 2b
מכיוון שהמשוואה השנייה פשוטה יותר נציב בה, אך אפשר להציב גם בראשונה.
2b)² + b² + 2b = 0)
4b² + b² + 2b = 0
5b² + 2b = 0
b(5b + 2) = 0
5b + 2 = 0 / -2
5b = -2 / : 5
b = -0.4
b1 = 0 , b2 = -0.4
a = 2b, לכן:
a1 = 0 , a2 = -0.8
שתי הנקודות הן: (0.4- , 0.8-) , (0 , 0)
ידוע כי x1 < x2 , לכן:
B(0 , 0) , A(-0.8 , -0.4)
סעיף ג
המקום הגאומטרי 1 הוא מעגל שמשוואתו היא:
(a + 1)² + (b – 1)² = 2
הנקודה שמרחקה מכל הנקודות על המעגל שווה היא מרכז המעגל.
לפי משוואת המעגל, מרכז המעגל הוא (1 , 1-)
לכן:
z0 = -1 + i
z0‾ = -1 – i
לכן הנקודה היא (1- , 1-)
נציב את הנקודה במשוואת המקום הגאומטרי 2 ונראה אם יוצא פסוק אמת:
משוואת המקום הגאומטרי:
a² + (b + 1)² = 1
(-1)² + (-1 + 1)² = 1
1 + 0 = 1
1 = 1
יצא פסוק אמת, לכן z0‾ נמצא על המקום הגאומטרי 2.
סעיף ד
שיעורי הנקודה A הם A(-0.8 , -0.4)
z1 = -0.8 – 0.4i
נגדיר: איברי הסדרה הם wn(ז”א, האיבר הראשון בסדרה הוא w1 וכך הלאה)
w1 = 5z1 = 5 * (-0.8 – 0.4i) = -4 – 2i
הפרש הסדרה הוא:
d = z0 = -1 + i
למציאת סכום הסדרה נשתמש בנוסחה:
Sn = 0.5n[2a1 + (n-1)d
נציב את w1 ו-d שמצאנו:
= [Sn = 0.5n * [2(-4 – 2i) + (n – 1)(-1 + i)
= 0.5n * [-8 – 4i -n + ni + 1 – i] = 0.5n * [-7 – n + ni – 5i] =
0.5n(-7 -n) + 0.5n(n – 5)i =
אנו צריכים שסכום הסדרה יהיה מספר ממשי, לכן:
0.5n(n – 5) = 0
n1 = 0 , n2 = 5
מכיוון ש- n = 0 הוא ערך לא רלוונטי(אי אפשר לסכום 0 איברים), אז הפתרון הוא n = 5
שאלה 4
סעיף א
נתון כי הפונקציה זוגית, לכן f(x) = f(-x)
נמצא את f(-x) ונשווה ל- f(x)
ax² + bx + 2 = ax² – bx + 2 / – ax² – 2 + bx
2bx = 0
כדי שמשוואה זו תהיה נכונה תמיד(לכל x) צריך להתקיים: b = 0
תשובה: b = 0
סעיף ב
נחפש את נקודות הפיתול ע”י מציאת הנגזרת השנייה והשוואתה ל-0.
בסעיף הקודם מצאנו כי b = 0, לכן:
2aeax²+2 = 0
eax²+2 ≠ 0 לכל x
לכן 2a = 0
a = 0
אם זה אכן המקרה, אז הפונקציה המקורית היא:
f(x) = e²
זו פונקציה קבועה, לכן אין לה נקודות פיתול.
לכן חלק זה של המשוואה לא פותר אותה, וגם a ≠ 0.
1 + 2ax²eax²+2 = 0
2ax²eax²+2 = -1
e-(ax²+2) > 0 לכל x
לכן כדי שיהיה פתרון למשוואה, צריך להתקיים a < 0
סעיף ג
לפי הנתון, לפונקציה יש שתי נקודות פיתול:
אחת ב- x = 0.5 והשנייה ב- x = -0.5
לכן למציאת a נציב בנגזרת השנייה שני ערכי x אלה ונשווה ל-0.
נשים לב כי הוכחנו שהביטוי 2aeax²+2 לא יכול להתאפס, לכן ניתן להציב רק את הביטוי בסוגריים:
1 + 2ax²eax²+2
נציב בביטוי זה x = 0.5 ונשווה ל-0:
1 + 2a * 0.5² * ea*0.5² + 2 = 0
1 + 0.5a * e0.25a + 2 = 0 / : e0.25a + 2
1 + 0.5a = 0 / – 1
0.5a = -1 / : 0.5
a = -2
סעיף ד 1
ראשית, נציב את ערך a שמצאנו:
f(x) = e-2x² + 2
אסימפטוטות אנכיות
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל x, לכן לפונקציה אין אסימפטוטות אנכיות.
אסימפטוטות אופקיות
נשאיף את הפונקציה לאינסוף ולמינוס אינסוף.
מכיוון שמצאנו כי הפונקציה זוגית, שני החישובים יצאו אותו דבר, לכן אפשר להשאיף רק פעם אחת:
לכן אסימפטוטה אופקית היא y = 0
תשובה סופית:
אסימפטוטה אנכית- אין
אסימפטוטה אופקית- y = 0
סעיף ד 2
נאסוף את הנתונים שמצאנו עד כה:
נקודות פיתול- x = 0.5 , x = -0.5
אסימפטוטה אופקית: y = 0
תחום קעירות כלפי מטה(∩)
-0.5 < x < 0.5
תחום קעירות כלפי מעלה(∪)-
x < -0.5 , x > 0.5
להשלמת הנתונים לגבי הסקיצה צריך למצוא את המידע הבא:
- ערכי y של נקודות הפיתול(כדי לדעת אם לשרטט אותן מעל ציר x או מתחת)
- למצוא נק’ קיצון
נבדוק אם לפונקציה יש נק’ קיצון.
נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל-0.
f(x) = e-2x² + 2
f ‘ (x) = -4x * e-2x² + 2 = 0
-4x = 0
x = 0
חשודה לקיצון x = 0.
נבדוק אם אכן מדובר בקיצון:
| x > 0 | x = 0 | x < 0 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
f ‘ (x) = -4x * e-2x² + 2
f ‘ (-1) = -4 * (-1) * e-2 * (-1)² + 2 = 4 > 0
f ‘ (1) = -4 * 1 * e-2 * 1² + 2 = -4 < 0
| x > 0 | x = 0 | x < 0 | תחום |
| 0 > 4- | 0 < 4 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
לכן עבור x = 0 לפונקציה יש נק’ קיצון.
נמצא את ערך y של הנקודה:
f(x) = e-2x² + 2
f(0) = e-2 * 0² + 2 = e²
נק’ קיצון: מקסימום-
(0 , e²)
כעת נמצא את ערכי y של נק’ הפיתול:
f(x) = e-2x² + 2
כזכור, הפונקציה זוגית, לכן:
f(-0.5) = f(0.5) = e-2 * 0.5² + 2 = e1.5
נק’ פיתול:
(0.5 , e1.5) , (-0.5 , e1.5)
נאסוף מחדש את הנתונים:
אסימפטוטה אופקית: y = 0
מקסימום-
(0 , e²)
נק’ פיתול:
(0.5 , e1.5) , (-0.5 , e1.5)
תחום קעירות כלפי מטה(∩)
-0.5 < x < 0.5
תחום קעירות כלפי מעלה(∪)-
x < -0.5 , x > 0.5
סעיף ה
אנו יודעים כי לפונקציה יש נק’ מקסימום ב- x = 0, לכן:
בתחום x < 0 מתקיים f ‘ (x) > 0
בתחום x > 0 מתקיים f ‘ (x) < 0
ב- x = 0 מתקיים f ‘ (x) = 0
בנוסף, אנו יודעים כי ב – x = -0.5 לפונקציה יש נק’ פיתול מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה.
לכן ב- x = – 0.5 לפונקציה יש נק’ מקסימום
אנו יודעים כי ב- x = 0.5 לפונקציה יש נק’ פיתול מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה,
לכן ב- x = 0.5 לנגזרת יש נק’ מינימום.
אנו יודעים כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית y = 0 גם בכיוון האינסוף וגם בכיוון מינוס אינסוף.
לכן בהשאפה לאינסוף / מינוס אינסוף שיפוע הגרף שואף ל-0.
לכן הנגזרת שואפת ל- 0 באינסוף ובמינוס אינסוף.
לכן לנגזרת יש אסימפטוטה אופקית y = 0.
נסכם את הנתונים על הנגזרת:
בתחום x < 0 מתקיים f ‘ (x) > 0
בתחום x > 0 מתקיים f ‘ (x) < 0
ב- x = 0 מתקיים f ‘ (x) = 0
אסימפטוטה אופקית – y = 0
מינימום – x = 0.5
מקסימום – x = -0.5
סעיף ו
h(x) = f ‘ (x) * f ”(x)
כדי ש-h(x) תהיה חיובית, צריך שלנגזרת הראשונה והשנייה יהיה את אותו סימן.
סימן הנגזרת הראשונה לפי תחומים
בסעיף הקודם מצאנו:
בתחום x < 0 מתקיים f ‘ (x) > 0
בתחום x > 0 מתקיים f ‘ (x) < 0
ב- x = 0 מתקיים f ‘ (x) = 0
סימן הנגזרת השנייה לפי תחומים
הפונקציה קעורה כלפי מעלה בתחומים x < -0.5 , x > 0.5
לכן בתחומים אלה מתקיים f ”(x) > 0
הפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום
-0.5 < x < 0.5
לכן בתחום זה מתקיים f ” (x) < 0
לכן הנגזרת הראשונה והשנייה שתיהן חיוביות בתחום: x < -0.5
והנגזרת הראשונה והשנייה שתיהן שליליות בתחום:
0 < x < 0.5
תשובה סופית
h(x) > 0 בתחומים:
x < -0.5 , 0 < x < 0.5
שאלה 5
סעיף א
נמצא את תחום ההגדרה של שתי הפונקציות:
g(x) = ln(2 – ex)
הביטוי בתוך ה-ln צריך להיות חיובי, לכן:
2 – ex > 0 / + ex
ex < 2
f(x) = ln(aex – be2x)
הביטוי בתוך ה-ln צריך להיות חיובי, לכן:
aex – be2x > 0
ex > 0 לכל x, לכן אפשר לחלק בו בלי לשנות את כיוון הסימן
a – bex > 0 / + bex
a > bex
b > 0 , לכן אפשר לחלק בו מבלי לשנות את כיוון הסימן
ex < a / b
נתון כי תחומי ההגדרה של שתי הפונקציות זהים, לכן:
a / b = 2
a = 2b
סעיף ב
נציב a = 2b שמצאנו בסעיף הקודם ב- f(x):
f(x) = ln(2bex – be2x)
g(x) = ln(2 – ex)
ידוע כי הנקודה המשותפת של שתי הפונקציות היא נק’ הקיצון של f(x).
נגזור את f(x) ונשווה את הנגזרת ל-0 למציאת נק’ הקיצון:
2bex – 2be2x = 0
2bex(1 – ex) = 0
b > 0 , ex < 0
לכן 2bex > 0
1 – ex = 0
1 = ex
x = 0
נוודא כי אכן מדובר בנק’ קיצון:
| x > 0 | x = 0 | x < 0 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
יש לשים לב כי מציבים x בתחום ההגדרה:
ex < 2
x < ln 2 = 0.693
| x > 0 | x = 0 | x < 0 | תחום |
| שלילית | חיובית | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
לכן ב-x = 0 יש ל-f(x) נק’ מקסימום.
ידוע כי לפונקציות יש נק’ משותפת בנק’ הקיצון של f(x).
נציב x = 0 בשתי הפונקציות ונשווה בין הביטויים שיוצאים למציאת b.
f(x) = ln(2bex – be2x)
f(0) = ln(2be0 – be0) = ln b
g(x) = ln(2 – ex)
g(0) = ln(2 – e0) = ln(2 – 1) = ln 1
ln 1 = ln b
b = 1
נציב b = 1 בערך שמצאנו:
f(0) = ln b = ln 1 = 0
נק’ הקיצון של הפונקציה:
(0 , 0) מקסימום
a = 2b = 2 * 1 = 2
תשובה סופית:
b = 1
a = 2
נק’ הקיצון: מקסימום – (0 , 0)
סעיף ג
g(x) = ln(2 – ex)
כדי להוכיח שהפונקציה יורדת וקעורה כלפי מטה נגזור את הפונקציה פעמיים ונבדוק את הסימן של כל נגזרת:
ת”ה של הפונקציה:
ex < 2
לכן
2 – ex > 0
ex > 0
לכן
לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה
(2 – ex)² > 0
2ex > 0
לכן
לכן הפונקציה קעורה כלפי מטה בכל תחום הגדרתה.
סעיף ד
ראשית נציב את הערכים שמצאנו בסעיף ב:
a = 2 , b = 1
f(x) = ln(2ex – e2x)
g(x) = ln(2 – ex)
f(x) – g(x) = x
x היא פונקציה שהיא קו ישר
סעיף ה 1
אסימפטוטה אנכית עבור f(x)
אסימפטוטה אופקית עבור f(x)
אסימפטוטה אנכית עבור g(x)
אסימפטוטה אופקית עבור g(x):
תשובה סופית:
אסימפטוטות f(x):
אנכית – x = ln 2
אופקית – אין
אסימפטוטות g(x):
אנכית – x = ln 2
אופקית – y = ln 2
סעיף ה 2
נאסוף את הנתונים הידועים לנו על כל פונקציה:
עבור f(x):
ת”ה x < ln 2
אסימפטוטה אנכית – x = ln 2
אסימפטוטה אופקית – אין
נק’ קיצון – מקסימום (0 , 0)
עבור g(x):
ת”ה x < ln 2
אסימפטוטה אנכית – x = ln 2
אסימפטוטה אופקית – y = ln 2
עוברת בנקודה (0 , 0)
יורדת וקעורה כלפי מטה בכל תחום הגדרתה.
לכן סקיצות הפונקציות נראות כך:
הגרף האדום – f(x)
הגרף השחור – g(x)
