בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 581 קיץ 2019

סעיף א

סכום העוגות ששתי המכונות עשו ביום הראשון 320 עוגות

סעיף ב

0.6

סעיף ג1

28 עוגות

סעיף ג2

קיבלנו מספרים לא שלמים עבור שתי המכונות ולכן התשובה היא לא.

נסמן:
t הזמן שעבדו המכונות ביום הראשון.
x מספר העוגות שעושה מכונה א בשעה.
y מספר העוגות שעושה מכונה א בשעה.

על פי המשפט “ביום הראשון יצרה מכונה 1 80 עוגות יותר ממכונה 2”
המשוואה היא:
tx = ty + 80
(משוואה ראשונה)

עבור היום השני נבנה טבלה.
בעזרת הטבלה ננסה לבנות משוואה על פי המשפט “ביום השני זמן העבודה של מכונה 2 ארוך פי 25/9 מזמן העבודה של מכונה 1”.
כלומר, על מנת לבנות משוואה עלינו לדעת את זמני העבודה של המכונות ביום השני.

אם נכפיל פי 25/9 את זמן העבודה של מכונה 2 נקבל את זמן העבודה של מכונה אחד.

נכפיל במכנה המשותף שהוא x*y ונקבל:
2.77ty² = tx²
2.77y² = x²
x,y הם גדלים חיוביים, לכן ניתן להוציא שורש בצורה הזו מבלי להתחשב באפשרות שהם שליליים.
1.66y = x
y = 0.6x

על מנת לבנות משוואה נציב את מה שקיבלנו במשוואה הראשונה:
tx = ty + 80
t * 1.66y = ty + 80
0.66ty = 80
ty = 120

tx = ty +80 =200.
תשובה: סכום העוגות ששתי המכונות עשו ביום הראשון 320 עוגות.

הזמן שמכונה אחת מייצרת עוגה אחת מכונה 2 מייצרת 0.6 עוגות.
28.2 = 0.6 * 47
תשובה: 28 עוגות.

היחס בין כמות העוגות של מכונה אחת לכמות העוגות של מכונה 2 הוא 1:0.6
במספרים שלמים היחס המצומצם הוא 5:3
5x   הוא מספר העוגות שמכונה א עושה.
3x  הוא מספר העוגות שמכונה ב עושה.
3x + 5x = 26
8x = 26
x = 3.25

5x = 16.25
3x = 9.75
קיבלנו מספרים לא שלמים עבור שתי המכונות ולכן התשובה היא לא.

הביעו את המשוואה

a₇ * a₃= 1

באמצעות a₅ ו q.

נשתמש במה שמצאנו עבור a₅  כדי להביע את a₁

שלב ראשון
נביע את a_n באמצעות q.
על ידי הצבת מה שמצאנו בסעיף הקודם.

שלב שני
נשתמש בכך ש:

a₅ = 1.

נביע את המשוואה שקיבלנו באמצעות a₁, q שהם המשתנים שאנו עובדים איתם לאורך כל התרגיל ונקבל

כמו כן ניתן להציב במשוואה את הקשר הידוע לנו בין a₁, q ולבדוק אם מתקבל n אפשרי.

a₁ מובע באמצעות q לכן אין בעיה להביע גם את שאר איברי הסדרה.

a₅ = 1
ומשני צדדיו איברים הופכיים.
נחפש עד איזה n ניתן למצוא איברים הופכיים.

סעיף א

a₅ = 1  או   a₅ = -1

סעיף ב1

a₁ = 1 / q⁴

סעיף ב2

a₉  = q⁴

סעיף ב3

אין איבר המקיים את זה

סעיף ג1

סעיף ג2

k = 9

a₇ * a₃= 1

אנו מעוניינים למצוא את a₅ לכן נציג את המשוואה בעזרת a₅.

a₅² = 1
a₅ = 1  או   a₅ = -1

a₅ = 1

אנו יודעים כי:
a₁ * q⁴ = 1
a₁ = 1 / q⁴

האם מתקיים:

בסדרה הנדסית מתקיים:

a₉ = a₅ * q⁴ = q⁴
a₉  = q⁴

נביע את המשוואה שקיבלנו באמצעות a₁, q שהם המשתנים שאנו עובדים איתם לאורך כל התרגיל ונקבל

נציב את הערך של a₁ שאותו אנו יודעים במשוואה על מנת לצמצם משתנים:

a₁ = 1 / q⁴

n – 5 = -8
n = -3
זה לא אפשרי, לכן אין איבר המקיים את זה.

אנו יודעים כי:
a₁ = 1 / q⁴
מכך נוכל לדעת את כל 7 האיברים (משמאל לימין).

אנו רואים כי:
a₄ * a₆ = 1
a₃ * a₇ = 1
a₂ * a₈ = 1
a₁ * a₉ = 1

עבור a₁₀ אין מספר שניתן להכפיל בו ולקבל 1.

כמו כן זו סדרה הנדסית אינסופית. החל מ a₁₀ האיברים קטנים ואין להם מספר הופכי שמכפלתם יחד תיתן 1-.

לכן k = 9.

יש שתי דרכים שנטע תנצח במשחק כולו.
צריך לחשב את ההסתברות של כל אחת מיהן ולחבר.

דרך אחת מחשבים בעזרת ברנולי, את הדרך השנייה אין חובה.

יש שלוש דרכים שנטע תנצח במשחק כולו.
צריך לחשב את ההסתברות של כל אחת מיהן ולחבר.

זו הסתברות מותנית. וההסתברות שאנו מחפשים היא:

סעיף א1

ההסתברות שנטע תנצח היא 1/9

סעיף א2

8/27

סעיף ב

137/729

סעיף ג

0.649

ההסתברות שנטע תנצח במשחק כולו היא סכום שתי הסתברויות:

1. ההסתברות שנטע תנצח 3 פעמים ( ברנולי של 3 מתוך 4 והתוצאה 8/81).
2. ועוד ההסתברות שנטע תנצח 4 פעמים (מחשבים בעזרת התרגיל (1/81) = ⁴ (1/3))

נחשב את שתי ההסתברויות הללו:

1.ההסתברות שנטע תנצח 3 מתוך 4 (מחושבת בעזרת ברנולי)
4 הוא המקדם הבינומי.
(1/3) ההסתברות להצלחה.

2.ההסתברות שנטע תנצח 4 פעמים

את ההסתברות הזו ניתן לחשב בדרך קצרה יותר מברנולי.
1/3 היא ההסתברות לנצחון יחיד.
לכן ההסתברות ל 4 נצחונות היא:

ההסתברות שנטע תנצח היא סכום שתי ההסתברויות הללו

תשובה: ההסתברות שנטע תנצח היא 1/9.

ההסתברות שיהיה תיקו היא ההסתברות שנטע תנצח 2 מתוך 4 משחקים.

נחשב בעזרת ברנולי:
6 הוא המקדם הבינומי.
1/3 זו ההסתברות להצלחה.

ההסתברות הזו מורכבת מ 3 הסתברויות

1.נטע תנצח תוך 4 משחקים (בלי הארכה)
1/9 זו ההסתברות שחישבנו בסעיף א.

2.תתרחש הארכה ואז נטע תנצח ב 3 משחקים

8/27 זו ההסתברות להארכה.
לכן ההסתברות המבוקשת היא:

3.תתרחש הארכה ואז נטע תנצח ב 2 משחקים

8/27 זו ההסתברות להארכה.
נחשב בנפרד את ההסתברות שנטע תנצח 2 מ 3 משחקים לאחר הארכה:

3 המקדם הבינומי
1/3  ההסתברות להצלחה:

ההסתברות שתהיה הארכה ואז נטע תנצח 2 מ 3 היא מכפלת ההסתברויות.

ההסתברות שנטע תנצח עם או בלי הארכה היא סכום שלושת ההסתברויות:

,תשובה: (137/729) זו ההסתברות שנטע תנצח.

נזכיר כי ההבדל בין היום הראשון לשני הוא שביום השני יש אפשרות להארכה.

ההסתברות שאנו צריכים לחשב בסעיף זה היא:

סיכום הנתונים מהסעיפים הקודמים
1/9  ההסתברות לנצח ביום הראשון.
8/9 ההסתברות להפסיד ביום הראשון.

137/729  ההסתברות לנצח ביום השני
592/729  ההסתברות להפסיד ביום השני.

נחשב את שתי הדרכים שבהם נטע תנצח בדיוק ביום אחד
1.תנצח ביום הראשון ותפסיד בשני.
0.09 = (592/729) * (1/9)

2.תפסיד בראשון ותנצח בשני:
0.167 = (137/729) * (8/9).

הסתברות שהיא תנצח בדיוק ביום אחד היא:

0.09 + 0.167 = 0.257

נחשב את ההסתברות המבוקשת:

תשובה: אם ידוע שהיה ניצחון יחיד ביומיים אז ההסתברות שהניצחון היה ביום השני היא 0.649.

על מנת ליצור משוואה עלינו לחפש משולשים הכוללים את הצלעות המבוקשות ואז למצוא את הקשר בין המשולשים הללו.

במקרה זה המשולשים הם:

ΔGTM ∼ ΔMGL

והקשר הוא דמיון משולשים.

הדמיון מזוהה ביתר קלות כאשר מעבירים את הרדיוס MG שיוצר זווית ישרה עם המשיק בנקודת ההשקה.

על ידי חפיפת משולשים ניתן להוכיח כי:
KL = 2ML

ומשם לפתור את התרגיל.

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

סעיף ב1

הוכחה

סעיף ב2

סעיף ג

יחס ההיקפים לא יכול להיות קטן מ:

4 / π

נתחיל עם הוכחת דמיון: ΔGTM ∼ ΔMGL

כעת נשתמש ביחס הדמיון:

TG * LM = MG²

נעביר את המיתר EM, ונוכיח חפיפת משולשים: ΔMEK ≅ ΔMGL:

כעת נבטא את ML בעזרת r ו-a ואז את KL בעזרת ML:

TG * LM = MG² הוכחתי בסעיף הקודם

1.מכוון שסכום צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל שווה זה לזה.
וגם קטע אמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.

אז אם נוכיח ש KL הוא קטע אמצעים בטרפז אז הוכחנו את המבוקש BC = KL.

2. דרך ההוכחה ש KL הוא קטע אמצעים היא כך:
KL מקביל לבסיסים זה ברור.
ML הוא קטע אמצעים בטרפז HICB כי הוא יוצא מאמצע HI, מקביל לבסיסים וגם HICB הוא טרפז.

לכן L היא אמצע BC ולכן KL הוא קטע אמצעים בטרפז ABCD.

ראשית נוכיח כי HBIC הוא טרפז ו-ML הוא קטע אמצעים בו

כעת נמצא את הקשר בין ML ו-BC, ונשתמש בקשר שמצאנו בין KL ו-ML בסעיף הקודם כדי להוכיח KL = BC:

היקף הטרפז הוא:

P_ABCD = AB + CD + BC + AD

מתכנות קטע אמצעים נקבל:

2BC = 2KL = AB + CD

בנוסף נציב BC = AD ונקבל:

ראשית נמצא את היחס בין היקף הטרפז להיקף המעגל.

את היקף הטרפז מצאנו בסעיף הקודם.

היקף המעגל, לפי נוסחה, הוא:

P = 2πr

כדי שיחס ההיקפים יהיה קטן מ

4 / π

צריך להתקיים:

r / a < 1

בסעיף א 1 הוכחתי:

∠MTG = 90°

לכן במשולש ΔMTG הצלע TG = a היא ניצב והצלע MG = r היא היתר.

היתר תמיד גדול משני הניצבים במשולש, לכן r / a > 1

לכן יחס ההיקפים לא יכול להיות קטן מ:

4 / π

סעיף א

סעיף ב1

הוכחה

סעיף ב2

∠MCK = 14.47°

סעיף ג

S_ACF = 0.28a²

סעיף א (לסעיף זה הסבר מקוצר)

אם זה היה מעגל חוסם משולש היינו מחשבים את רדיוס המעגל החוסם משולש על ידי משפט הסינוסים מבלי לשרטט את הרדיוס.

מכוון שכאן יש לנו מעגל חסום עלינו לשרטט את הרדיוס על מנת למצוא אותו ולבטא אותו.

עלינו ליצור משולש שבו ניתן לחשב את הרדיוס.

נזכור כי מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של חוצה הזווית.

לכן נעביר את שני חוצה הזווית AM, DM ואת הרדיוס ME.

המשולש AMD שווה שוקיים כי זווית הבסיס שלו שוות (השתמשנו בכך שזוויות המעוין הן 60,120 וגם שהאלכסונים חוצה זווית)

לכן ME תיכון ולכן AE = 0.5a.

מכאן אנו יכולים למצוא את ME = r.

r = ME = AE * tan∠MAE
= 0.5a * tan30 =
0.5a * √3 / 6 = √3a / 6

פתרון מלא לסעיף א באמצעות חפיפת משולשים (ארוך יותר ולא הכרחי):

ראשית נוכיח חפיפת משולשים: ΔAME ≅ ΔDME

לפי סכום זוויות במשולש 180:

∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180°

2X = 180 – 60 = 120  /  : 2

x = 60°

∠ABD = ∠ADB = 60°

כעת נוכל לבטא את רדיוס המעגל בעזרת a:

AE = MD = 0.5AD = 0.5a לפי צלעות מתאימות שוות במשולשים חופפים, הצבה

∠MAE = 30°

ME ⊥ AE הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

לפי טריגונומטריה במשולש ישר זווית ΔAME:

R = ME = AE * tan∠MAE =
0.5a * tan30 = 0.5a * √3 / 6 =
√3a / 6

לזווית A יכול להיות רק חוצה זווית אחד.

AM הוא חוצה זווית כי מרכז המעגל החסום במשולש ABD הוא נקודת המפגש של חוצה הזווית.

AC הוא חוצה זווית כי אלכסוני המעוין הם חוצה זווית.

ומכוון ש AC ארוך יותר מ- AM הנקודה M נמצאת על חוצה הזווית AC.

נראה כאן (בקיצור) שתי דרכי פתרון לתרגיל.

דרך אחת היא על ידי זיהוי תכונה ומשפט.
דרך שנייה ללא זיהוי התכונות ועל ידי חישוב ארוך יותר.

דרך ראשונה: עם זיהוי

הקדמה
ראשית מכוון שזה סעיף ב2, זה רמז חזק שסעיף ב1 שימושי לסעיף זה.

כלומר : הנקודה M נמצאת על האלכסון AC זה חלק משמעותי מהפתרון.

והרבה פעמים כאשר מדברים על נקודות על אלכסון בצורה ממשפחת המקביליות אנו נשתמש בתכונות הפרופורציה של האלכסון.

דבר חשוב: נשים לב שמשולש BDA הוא משולש שווה צלעות כי שלושת זוויותיו הן 60.

לכן חוצה הזווית הם גם תיכונים.

והנקודה M היא נקודת המפגש של התיכונים.

לכן מכוון ש MG = r.
אז AM = 2r.

וגם AG = 3r.
כלומר אורך אלכסון המעוין הוא 3r.

דבר חשוב: נעביר את בניית העזר MK.

מדוע אנו מעבירים אותה?

כי אנו צריכים למצוא את הזווית ACF.

ומה מיוחד ב CF?
זה שיש נקודת השקה בנקודה K.
ולכן עלינו לנצל את מה שמיוחד בישר CF ונעשה זאת על ידי העברת רדיוס.

קיבלנו את משולש ישר זווית CKM שבו אנו יודעים שתי צלעות.

נמצא את הזווית המבוקשת בדרך הזו:

sin ∠MCK = r / 4r = 0.25
∠MCK = 14.47°

דרך פתרון שנייה:

1.נוכיח שהרדיוס MG מגיע אל נקודת מפגש אלכסוני המעוין.
נעשה זאת על ידי שימוש בעובדה שאלכסוני המעוין מאונכים וגם הרדיוס MG מאונך למשיק BD.

2. נחשב את האורך של CG – במשולש BGC יש מספיק נתונים על מנת לעשות זאת.

3.נחשב את הזווית במשולש MCK – כפי שעשינו בדרך הקודמת.

להוכחה בפירוט:

ראשית נוכיח ש-G (מפגש האלכסונים) היא נק’ ההשקה של BD עם המעגל.

כעת נמצא את גודל GC:

sin∠GBC = GC / BC

GC =BC * sin∠GBC = a * sin60 = √3a / 2

נתון כי CF משיק למעגל, לכן:

MK ⊥ CF כי הרדיוס מאונך למשיק בנק’ ההשקה

לכן נסתכל על המשולש ΔMKC ונציב את הגדלים הידועים לנו:

∠ACF = 14.47°

נזכור שבסעיף א מצאנו את הקשר בין a ל r

r = √3a / 6

לכן אנו יכולים להביע באמצעות r ואז לעבור להגדרה באמצעות a.

פתרון

על מנת לחשב את שטח המשולש אנו כבר יודעים צלע אחת:

AC = 6r

עלינו למצוא עוד צלע, נוכל למצוא צלע נוספת במשולש ACF:

על פי משפט הסינוסים במשולש נוכל לחשב:

FC = 2.544r

לכן שטח המשולש הוא:

S_ACF = AC * FC * sin 14.47
6r * 2.544r * 0.225 = 3.44r²

נציב:

r = √3a / 6

S_ACF = 3.44r² = 3.44 * 3a² / 36
0.28a²

סעיף א1

x ≥ 1 או x ≤ -2

סעיף א2

הוכחה

סעיף א3

y = 0.5

y = -0.5

סעיף א4

נקודות החיתוך עם הצירים: ( 0, 1 ) , ( 0 , 2- ).

סעיף א5

הפונקציה תהיה חיובית עבור x ≥ 1 .

סעיף ב1

סעיף ב2

a = -1

סעיף ג1

הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה ולכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

סעיף ג2

סעיף ד

2.15

הביטוי בתוך השורש צריך להיות חיובי
נבדוק כי הביטוי שבתוך השורש חיובי:
x² + x – 2 ≥ 0
( x – 1 ) ( x + 2 ) ≥ 0
x ≥ 1 או x ≤ -2

המכנה צריך להיות שונה מ 0
נבדוק כי המכנה של הפונקציה שונה מאפס:
2x – a ≠ 0
x ≠ 0.5a
נתון כי:

 – 4 < a < 2

:נחלק את הביטוי ב-2 ונקבל

 – 2 < 0.5a < 1
– 2 < x < 1

כלומר כאשר x נמצא בטווח הערכים הזה יש סכנה שהמכנה יתאפס.

אך למעלה מצאנו כי תחום זה ממלא לא נמצא בתחום ההגדרה כי בתחום זה הביטוי בתוך השורש שלילי.

לכן תחום ההגדרה הוא:
x ≥ 1 או x ≤ -2

כפי שהסברנו בסעיף הקודם, תחום ההגדרה שלנו הוא : x ≥ 1 או x ≤ -2 .

אסימפטוטה אנכית יכולה להתקיים רק בנקודה מדויקת בה הפונקציה אינה מוגדרת.
למשל אם תחום ההגדרה הוא x > 3.
אז x = 3 יכולה להיות אסימפטוטה אנכית.

לפונקציה זו אין נקודה מדויקת בקצה תחום ההגדרה לכן אין לפונקציה אסימפטוטה אנכית.

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף:
במונה: x – 2 זניחים ביחס ל x²
במכנה: a זניח ביחס ל 2a.

עבור מציאת אסימפטוטה אופקית נבדוק 2 מקרים:

1.  ∞ → x

y = 0.5
אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

2. ∞ – → x

y = -0.5
אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף למינוס אינסוף.

חיתוך עם ציר ה y
x = 0 אינו בתחום ההגדרה ולכן אין חיתוך עם ציר y.

חיתוך עם ציר ה x
נציב y = 0 למציאת חיתוך עם ציר x:

הפונקציה שווה ל 0 כאשר מונה השבר שווה ל 0.

הביטוי בתוך השורש צריך להיות שווה ל 0.

x² + x – 2 = 0
( x – 1 ) ( x + 2 ) = 0
x = -2, x = 1

לסיכום: נקודות החיתוך עם הצירים: ( 0, 1 ) , ( 0 , 2- ).

נבדוק מתי f(x) > 0

המונה תמיד יהיה חיובי, לכן נותר לבדוק את סימני המכנה:

2x – a > 0
x > 0.5a

מאחר וידוע כי :

 – 2 < 0.5a < 1

ותחום ההגדרה הוא : x ≥ 1 או x ≤ -2

הפונקציה תהיה חיובית עבור x ≥ 1 .

אנו מעוניינים למצוא את נקודות הקיצון.
שבר שווה ל 0 כאשר מונה השבר שווה ל 0.

נשווה את המונה לאפס ונקבל:

-2(a+1)x + 8 – a = 0
2(a+1)x = 8 – a

2(a+1) = 0
a = -1

נציב a = -1 בפונקציה ונקבל:

וגם נקבל את הנגזרת:

מונה הנגזרת חיובי תמיד.
המכנה מורכב מ:

• 2 חיובי תמיד.
• שורש – חיובי בכל תחום ההגדרה.
• ביטוי בחזקת 2 – חיובי בתחום ההגדרה.

לכן גם המכנה חיובי תמיד.

הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה ולכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

לכן

ניתן לראות שהמונה הוא הנגזרת הפנימית של המכנה.

לכן יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.

נשתמש בנוסחה:

ונקבל:

2*√18 – 2*√10
8.48 – 6.32 = 2.15

תלמידי אוניברסיטה לומדים את שיטת ההצבה ויכולים לפתור את התרגיל גם כך:

נשתמש בשיטת ההצבה:

( x² + x – 2 ) = t

( 2x + 1 )dx = dt
dx / dt = ( 2x + 1 )

:ונציב גבולות בהתאמה

עבור x = 3:
t = 9 + 3 – 2 = 10

עבור x = 4:
t = 16 + 4 – 2 = 18

נציב את הכל ונפתור:

סעיף א1

הפונקציה זוגית

סעיף א2

חיתוך עם ציר x:

(0 , π) , (0 , 0) , (π , 0-)

חיתוך עם ציר y היא (0 , 0)

סעיף א3

הוכחה

סעיף א4

הנגזרת היא פונקציה אי זוגית

סעיף ב1

הוכחה

סעיף ב2

יש 3 נקודות בהן f ‘ (x) = 0

סעיף ג1

נק’ מינימום: x = -π , x =0 , x = π

נק’ מקסימום: x = -2.46 , x = 2.46

סעיף ג2

סעיף ד1

סעיף ד2

שתי נקודות פיתול

לצורך בדיקת זוגיות/אי זוגיות הפונקציה נציב x- בפונקציה ונבדוק את הקשר לביטוי הפונקציה:

f(x) = x³ * sinx

f(-x) = (-x)³ * sin(-x) = -x³ * (-sinx) = x³ * sinx = f(x)

מתקיים f(x) = f(-x) , לכן הפונקציה זוגית

למציאת החיתוך עם ציר x נשווה את הפונקציה ל-0:

f(x) = x³ * sinx = 0

מכאן יוצאות שתי אפשרויות:

1. x³ = 0
2. sinx = 0

עבור x³ = 0:

x = 0

עבור sinx = 0:

sinx = 0

x₁ = 0 + 2πk

x₂ = π + 2πk

עבור k = -1:

x₁ = -2π מחוץ לתחום

x₂ = -π בתחום

עבור k = 0:

x₁ = 0 בתחום

x₂ = π בתחום

עבור k = 1:

x₁ = 2π מחוץ לתחום

x₂ = 3π מחוץ לתחום

למציאת החיתוך עם ציר y נציב x = 0:

f(0) = 0³ * sin0 = 0

תשובה סופית:

חיתוך עם ציר x:

(0 , π) , (0 , 0) , (π , 0-)

חיתוך עם ציר y היא (0 , 0)

הפונקציה היא מכפלה בין שני ביטויים. כדי שהפונקציה תהיה שלילית צריך שאחד הביטויים יהיה שלילי והשני חיובי.

בתחום הנתון, sinx < 0 עבור:

-π < x < 0

בתחום זה x שלילי, לכן גם x³ שלילי, לכן הפונקציה עצמה היא חיובית כי היא מכפלה של שני ביטויים שליליים.

בתחום הנתון, sinx ≥ 0 עבור:

0 ≤ x ≤ π

בתחום זה x הוא אי שלילי, לכן גם x³ אי שלילי, לכן הפונקציה עצמה היא מכפלה בין שני גורמים חיוביים, לכן חיובית.

ראשית נגזור את הפונקציה:

f(x) = x³ * sinx

הנגזרת היא נגזרת מכפלה:

f ‘ (x) = 3x² * sinx + x³ * cosx

כעת נציב בנגזרת x- :

f ‘ (-x) = 3(-x)² * sin(-x) + (-x)³ * cos(-x) = -3x² * sinx – x³ * cosx = -(3x² * sinx + x³ * cosx) = -f ‘ (x)

מתקיים: f ‘ (-x) = -f ‘ (x)

לכן הנגזרת היא פונקציה אי זוגית

ניקח את הנגזרת מסעיף קודם ונשווה לאפס:

f ‘ (x) = 3x² * sinx + x³ * cosx = 0  / -x³ * cosx

3x² * sinx = -x³ * cosx  / : cosx , : 3x²

sinx / cosx = -x³ / 3x²

נשתמש בזהות:

sinx / cosx = tanx

tanx = -x / 3

לפי הסעיף הקודם, f ‘ (x) = 0 כאשר מתקיים:

tanx = -x / 3

לפי הגרף יש לשתי הפונקציות 3 נקודות חיתוך, לכן יש 3 נקודות בהן f ‘ (x) = 0

בסעיף א 4 הוכחנו שהנגזרת היא פונקציה אי זוגית, לכן אם:

f ‘ (2.46) = 0

אז מתקיים:

f ‘ (-2.46) = -0 = 0

מצאנו שתי נקודות בהן הנגזרת שווה אפס. לפי הסקיצה המצורפת, ניתן לראות שהנקודה השלישית היא x = 0.

ניתן למצוא את העובדה שהנקודה השלישית היא x = 0 גם לפי אי זוגיות של הנגזרת. בפונקציה אי זוגית מתקיים g(0) = 0.

נבנה טבלה לבדיקת תחומי עלייה/ירידה של הפונקציה.

למרות שנתון לנו ש- x = 2.46 היא נק’ קיצון, אנו עדיין צריכים לוודא את סוגה, לכן נכליל גם אותה בטבלה.

מכיוון שתחום ההגדרה כולל את הקצוות, הם גם יהיו נק’ קיצון. נכלול גם אותם בטבלה:

נציב ערך x עבור כל תחום בנגזרת כדי לבדוק חיוביות/שליליות:

יש לשים לב כי המחשבון על רדיאנים!

f ‘ (x) = 3x² * sinx + x³ * cosx

f ‘ (-3) = 3(-3)² * sin(-3) + (-3)³ * cos(-3) = 22.91 > 0

f ‘ (-1) = 3 * (-1)² * sin(-1) + (-1)³ * cos(-1) = -3.06 < 0

הוכחנו בסעיף א 4 שהנגזרת אי זוגית, לכן:

f ‘ (1) = -f ‘ (-1) = -(-3.06) = 3.06 > 0

f ‘ (3) = -f ‘ (-3) = -22.91 < 0

נק’ מינימום: x = -π , x =0 , x = π

נק’ מקסימום: x = -2.46 , x = 2.46

נאסוף את הנתונים הידועים לנו על הפונקציה:

פונקציה זוגית

חיתוך עם ציר x:

(0 , π) , (0 , 0) , (π , 0-)

חיתוך עם ציר y היא (0 , 0)

פונקציה אי שלילית

נק’ מינימום: x = -π , x =0 , x = π

נק’ מקסימום: x = -2.46 , x = 2.46

להלן סקיצת הפונקציה בתחום:

ניקח מהטבלה בסעיף ג 1 את תחומי החיוביות/שליליות של הנגזרת:

תחומי חיוביות:

-π < x < -2.46 , 0 < x < 2.46

תחומי שליליות:

-2.46 < x < 0 , 2.46 < x < π

לכן סקיצת הנגזרת תראה כך:

כאשר יש לנגזרת הראשונה נק’ קיצון פנימית, לפונקציה תהיה נקודת פיתול.

לכן לפונקציה יהיו לפחות שתי נקודות פיתול.

סעיף א1

תחום הגדרה f(x):

0 ≤ x ≤ 7

תחום הגדרה g(x):

x ≤ 7

סעיף א2

x_D = 2 , x_B = 7

סעיף ב1

נפח מקסימלי – a = 1.62

סעיף ב2

נפח מינימלי- a = 1

נתחיל עם f(x):

צריך שהביטוי בתוך השורש יהיה אי שלילי, לכן נפתור את אי השוויון:

-x² + 7x ≥ 0

x(7 – x) ≥ 0

x(7 – x) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 7

המקדם של x² שלילי לכן סקיצת הפרבולה היא:

לכן אי השוויון מתקיים עבור:

0 ≤ x ≤ 7

וזה תחום ההגדרה של f(x).

כעת נמצא את תחום ההגדרה עבור g(x):

הביטוי בתוך השורש צריך להיות אי שלילי, לכן נפתור את אי השוויון:

14 – 2x ≥ 0  / + 2x

14 ≥ 2x  / : 2

x ≤ 7

תחום הגדרה:

x ≤ 7

תשובה סופית:

תחום הגדרה f(x):

0 ≤ x ≤ 7

תחום הגדרה g(x):

x ≤ 7

כדי למצוא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך בין הפונקציות B,D נפתור:

-x² + 7x = 14 – 2x  / + x² – 7x

x² – 9x + 14 = 0

(x – 2)(x – 7) = 0

x₁ = 2 , x₂ = 7

נציב בפונקציה המקורית ונראה כי שתי התשובות נכונות.

רואים בסקיצה הנתונה כי x_D < x_B , לכן:

x_D = 2 , x_B = 7

נתון כי:

1 ≤ a ≤ 2

לכן בהכרח הנפח מתחיל לפני הנקודה D ומסתיים לאחר הנקודה D.

את חישוב הנפח נחלק ל 2:

הנפח הירוק: נוצר על יד f(x) מ a ועד 2.

הנפח הכחול: נוצא על ידי g(x) מ 2 ועד a + 1.

חישוב הנפח מסיבוב השטח הירוק

הנפל הכחול:

נחשב את הנפח המשותף:

למציאת נק’ הקיצון נגזור את g(a) על פי המשתנה a ונשווה את הנגזרת לאפס:

g ‘ (a) = πa² – 9πa + 12π = 0  / : π

a² – 9a + 12 = 0

נפתור בעזרת מחשבון ונקבל:

a₁ = 0.5 * (9 + √33) = 7.37

נפסל כי לא בתחום הנתון של a

a₂ = 0.5 * (9 – √33) = 1.62

חשודה כקיצון

נציב בנגזרת a עבור כל אחד מהתחומים:

g ‘ (a) = πa² – 9πa + 12π = π(a² – 9a + 12)

g ‘ (1.5) = π(1.5² – 9 * 1.5 + 12) = 0.75π > 0

g ‘ (1.8) = π(1.8² – 9 * 1.8 + 12) = -0.96 < 0

עבור a = 1.62 מתקבל נפח מקסימלי.

עבור a = 2 , a = 1 יש נק’ מינימום. נציב ערכים אלה בפונקציה כדי לבדוק מתי מתקבל המינימום המוחלט של הפונקציה:

8.16π < 9π

לכן הנפח המינימלי מתקבל עבור a = 1

תשובה סופית:

נפח מקסימלי – a = 1.62

נפח מינימלי- a = 1

1.

הידע למקם את a לפני נקודת המפגש, ואת a + 1 לאחר נקודת המפגש.

ולפצל את האינטגרל לשני חלקים הוא בעיניי עיקר השאלה.

2.

כיצד מחשבים נפח בעזרת אינטגרל הוא גם כמובן הכרחי.

3.

לזכור את נקודות הקיצון בקצוות.