בגרות 582 / 572 חורף 2023

סעיף א1

b = √(4.5)

סעיף א2

9

סעיף ב

סעיף ג

אליפסה,

סעיף ד

24

נתונה בשאלה אליפסה:

מוקדי האליפסה הם על ציר x, ולפי המשוואה זו אליפסה קנונית (מרכזה בראשית הצירים (0,0) ).

נתון כי המוקדים F₁ , F₂ ונקודות החיתוך D₁, D₂ עם ציר ה-y יוצרים ריבוע.

נשרטט:

אנחנו צריכים למצוא את b.

נמצא את הנקודות בריבוע:

ממשוואת האליפסה ניתן לראות כי a = 3.

לפי הגדרת האליפסה-

D₁ ( 0, b)

D₂ (0 , – b)

נותר  לנו למצוא את מיקום המוקדים.

נגדיר:

F₁ (- c , 0)

F₂ ( c , 0)

מוקדי האליפסה הנתונה.

באליפסה מתקיים-

a² = b² + c²

a² = 9 = b² + c²

c² = 9 – b²

נשתמש בכך שנתון ריבוע,
אז b = c כחצאי אלכסונים שווים בריבוע.

c² = b² = 9 – b²

2b² = 9

b² = 9/2 = 4.5

b = √(4.5)

מצאנו את b החיתוך של האליפסה עם ציר y.

נמצא את שטח הריבוע.

מצאנו את הנקודות, נחשב אורך של צלע הריבוע:

D₁ (0, b) = D₁ ( 0, (√(4.5) )

F₂ ( c , 0) = F₂ (√(4.5) , 0)

נציב בנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות-

אז שטח הריבוע:

S = 3² = 9

נתון כי E נקודה על האליפסה, והמשך החיבור שלה עם המוקד F₁ מגיע עד הנקודה M כך שמתקיים-

EM = EF₂

אנחנו צריכים להראות שהמיקום הגיאומטרי של M הוא מעגל ולמצוא את המשוואה שלו.

כיוון ש-M המיקום אותו אנחנו מחפשים, נגדיר אותו

M ( x_M , y_M )

E נקודה על האליפסה לכן היא מקיימת שסכום המרחק שלה מהמוקדים הוא פעמיים a-

EF₁ + EF₂ = 2a = 6

בנוסף נתון: EM = EF₂

EF₁ + EM = 6

מהסתכלות בשרטוט, EF₁ + EM זה הישר MF₁.

MF₁ = 6

נחשב את אורך הישר ונשווה ל-6 כדי למצוא את התנאי על הנקודות ש-M יכול להיות.

M ( x_M , y_M )

F₁ ( – √(4.5) , 0)

קיבלנו תנאי על השיעור של M שהוא מעגל, בעל רדיוס של 6 ומרכז בנקודה

(- √(4.5) , 0)

מזיזים את המעגל שקיבלנו בסעיף הקודם ימינה ב- (4.5)√ כלומר המעגל באותו הגודל אבל מרכזו בנקודה (0,0):

ובנוסף מקטינים את ערכי ה-y ב- 2/3 כלומר ערכי ה-x לא משתנים והמעגל “נמעך” פנימה:

קיבלנו צורה של אליפסה קנונית. אם כך נרצה להתאים אותה למשוואה-

החיתוך עם ציר ה-x נותר זהה כמו לשל המעגל לאחר ההזזה, לכן a = 6

החיתוך עם ציר ה-y קטן פי 2/3 מלפני השינוי-

לכן מצאנו שהאליפסה היא:

דרך נוספת – חישוב ישיר

ניתן גם לחלק את ה-y של המעגל שמצאנו (לאחר ההזזה) ב 2/3 :

וכצפוי מתקבלת אותה התוצאה.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם נקודות החיתוך עם ציר ה-x של האליפסה שמצאנו:

(6, 0)

( – 6, 0)

הקודקוד השלישי נמצא על העקום, נקרא לו A. נשרטט:

מבקשים מאיתנו למצוא את השטח המקסימלי של המשולש.

ערך ה-y של A יהיה הגובה של המשולש, לצלע שבין נקודות החיתוך של האליפסה.

המרחק בין נקודות החיתוך הוא 12 כי שתיהן על ציר ה-x.

לפי הנוסחה לשטח משולש:

S = 0.5 * 12 * y_A

 הנקודה A היא על האליפסה שמצאנו, וערך ה-y הכי גדול באליפסה הוא החיתוך שלה עם ציר ה- y כלומר b.

באליפסה שמצאנו b = 4 ולכן השטח הגדול ביותר הוא:

S = 6 * 4 = 24

סעיף א

הוכחה

סעיף ב1

k = 1

סעיף ב2

l₁ = (0, 21 , -16) + m ( -1, 1 , 1)

סעיף ב3

α = 10.89°

סעיף ג1

P ( 0 , 21 , -16)

A ( 0 , – 11 , 0)

B ( 0, 5 ,0 )

סעיף ג2

S_ABP = 128

נתונים המישורים:

π₁ : (k + 2)x + y + (k + 1)z + 11 = 0

π₂ : (k + 1)x + y + z – 5 = 0

מבקשים להוכיח כי המישורים נחתכים.

מישורים שבהכרח נחתכים הם מישורים שבהכרח אינם מקבילים.

מישורים הם מקבילים אם הנורמלים שלהם תלויים לינארית.

הנורמלי של המישורים הנתונים הם:

N₁ = ( k + 2 , 1 , k + 1)

N₂ = ( k + 1 , 1 , 1)

אין k עבורו מתקיים

k + 2 = k + 1

אז הנורמלים אינם תלויים לינארית, לכן המישורים אינם מקבילים ובהכרח נחתכים.

נתון שישר החיתוך של המישורים l₁ מקביל לישר:

l₂ = ( 1 , 2 , -1) + m ( -1 , k , k)

ומבקשים שנמצא את k.

ישר החיתוך בין מישורים מאונך לנורמלים של המישורים הנחתכים.

אם יש החיתוך l₁ מקביל ל- l₂ אז יש להם את אותו וקטור הכיוון:

( -1 , k , k)

נמצא עבור איזה k וקטור זה מאונך לשני הנורמלים:

N₁ * ( -1 , k , k) = 0

( k + 2 , 1 , k + 1) * ( -1 , k , k) = 0

-k – 2 + k + k² + k = 0

k² + k – 2 = 0

k₁ = 1 , k₂ = – 2

נמצא את האפשרות הנכונה עם המישור השני-

N₂ * ( -1 , k , k) = 0

( k + 1 , 1 , 1) * ( -1 , k , k) = 0

– k – 1 + k + k = 0

k – 1 = 0

k = 1

מבקשים הצגה פרמטרית של l₁ . את וקטור הכיוון שלו כבר מצאנו :

( -1 , 1 , 1)

נותר למצוא נקודה שלו. נשווה בין המישורים כדי למצוא את התנאי על נקודות ישר החיתוך.

לאחר הצבה של k = 1 המישורים הם:

π₁ : 3x + y + 2z + 11 = 0

π₂ : 2x + y + z – 5 = 0

והחיתוך ביניהם:

3x + y + 2z + 11 = 2x + y + z – 5

x + z = -16

z = – 16 – x

ניתן להציב כל ערך של x.

אנחנו נציב x = 0:
(בסעיף ג1 מבקשים את הנקודה הזו, אז מומלץ לקרוא את השאלה במלואה בהתחלה כדי לחסוך חישובים)

x = 0

z = -16

נמצא את y באמצעות הצבה באחד המישורים:

2x + y + z – 5 = 0

0 + y – 16 – 5 = 0

y = 21

אז הנקודה שמצאנו היא-

( 0 , 21 , -16)

והפרמטריזציה של ישר החיתוך:

l₁ = ( 0 , 21 , -16) + m ( -1 , 1 , 1)

נמצא את הזווית בין המישורים.

מצאנו כבר את הנורמלים, נציב k =1 :

N₁ = ( 3 , 1 , 2)

N₂ = ( 2 , 1 , 1)

זווית בין מישורים היא זווית בין הנורמלים של המישורים.

נמצא את הזווית באמצעות הנוסחא לזווית בין וקטורים:

נחשב כל חלק בנפרד. אין סימון וקטור על הנורמלים מסיבות טכניות, עדיין מדובר בוקטורים.

N₁ * N₂ = ( 3 , 1 , 2) * ( 2 , 1 , 1) =

= 6 + 1 + 2 = 9

l N₁ l = l ( 3, 1 ,2) l =

l N₁ l = √14

l N₂  l = l ( 2, 1 ,1) l =

l N₂ l = √6

נציב בנוסחה לזווית בין וקטורים:

אז הזווית:

α = 10.89°

נתונה הנקודה P שהיא נקודת החיתוך בין הישר l₁  ומישור [YZ].

מישור [YZ] הוא כל הנקודות במרחב בהן x = 0.

הישר l₁ עובר ב- x = 0 בנקודה

( 0 , 21 , -16)

שמצאנו בסעיף ב2.

אז שיעורי הנקודה P:

P ( 0 , 21 , -16)

כעת נמצא את הנקודות A,B שהן החיתוך של המישורים עם ציר ה- y.

חיתוך מישור עם ציר ה-y הן כל הנקודות עליו שעבורן x = 0, z = 0.

הנקודה A:

π₁ : 3x + y + 2z + 11 = 0

3*0 + y + 2*0 + 11 = 0

y = -11

A ( 0 , – 11 , 0)

הנקודה B:

π₂ : 2x + y + z – 5 = 0

2*0 + y + 0 – 5 = 0

y = 5

B (0, 5 ,0)

לסיכום:

P ( 0 , 21 , -16)

A ( 0 , – 11 , 0)

B ( 0, 5 ,0 )

מבקשים שנמצא את שטח המשולש ABP. נשים לב שכל הנקודות הן על מישור [YZ] (x = 0 בכולן).

לכן נוכל לשרטט בדו מימד:

ציר ה-x מאונך למסך.

אורך הצלע AB במשולש היא

AB = 5 – ( -11) = 16

ואורך הגובה לצלע h הוא שיעור ה-z של P :

l -16 l = 16

h = 16

שטח המשולש ABP:

S_ABP = 0.5 * AB * h =

= 0.5 * 16 * 16 = 128

S_ABP = 128

סעיף א

סעיף ב1

סעיף ב2

סעיף ב3

הוכחה

סעיף ג1

דלתון

סעיף ג2

3/2

נתונה משוואה 1:

w⁶ = – 27

מדף הנוסחאות, פתרון כללי למשוואה מסוג

zⁿ = R cisθ

היא:

במקרה שלנו:

n = 6

R = 27

cisθ = -1

cosθ = -1

θ = 180°

נמצא את הפתרונות למשוואה. נצפה ל-6 פתרונות סה”כ, ואחריהן השלמנו סיבוב.

k = 0:

k = 1:

k = 2:

k = 3:

k = 4:

k = 5:

מצאנו 6 פתרונות למשוואה, כלומר את כל הפתרונות למשוואה, כנדרש.

נציג את פתרונות משוואה 1 בצורה אלגברית.

מעבר מהצגה פולרית לאלגברית:

w₀ = √3 * cis ( 30°) =

= √3 * (cos30 + i* sin30) =

נסכם את כל הפתרונות של משוואה 1 כך-

w₁ = √3 i

w₄ = – √3 i

כעת נמצא את הפתרונות למשוואה 2 הנתונה לנו:

נוכל להשתמש באותם הפתרונות למשוואה 1, כאשר:

פתרונות משוואה 1 היו על מעגל, לכן כשעברנו להצגה פולרית לאחר 6 איברים השלמנו סיבוב.

זה היה מעגל עם רדיוס של 3√ שמרכזו בראשית.

לכן פתרונות משוואה 2 הם הזזה למטה ב- 3/2√ יחידות (על הציר המדומה) של פתרונות משוואה 1.

עכשיו זה מעגל באותו רדיוס 3√, שמרכזו בנקודה

(0 , √3 /2)

נכניס למשוואת מעגל:

כפי שהסברנו בסעיף ב2, פתרונות משוואה 2 נמצאים על מעגל שרדיוסו 3√ שהוא הזזה למעלה של פתרונות משוואה 1.

הפתרונות של שתי המשוואות משתנים בזווית של 60° מפתרון לפתרון.

לכן אם נמפה את הפתרונות על מערכת הצירים המרוכבת:

נקבל צורה גיאומטרית בעלת שש צלעות שוות, שהזוויות החיצוניות שלו הן 60°,

כלומר משושה משוכלל כנדרש.

נתון כי שני הפתרונות המדומים ושני הפתרונות הממשיים של משוואה 2 הם קודקודים של מרובע במישור גאוס.

שני הפתרונות המדומים הם:

והפתרונות הממשיים הם:

w₀ = 3/2

w₂ = – 3/2

שואלים מה סוג המרובע שהתקבל.

נבטא את הפתרונות כנקודות במישור:

w₀ = ( 3/2 , 0)

w₁ = ( 0 , √3/2 )

w₂ =  ( – 3/2 , 0)

w₄ = ( 0 , – 3√3 /2 )

נציג על המישור:

הנקודות הממשיות במרחק שווה מהציר המדומה, לכן המרחק כל נקודה מדומה לבין הנקודות הממשיות שווה.

שתי הצלעות העליונות שוות ושתי הצלעות התחתונות שוות, לכן מדובר בדלתון.

נמצא את היחס בין שטח  המשושה לשטח הדלתון.

שטח משושה משוכלל:

כאשר a אורך הצלע שלו.

פעמיים אורך צלע במשושה משוכלל שווה לאלכסון שלו.

המרחק בין הפתרונות המדומים שלנו הוא:

לכן צלע המשושה:

a = 0.5 * 2 * √3

 a =√3

שטח המשושה:

נמצא את שטח הדלתון.

שטח דלתון הוא מחצית ממכפלת האלכסונים שלו.

האלכסון הראשי (על הציר המדומה): כבר מצאנו מקודם-

והאלכסון המשני (על הציר הממשי):

b = (3 /2) + (3 /2) = 3

אז שטח הדלתון:

S = 0.5 * 2√3  * 3  = 3√3

נחלק את שטח המשושה בשטח הדלתון לקבלת יחס השטחים:

מצאנו את יחס השטחים והוא 1.5.

סעיף א1

x ≠ 0

x ≠ ln4

סעיף א2

x = 0

x = ln4

סעיף א3

עלייה-

x < 0

0 < x < ln (1.6)

ירידה-

ln (1.6) < x < ln (4)

x > ln (4)

סעיף ב

( ln(2.5) , -5.55 )

סעיף ג

f(x): 1, 4 , 5

g(x): 2, 3 , 6

סעיף ד

1. שלילי
2. חיובי

סעיף ה

(S = ln(4.5

נתונה הפונקציה הבאה:

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

המכנה מתאפס עבור:

e^2x – 5e^x + 4 = 0

נגדיר: e^x = t

t² – 5t + 4 = 0

t₁ = 1

e^x = 1

x = ln (1) = 0

x ≠ 0

t₂ = 4

e^x = 4

x = ln4

x ≠ ln4

לסיכום, תחום ההגדרה של הפונקציה f:

x ≠ 0

x ≠ ln4

נמצא את האסימפטוטות של הפונקציה.

אנכיות

המונה לא מתאפס ולכן

x = 0

x = ln4

אסימפטוטות אנכיות.

אופקיות

לבדוק לגבול אינסוף החיובי והשלילי, ובכל אחד נשים לב לאיבר המוביל במכנה:

בכיוון החיובי:

בתחום x > 0 מתקיים

e^2x > e^x

לכן האיבר המוביל במכנה הוא e^2x –

בכיוון השלילי:

בתחום x < 0 מתקיים

e^2x < e^x

לכן האיבר המוביל במכנה הוא e^x –

קיבלנו שתי אסימפטוטות אופקיות:

נמצא את תחומי העליה והירידה של הפונקציה באמצעות הנגזרת.

המכנה חיובי ושונה מאפס בכל תחום ההגדרה. נבדוק מתי המונה מתאפס:

4e^2x *(e^2x – 5e^x + 4) – 2e^2x *(2e^2x – 5e^x) =

= 2e^2x *( 2* (e^2x – 5e^x + 4) – (2e^2x – 5e^x) ) =

= 2e^2x *( 2e^2x – 10e^x + 8 – 2e^2x + 5e^x) =

= 2e^2x *( 8 – 5e^x)

2e^2x *( 8 – 5e^x) = 0

ביטוי מעריכי לא מתאפס, לכן נבדוק מתי הסוגריים מתאפסים:

8 – 5e^x = 0

e^x = 8/5 = 1.6

x = ln (1.6)

מצאנו נקודה חשודה לקיצון. נבדוק בטבלה תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:

ההצבה בנגזרת:

f ‘ (  ln ( 0.5 )) = 0.163= +

f ‘ ( ln ( 1.5 )) = 1.44 = +

f ‘ ( ln2 ) = – 4 = –

f ‘ ( ln5 ) = – 53.125 = –

מצאנו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה:

עלייה

x < 0

0 < x < ln (1.6)

ירידה

ln (1.6) < x < ln (4)

x > ln (4)

נתונה הפונקציה:

נמצא את החיתוך שלה עם f(x):

המכנים שווים, אז נשווה ישירות בין המונים:

5e^x = 2e^2x

2e^2x – 5e^x = 0

e^x (2e^x – 5) = 0

אקספוננט תמיד שונה מאפס, אז צריך לבדוק רק מתי הסוגריים מתאפסים:

2e^x – 5 = 0

2e^x = 5

e^x = 2.5

x = ln (2.5)

נמצא מה ערך ה-y של הנקודה ע”י הצבה באחת הפונקציות:

מצאנו את נקודת החיתוך בין הפונקציות:

( ln(2.5) , -5.55 )

נתון השרטוט הבא:

נמצא בכל תחום איזה פונקציה מתאימה לאיזה מספר של חלק גרף.

נשתמש בהצבה.

בתחום x < 0:

נציב x = ln (0.5) ונשווה מי גדול ממי

f ( ln (0.5) ) = 0.287

g ( ln (0.5) ) = 1.42

g (x) > f (x)

לכן 3 מתאים ל-g , ו-4 מתאים ל-f.

: 0 < x < ln4 

נציב x = ln (1.5) ונשווה מי גדול ממי

f ( ln (1.5) ) = – 3.6

g ( ln (1.5) ) = -6

g (x) < f (x)

לכן 5 מתאים ל-f ו- 6 מתאים ל- g.

• שימו לב לבחור הצבה לפני או אחרי נקודת החיתוך ובהתאם לכך להגדיר מי גדול ממי. אם הייתי לוקחת נקודה ln2.6 לדוגמה, זה היה גורר ההפך- שפונקציה g גדולה מפונקציה f.

x > ln4 :

כבר מצאנו שבתחום הזה יש ל-f(x) אסימפטוטה אופקית, y = 2.

לכן מהסתכלות בגרף אפשר לראות כי 1 מתאים ל-f ו-2 מתאים ל-g.

לסיכום:

f(x): 1, 4 , 5

g(x): 2, 3 , 6

נקבע עבור כל ביטוי אם הוא שלילי או חיובי.

ביטוי 1:

התחום של האינטגרל הוא:

– 4 < x < -1

תחום זה מוכל בתוך התחום:

x < 0

בו כבר מצאנו שהפונקציה g גדולה מהפונקציה f.

לכן ההפרש ביניהם הוא שלילי, והאינטגרל עליו גם כן שלילי.

הביטוי שלילי.

ביטוי 2:

התחום של האינטגרל הוא:

ln 1.6 < x < ln 2

תחום זה מוכל בתוך התחום

ln1.6 < x < ln4

בו כבר מצאנו שהפונקציה f גדולה מהפונקציה g.

לכן ההפרש ביניהם חיובי, והאינטגרל חיובי.

הביטוי חיובי.

מבקשים את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות והישרים x = ln9 , x = ln16.

שתי הנקודות בתחום x > ln 4 לכן הפונקציה f גדולה מהפונקציה g, אז נחסר f – g:

נשים לב כי המונה הוא הנגזרת של המכנה, כלומר:

(e^2x – 5e^x + 4) ‘ = 2e^2x – 5e^x

לכן זה אינטגרל מסויים של נגזרת פנימית של ביטוי חלקי ביטוי:

נשתמש בנוסחה זו על האינטגרל שלנו ונקבל:

 S = ln (16² – 5 *16 + 4) – ln (9² – 5*9 + 4) =

= ln (180) – ln (40) =

= ln ( 180 / 40) =

= ln (4.5)

חישבנו את השטח הכלוא בתחום המבוקש והוא:

S = ln(4.5)

סעיף א1

x ≠ 0

סעיף א2

( √e , 0)

( – √e , 0)

סעיף א3

הוכחה

סעיף ב1

min ( e^{– 0.5} , – 8 * e^{– 0.5} )

max ( – e^{– 0.5} ,  8 * e^{– 0.5} )

סעיף ב2

אין פיתול

סעיף ב3

סעיף ג1

x ≠ 0

x ≠ ± √e

סעיף ג2

x = 0

x = ± √e

y = 0

סעיף ג3

סעיף ג4

6 נקודות

סעיף ד

נתונה הפונקציה

f(x) = 4x ( ln (x²) – 1)

תחום ההגדרה שלה הוא כשהביטוי בתוך פונקציית ln חיובי:

x² > 0

איקס בריבוע חיובי לכל איקס מלבד האפס, לכן תחום ההגדרה הוא

x ≠ 0

נמצא את נקודות החיתוך עם ציר איקס:

f(x) = 0

0 = 4x ( ln (x²) – 1)

x = 0

לא בתחום ההגדרה. פתרון נוסף-

 ln (x²) – 1 = 0

 ln (x²) = 1

x² = e

x = ± √e

נקודות החיתוך עם ציר האיקס הן:

( √e , 0)

( – √e , 0)

נראה שהפונקציה אי זוגית, כלומר מקיימת:

f (- x) = – f (x)

f (- x) = 4* (- x) * ( ln ((- x)²) – 1) =

= – 4x * ( ln (x²) – 1) = – f (x)

הוכחנו שהפונקציה אי זוגית.

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה.

הנגזרת שלה:

f ‘ (x) = (4x) ‘ * ( ln (x²) – 1)  + 4x * ( ln (x²) – 1) ‘

f ‘ (x) = 4* ln (x²)  – 4 + 8 = 4 *( ln (x²) + 1)

נשווה לאפס למציאת קיצון:

f ‘ (x) =  4 *( ln (x²) + 1) = 0

 ln (x²) = – 1

x² = 1/e

x = ± 1/√e = ± e^{– 0.5}

נשתמש בטבלה למצוא את סוג הקיצון:

הפונקציה אי זוגית אז הנגזרת שלה זוגית.

מספיק להציב ערכים חיוביים בנגזרת ונקבל את הסימן שלה לערך החיובי וגם השלילי.

f ‘ ( e^-1 ) = 4 *( ln(e^-2) + 1) = 4 * (- 2 + 1) = – 4 = ( – )

f ‘ ( e^-0.33 ) = 4 *( ln(e^-0.66) + 1) = 4 * (- 0.66 + 1) = 1.33 = ( + )

נציב את ערכי הקיצון שמצאנו בפונקציה.

כיוון שהיא אי זוגית מספיק להציב את הערך החיובי, והשלילי יהיה ההפך בסימן.

f (e^{– 0.5} ) = 4* e^{– 0.5} *( ln (e^{– 1}) – 1) = – 8 * e^{– 0.5}

f (- e^{– 0.5} ) = +  8 * e^{– 0.5}

min ( e^{– 0.5} , – 8 * e^{– 0.5} )

max ( – e^{– 0.5} , + 8 * e^{– 0.5} )

נבדוק אם קיימת נקודת פיתול באמצעות נגזרת שנייה:

f ‘ (x)  = 4 *( ln (x²) + 1)

f ” (x) = 8 / x

הנגזרת השנייה לא מתאפסת לכל x ולכן אין נקודת פיתול לפונקציה f(x).

מצאנו עד כה:

x ≠ 0

( √e , 0)

( – √e , 0)

פונקציה אי זוגית

min ( e^{– 0.5} , – 8 * e^{– 0.5} )

max ( – e^{– 0.5} ,  8 * e^{– 0.5} )

אין פיתול

נשרטט את הפונקציה:

נתונה כעת פונקציה:

תחום ההגדרה שלה יהיה מתי שהמכנה, הפונקציה f(x), מוגדר ובנוסף ושונה מאפס.

מצאנו כבר שהפונקציה f(x) מוגדרת ב- x ≠ 0

ונקודות החיתוך שלה עם ציר האיקס שמצאנו כעת נקודות אי הגדרה:

x ≠ ± √e

אז תחום ההגדרה של g(x):

x ≠ 0

x ≠ ± √e

נמצא את האסימפטוטות של g(x)-

נקודות אי ההגדרה של המכנה לא מאפסות את המונה, לכן אלה אסימפטוטות אנכיות:

x = 0

x = ± √e

נמצא אסימפטוטה אופקית.

כי במכנה מעלה גבוהה יותר של איקס. כנ”ל עבור מינוס אינסוף.

לבסוף האסימפטוטות:

x = 0

x = ± √e

y = 0

דרך נוספת לאסימפטוטה האופקית:

בגרף של f(x) רואים שהיא ממשיכה לפלוס/מינוס אינסוף בקצוות.

לכן g(x) שהיא אחד חלקי f(x) תשאף בקצוות לאפס-

נשתמש במה שכבר מצאנו על f(x) כדי לתאר את הגרף של g(x).

כבר מצאנו את תחום ההגדרה והאסימפטוטות:

x ≠ 0

x ≠ ± √e

x = 0

x = ± √e

y = 0

נמצא חיוביות שליליות, עלייה ירידה, וקיצון של g(x).

לכן יש לשתי הפונקציות את אותם תחומי החיוביות והשליליות.

הנגזרת של g(x) :

הנגזרות מתאפסות באותן ערכי איקס לכן ערכי איקס של הקיצון אותו דבר.

סימני הנגזרות הפוכים לכן תחומי העלייה והירידה שלהם הפוכים.

נקודת המקסימום של f(x) היא נקודת מינימום של g(x) ולהיפך.

נקודות הקיצון של g(x):

max ( e^{– 0.5} , – e ^0.5 /8)

min ( – e^{– 0.5} ,  e ^0.5 / 8)

נשרטט את גרף הפונקציה:

דרך 1 – גרפית

נשים לב כי

(- e ^0.5 / 8) > (- 8 / e ^0.5 )

( e ^0.5 / 8) < ( 8 / e ^0.5 )

לכן g(x) ו- f(x) נחתכות פעמיים בכל תחום בהם יש להן נקודת קיצון:

סה”כ ניתן לראות שהן נחתכות 6 פעמים.

דרך 2 – חיתוך עם ישר

g (x) = f (x)

1/ f(x) = f (x)

1 = f ² (x)

f (x) = ± 1

נשים לב כי

8 * e ^{– 0.5} > 1

– 8 * e ^{– 0.5} < – 1

נסתכל בגרף של f(x):

נמצא פונקציה קדומה G(x).

הדרך היחידה שאנחנו יודעים לפתור באמצעותה אינטגרל כזה היא באמצעות הנוסחה-

נרצה ליצור במונה ביטוי שהוא הנגזרת של המונה.

כאשר כיוונו לנגזרת-

הגענו לביטוי המתאים לנוסחה, לכן הפונקציה הקדומה G(x):