בדף זה פתרון של שאלון 582 קיץ 2019.
ניתן ללמוד את החומר בקישורים:
שאלה 1:
סעיף א:
נגדיר את המקום הגיאומטרי:
M(xm,ym).
נעביר מהנקודה M ישר המקביל לציר x, נסמן את הנקודה בה הוא פוגש את ציר y כ – D.
הקטע MD הוא קטע אמצעים במשולש AOB מכיוון שהוא מקביל לבסיס OC וחוצה את AB.
הקורדינטות של הנקודה D הן:
(0,ym)
מכיוון ש – MD קטע אמצעים הקורדינטות של הנקודה A הן:
(0,2ym)
אורך הקטע MD שווה להפרש ערך ה-x בין הנקודות M ו – D, לכן:
MD = xm
מכיוון ש – MD הוא קטע אמצעים, הבסיס OB כפול ממנו באורכו:
OB = 2MD
OB = 2xm
לכן הקורדינטות של הנקודה B הן
(2xm,0)
נשתמש בנתון – AB = 4:
AB = 4
√((0 – 2ym)² + (2xm – 0)²) = 4
נעלה בריבוע
4xm² + 4ym² = 16
xm² + ym² = 4
ולכן משוואת המקום הגיאומטרי היא:
x² + y² = 4
מדובר במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו – 2:
סעיף ב:
נגדיר את המקום הגיאומטרי:
L(xL,yL)
נעביר מהנקודה L ישר המקביל לציר ה – x ונסמן את הנקודה בו הוא פוגש את ציר y כ – E.
הקורדינטות של E הן:
(0,yL)
נעביר מהנקודה L ישר נוסף המקביל לציר ה – y ונסמן את הנקודה בה הוא פוגש את ציר ה – x כ -F.
הקורדינטות של F הן:
(xL,0)
מכיוון ש – EL מקביל לבסיס OB נוכל להשתמש במשפט תאלס:
AE = t*yL
השלם שווה לסכום חלקיו לכן:
AO = OE + AE
AO = yL + AE
נציב – AE = t*yL:
AO = yL + t*yL
AO = (t + 1)yL
ולכן הקורדינטות של הנקודה A הן:
(0,(t + 1)yL)
LF מקביל לצלע AO לכן נוכל להשתמש במשפט תאלס:
השלם שווה לסכום חלקיו לכן:
OB = BF + OF
OB = xL + BF
נציב – BF = xL/t:
OB = xL + xL/t
OB = xL(1 + 1/t)
ולכן הקורדינטות של הנקודה B הן:
(xL(1 + 1/t),0)
נשתמש בנתון על הגודל של AB:
AB = 4
√((xL(1 + 1/t) – 0)² + (0 – (t + 1)yL)²) = 4
נעלה את המשוואה בריבוע:
xL²(1 + 1/t)² + (t + 1)²yL² = 16
תשובה:
המקום הגיאומטרי הוא:
ומדובר באליפסה מכיוון שהמקדמים של x² ו – y² שונים זה מזה.
סעיף ג:
על מנת שהמקומות הגיאומטריים שמצאנו בסעיפים הקודמים יתלכדו נדרוש שהמקדמים של x² ו – y² במקום הגיאומטרי מסעיף ב’ יהיו זהים זה לזה על מנת שנקבל משוואת מעגל:
(1 + 1/t)² = (1 + t)²
1 + 1/t = 1 + t
t + 1 = t + t²
t² = 1
t = 1
(t > 0)
תשובה:
על מנת שהמקומות הגיאומטריים יתלכדו דרוש:
t = 1
סעיף ד:
נציב במקום הגיאומטרי שקיבלנו את הנקודה הנתונה:
(1 + 1/t)² = 16/25
1 + 1/t = 4/5
1/t = -1/5
t = -5
תוצאה זו סותרת את הנתון t > 0 ולכן לא יכול להיות שהמקום הגיאומטרי מסעיף ב יחתוך את ציר ה – x בנקודה הנתונה.
שאלה 2:
סעיף א:
נתון כי אורך הצלע בקוביה הוא 6 יחידות אורך.
לשם הנוחות נמקם את הקוביה כך שראשית הצירים נמצאת בנקודה B.
הנקודה A מונחת על הכיוון החיובי של ציר x.
הנקודה C מונחת על הכיוון החיובי של ציר y.
כעת נוכל לקבוע את הקורדינטות של כל הנקודות בקוביה:
B(0,0,0)
A(6,0,0)
D(6,6,0)
C(0,6,0)
B'(0,0,6)
A'(6,0,6)
D'(6,6,6)
C'(0,6,6)
נמצא את הווקטורים A’C ו – ‘BC:
A’C = C – A’
A’C = (0,6,0) – (6,0,6)
A’C = (-6,6,-6)
BC’ = C’ – B
BC’ = (0,6,6) – (0,0,0)
BC’ = (0,6,6)
נשתמש במכפלה סקלרית על מנת למצוא את הזווית בין A’C ל – ‘BC:
A’C*BC’ = (-6,6,-6)*(0,6,6)
A’C*BC’ = -6*0 + 6*6 -6*6 = 0
מכיוון שערך המכפלה הסקלרית הוא אפס הווקטורים מאונכים זה לזה, כלומר הזווית ביניהם היא 90 מעלות.
תשובה:
90 מעלות.
סעיף ב:
על מנת להראות שהווקטור A’C מאונך למישור BC’D עלינו להראות כי הוא מאונך לשני ישרים במישור הנ”ל.
בסעיף הקודם כבר הראנו כי A’C מאונך ל – ‘BC, לכן נותר לנו רק להראות כי A’C מאונך לישר נוסף במישור.
נראה כי A’C מאונך ל – BD:
ראשית נמצא את BD:
BD = D – B
BD = (6,6,0) – (0,0,0)
BD = (6,6,0)
נראה בעזרת מכפלה סקלרית כי A’C מאונך ל – BD:
A’C*BD = (-6,6,-6)*(6,6,0)
A’C*BD = -6*6 + 6*6 -6*0 = 0
לכן A’C מאונך ל – BD.
מכיוון ש – A’C מאונך לשני ישרים במישור BC’D הוא מאונך למישור כולו.
סעיף ג:
אנו מעוניינים למצוא את הנקודה K.
לשם כך נמצא את ההצגה הפרמטרית של הישר A’C ואת משוואת המישור BC’D.
נמצא את ההצגה הפרמטרית של הישר A’C:
ידוע לנו מהסעיפים הקודמים כי ווקטור הכיוון של הישר הוא:
(-6,6,-6)
כמו כן גם הנקודה A’ ידועה לנו:
A'(6,0,6)
לכן ההצגה הפרמטרית של הישר A’C היא:
A’C: (6,0,6) +t(-6,6,-6)
לכן נוכל לסמן את הנקודה K כך:
K(6 – 6t,6t,6 – 6t)
כעת נמצא את משוואת המישר BC’D:
ידוע לנו כבר כי A’C הוא האנך למישור, כלומר הוא הנורמל שלו.
לכן משוואת המישור היא:
-6x + 6y – 6z + N = 0
x – y + z + M = 0
נציב את הנקודה B על מנת למצוא את M:
x – y + z + M = 0
0 – 0 + 0 + M = 0
M = 0
לכן משוואת המישור BC’D היא:
x – y + z = 0
הנקודה K היא נקודה משותפת למישור BC’D ולישר A’C, לכן נציב אותה במשוואת המישור על מנת למצוא את t המתאים:
x – y + z = 0
6 – 6t – 6t + 6 -6t = 0
18t = 12
t = 2/3
נציב – t = 2/3 בנקודה K:
K(6 – 6t,6t,6 – 6t)
K(6 – 6*2/3,6*2/3,6 – 6*2/3)
K(2,4,2)
נמצא את הווקטור A’K:
A’K = K – A’
A’K = (2,4,2) – (6,0,6)
A’K = (-4,4,-4)
ידוע לנו כי:
A’C = (-6,6,-6)
לכן:
A’K = (-4,4,-4) = 2/3*(-6,6,-6)
A’K = 2/3/*A’C
תשובה:
היחס בין A’K K ל – A’C הוא 2/3.
סעיף ד:
ראשית נמצא את הנקודה O.
נתון כי הנקודה O נמצאת במפגש האלכסונים בבסיס, לכן מכיוון שהבסיס הוא ריבוע, והאלכסונים בריבוע חוצים זה את זה, לכן הנקודה O נמצאת על אמצע הקטע BD.
BD = D – B
BD = (6,6,0) – (0,0,0)
BD = (6,6,0)
מכיוון ש – O הוא אמצע הקטע BD:
BO = 0.5*BD
BO = 0.5(6,6,0)
BO = (3,3,0)
לכן הנקודה O היא:
O(3,3,0)
נמצא את הווקטור C’O:
C’O = O – C’
C’O = (3,3,0) – (0,6,6)
C’O = (3,-3,-6)
נמצא את הווקטור C’K:
C’K = K – C’
C’K = (2,4,2) – (0,6,6)
C’K = (2,-2,-4)
ניתן לראות כי C’K הוא מכפלה בסקלאר של C’O:
C’K = (2,-2,-4)
C’K = 2/3*(3,-3,-6)
C’K = 2/3*C’O
מכיוון ש – C’K הוא מכפלה בסקלאר של C’O בהכרח שהנקודה K נמצאת על הישר C’O.
שאלה 3:
סעיף א:
חלק 1:
כל מספר מרוכב ניתן לייצג בצורה טריגונומטרית:
z = R*cis(θ)
כאשר:
θ היא הזווית שיוצר המספר המרוכב עם הכיוון החיובי של הציר הממשי.
R הוא המרחק מהראשית במישור גאוס.
והצמוד שלו הוא:
נכפיל את z בצמוד שלו:
נשתמש בכלל:
(מכיוון שכאשר הזווית היא אפס מתקבל מספר ממשי טהור חיובי)
קיבלנו כי ערך המכפלה הוא R² וידוע כי:
ולכן ערך המכפלה הוא:
חלק 2:
נסמן:
z = a + ib
נכפיל ונחלק בצמוד:
נתון כי המספר המרוכב הנתון נמצא על מעגל היחידה כלומר מרחקו מהראשית הוא 1, לכן:
a² + b² = 1
נציב – a² + b² = 1 ב:
מכיוון שהחלוקה במספר המרוכב הנתון שווה לצמוד שלו, גם היא נמצאת על מעגל היחידה.
סעיף ב:
חלק 1:
בסעיף הקודם ראינו כי:
לכן:
ומכיוון שחיבור של מספר מרוכב עם הצמוד שלו מניבה מספר ממשי טהור, הסכם הנ”ל גם הוא מספר ממשי טהור.
חלק 2:
נשתמש במה שהוכח בחלק הקודם:
נסמן:
z1 = a + bi
z2 = m + ni
נציב את המספרים המרוכבים הנ”ל:
ובאופן דומה:
מכיוון ששתי המספרים המרוכבים הנ”ל נמצאים על מעגל היחידה מתקיים:
-1 ≤ a ≤ 1
-1 ≤ m ≤ 1
נתבוננן באי השיוויון:
2a + 2m > 2
a + m > 1
נתון כי החלק המדומה בשני המספרים הנ”ל הוא חיובי כלומר המספרים הנ”ל נמצאים או ברביע הראשון או ברביע השני.
נניח בשלילה כי אחד המספרים הנ”ל נמצא ברביע השני – כלומר בעל רכיב ממשי שלילי.
במקרה זה אי השיווין – a + m > 1 לא יוכל להתקיים מכיוון שאחד המספרים הנ”ל הוא שלילי והשני קטן או שווה לאחד.
קיבלנו אם כן כי ההנחה שלנו סותרת את אי השיוויון הנתון, ולכן בהכרח ששני המספרים המרוכבים הנ”ל נמצאים ברביע הראשון.
סעיף ג:
חלק 1:
נמצא את מנת הסדרה:
q = (1cis(α))²
נשתמש בכלל:
q = (1cis(α))²
q = 1cis(2α)
האיבר השני בסדרה – w נמצא על מעגל היחידה מכיוון שה – R שלו הוא 1.
האיבר הראשון בסדרה שהוא חלוקה של 1 ב – w גם הוא נמצא על מעגל היחידה כי הוכח בסעיפים הקודמים כי התוצאה של חלוקה זו היא הצמוד של w שגם הוא על מעגל היחידה.
גם האיברים הבאים נמצאים על מעגל היחידה מכיוון שה – R של מנה גם הוא 1 ולכן השינוי שהמנה יוצרת היא רק שינוי בזווית עם הכיוון החיובי של הציר הממשי.
תשובה:
q = 1cis(2α)
חלק 2:
נשתמש בנתון על סכום הסדרה.
נשתמש בנוסחה:
cis(-α)*(cis(10α) – 1) =0
נקבל שתי אפשרויות לפתרון:
אפשרות 1:
cis(-α) = 0
cos(-α) + isin(-α) = 0
למשוואה זו אין פתרון מקיוון שסינוס וקוסינוס לעולם לא מתאפסים עבור אותה הזווית.
אפשרות 2:
cis(10α) – 1 = 0
cos(10α) + isin(10α) = 1 + 0i
cos(10α) = 1
10α = 2πk
k = 0,1,2,…
k = 0:
10α = 0
α = 0
פתרון זה נפסל מכיוון שנתון כי α > 0
k = 1:
10α = 2π
α = π/5
k = 2:
10α = 4π
α = 2π/5
מ – k = 3 נקבל פתרונות הגדולים מחצי פאי – בסתירה לנתון.
תשובה:
α = π/5
או – α = 2π/5
שאלה 4:
סעיף א:
חלק 1:
נמצא את החיתוך עם הצירים.
בחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0:
לכן החיתוך עם ציר y הוא:
(0,ln(0.5))
בחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0:
לפי כללי לוגריתמים ln מתאפס רק כאשר מה שבתוך הסוגריים שווה 1:
ex = ex + 1
1 = 0
התקבל פסוק שקר לכן אין חיתוך עם ציר ה – x.
תשובה:
חיתוך עם ציר y:
(0,ln(0.5))
חיתוך עם ציר x:
אין.
חלק 2:
נמצא את תחומי החיוביות והשליליות:
חיוביות:
ex > ex + 1
0 > 1
התקבל פסוק שקר לכן לפונקציה אין תחומי חיוביות.
כלומר הפונקציה תמיד שלילית.
תשובה:
הפונקציה תמיד שלילית.
חלק 3:
נמצא את האסימפטוטה המקבילה לציר ה- x.
לשם כך נציב בפונקציה x = 100 ו – x = -100:
x = 100:
לכן לפונקציה יש אסימפטוטה כאשר x שואף לאינסוף:
y = 0
x = -100:
נציב גם x = -200:
ניתן לראות כי הפונקציה אינה שואפת לערך מסויים כאשר x שואף למינוס אינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף למינוס אינסוף.
דרך נוספת:
בעזרת חישוב הגבול כאשר x שואף לאינסוף ומינוס אינסוף:
אינסוף:
לכן לפונקציה יש אסימפטוטה כאשר x שואף לאינסוף:
y = 0
מינוס אינסוף:
לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף למינוס אינסוף.
תשובה:
y = 0
כאשר x שואף לאינסוף.
חלק 4:
על מנת למצוא את תחומי העליה והירידה נגזור את הפונקציה.
נשתמש בכלל הגזירה:
מדובר בביטוי חיובי לכל x מכיוון שהמונה הוא מספר חיובי והמכנה הוא סכום של מספר חיובי ו – ex שגם הוא חיובי לכל x.
לכן הפונקציה עולה לכל x.
תשובה:
הפונקציה עולה לכל x.
סעיף ב:
שיקולים לשרטוט הגרף:
הפונקציה שלילית לכל x.
הפונקציה עולה לכל x.
הפונקציה לא חותכת את ציר x.
לפונקציה אסימפטוטה y = 0 כאשר x שואף לאינסוף ואין לה אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.
חיתוך עם ציר y ב – y = ln(0.5).
סעיף ג:
חלק 1:
נשתמש בכלל הלוגריתמים:
f(x) = ln(ex) – ln(ex + 1)
נזכור כי:
ln(ex) = x
f(x) = ln(ex) – ln(ex + 1)
f(x) = x – ln(ex + 1)
חלק 2:
נראה כי הביטוי ln(ex + 1) חיובי לכל x:
ln(ex + 1) > 0
ex + 1 > 1
ex > 0
אי שיוויון זה מתקיים לכל x מכיוון שהתוצאה של העלאה בחזקה של מספר חיובי תמיד חיובית.
לכן הביטוי ln(ex + 1) חיובי לכל x.
מכיוון ש – f(x) היא חיסור של הביטוי החיובי ln(ex + 1) מ – x, מתקיים אי השיוויון הבא:
x > x – ln(ex + 1)
x > f(x)
כלומר הפונקציה f(x) נמצאת כולה מתחת לישר f(x).
סעיף ד:
חלק 1:
נמצא את תחום החיוביות:
g(x) > 0
ex + 1 > 0
ex > -1
אי שיוויון זה מתקיים לכל x מכיוון ש – ex חיובי לכל x.
לכן g(x) חיובית לכל x.
תשובה:
g(x) חיובית לכל x.
חלק 2:
נשתמש בנוסחה לחישוב נפח גוף סיבוב:
נזכור כי הביטוי בתוך האינטגרל הוא הנגזרת של f(x):
לכן:
V = π[ln(a) – ln(eln(a) + 1) – (0 – ln(e0 + 1))] V = π[ln(a) – ln(a + 1) + ln(2)
נשתמש שוב בכלל:
ובכלל:
שאלה 5:
סעיף א:
חלק 1:
נדרוש שהמכנה של הפונקציה יהיה שונה מאפס:
x² + 1 ≠ 0
x² ≠ -1
אי שיווין זה מתקיים לכל x לכן f(x) מוגדרת לכל x.
תשובה:
f(x) מוגדרת לכל x.
חלק 2:
המונה של הפונקציה מכיוון שהתוצאה של העלאה בחזקה של מספר חיובי היא תמיד חיובית.
נראה כי המכנה גם חיובי לכל x:
x² + 1 > 0
x² > -1
אי שיוויון זה מתקיים לכל x, לכן המכנה חיובי לכל x.
מכיוון שגם המונה וגם המכנה חיוביים לכל x, הפונקציה חיובית לכל x.
תשובה:
f(x) חיובית לכל x.
חלק 3:
ניקח שתי פונקציות מן המשפחה ונשווה בינהן:
f1(x) = f2(x)
e-nx = e-mx
nx = mx
(n – m)x = 0
נקבל שתי פתרונות:
פתרון 1:
n = m
אבל פתרון זה בעצם אומר שהפונקציות ואנו לא מעוניינים בפתרון זה.
פתרון 2:
x = 0
כלומר כל הפונקציות ממשפחה זו נפגשות כאשר x = 0.
נציב x = 0 בפונקציה:
לכן כל הפונקציות ממשפחה זו נפגשות בנקודה:
(0,1)
תשובה:
(0,1)
סעיף ב:
חלק 1:
על מנת לקבוע עבור אילו ערכי m הנגזרת של הפונקציה לא מתאפסת, מתאפסת פעם אחת או מתאפסת פעמיים, נגזור את הפונקציה:
נשווה את הנגזרת לאפס:
-e-mx(m*x² + 2x + m) = 0
פונקציה מעריכית אינה מתאפסת לכן בהכרח:
m*x² + 2x + m = 0
נחקור פולינום זה:
נפריד לשני מקרים:
מקרה 1: m ≠ 0
מקרה 2: m = 0
מקרה 1:
נזכיר כי לפולינום ריבועי יש שני שורשים כאשר הדיסקרימיננטה שלו גדולה מאפס.
שורש אחד כאשר הדיסקרימננטה שלו שווה לאפס.
אין שורשים כאשר הדיסקרימננטה קטנה מאפס.
הדיסקרימננטה היא:
Δ = b² – 4a*c
a – המקדם של x².
b – המקדם של x.
c – המספר החופשי.
נבדוק עבור אילו ערכי m יש שני פתרונות:
נדרוש שהדיסקרימיננטה תהיה גדולה מאפס:
Δ = b² – 4a*c > 0
2² – 4*m*m > 0
4 – 4m² > 0
1 > m²
-1 < m < 1
0 ≤ m < 1
(נתון כי m ≥ 0)
לכן עבור:
0 < m < 1
לפולינום שני שורשים והנגזרת תתאפס פעמיים.
נבדוק עבור אילו ערכי m הדיסקרימיננטה מתאפסת:
Δ = b² – 4a*c = 0
2² – 4*m*m = 0
4 – 4m² = 0
1 = m²
m = ±1
m =1
לכן עבור m = 1 לפולינום שורש יחיד והנגזרת מתאפסת פעם אחת.
נבדוק עבור אילו ערכי m הדיסקרימננטה קטנה מאפס:
Δ = b² – 4a*c < 0
2² – 4*m*m < 0
4 – 4m² < 0
1 < m²
m > 1, m < -1
m > 1
לכן עבור m > 1 לפולינום אין שורשים והנגזרת אינה מתאפסת.
מקרה 2:
נציב m = 0 בפולינום:
m*x² + 2x + m
0*x² + 2x + 0
2x
נותרנו רק עם 2x שמתאפס כאשר x = 0
תשובה:
הנגזרת מתאפסת פעמיים עבור:
0 < m < 1
מתאפסת פעם אחת עבור:
0,m = 1
לא מתאפסת עבור:
m > 1
חלק 2:
בגרף 1 לפונקציה יש שתי נקודות קיצון, כלומר שתי נקודות בהן הנגזרת מתאפסת ולכן הוא מתאים לתחום:
0 < m < 1
בגרף 2 לפונקציה אין כלל נקודות קיצון, כלומר אין נקודות בהן הנגזרת מתאפסת ולכן הוא מתאים לתחום:
m > 1
בגרף 3 לפונקציה יש נקודת קיצון אחת, כלומר נקודה אחת בה הנגזרת מתאפסת, בנוסף נתון כי m ≠ 1 , לכן הוא מתאים לערך:
m = 0
סעיף ג:
שיקולים לגרף:
נתון:
0 < m < 1
לכן לפונקציה שתי נקודות קיצון והגרף שנתבסס עליו הוא גרף 1.
הגרף שאנו שרטטנו הוא הגרף של f(-x) ולכן מדובר בתמות ראי של הגרף המקורי סביב ציר ה- y.