אינטגרלים נפח

בדף זה נעבור על הנוסחאות לחישוב נפח.
נלמד שני סוגים של חישוב נפח:

  1. נפח הנמצא בין פונקציה לבין ציר ה x.
  2. נפח הנמצא בין שתי פונקציות.

בכל המקרים מדובר על הדבר הבא:

בין פונקציה לציר ה x (או בין שתי פונקציות) נוצר שטח.
כאשר מסובבים את את השטח השטח הזה סביב ציר ה x נוצר גוף שיש לו נפח.
את הנפח של גוף זה נלמד לחשב בדף זה.

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

תרגילים מהבגרות הכוללים חישוב נפח

קיץ 2019 שאלה 8 (בעיית קיצון)

תשובות סופיות

סעיף א1

תחום הגדרה f(x):

0 ≤ x ≤ 7

תחום הגדרה g(x):

x ≤ 7

סעיף א2

xD = 2 , xB = 7

סעיף ב1

נפח מקסימלי – a = 1.62

סעיף ב2

נפח מינימלי- a = 1

פתרון סעיף א1

נתחיל עם f(x):

צריך שהביטוי בתוך השורש יהיה אי שלילי, לכן נפתור את אי השוויון:

-x² + 7x ≥ 0

x(7 – x) ≥ 0

x(7 – x) = 0

x1 = 0 , x2 = 7

המקדם של x² שלילי לכן סקיצת הפרבולה היא:

לכן אי השוויון מתקיים עבור:

0 ≤ x ≤ 7

וזה תחום ההגדרה של f(x).

כעת נמצא את תחום ההגדרה עבור g(x):

הביטוי בתוך השורש צריך להיות אי שלילי, לכן נפתור את אי השוויון:

14 – 2x ≥ 0  / + 2x

14 ≥ 2x  / : 2

x ≤ 7

תחום הגדרה:

x ≤ 7

תשובה סופית:

תחום הגדרה f(x):

0 ≤ x ≤ 7

תחום הגדרה g(x):

x ≤ 7

פתרון סעיף א2

כדי למצוא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך בין הפונקציות B,D נפתור:

-x² + 7x = 14 – 2x  / + x² – 7x

x² – 9x + 14 = 0

(x – 2)(x – 7) = 0

x1 = 2 , x2 = 7

נציב בפונקציה המקורית ונראה כי שתי התשובות נכונות.

רואים בסקיצה הנתונה כי xD < x, לכן:

xD = 2 , xB = 7

פתרון סעיף ב 1+2

נתון כי:

1 ≤ a ≤ 2

לכן בהכרח הנפח מתחיל לפני הנקודה D ומסתיים לאחר הנקודה D.

את חישוב הנפח נחלק ל 2:

הנפח הירוק: נוצר על יד f(x) מ a ועד 2.

הנפח הכחול: נוצא על ידי g(x) מ 2 ועד a + 1.

חישוב הנפח מסיבוב השטח הירוק

הנפל הכחול:

  

למציאת נק’ הקיצון נגזור את g(a) על פי המשתנה a ונשווה את הנגזרת לאפס:

g ‘ (a) = πa² – 9πa + 12π = 0  / : π

a² – 9a + 12 = 0

נפתור בעזרת מחשבון ונקבל:

a1 = 0.5 * (9 + √33) = 7.37

נפסל כי לא בתחום הנתון של a

a2 = 0.5 * (9 – √33) = 1.62

חשודה כקיצון

a = 2 1.62 < a < 2 a = 1.62 1 < a < 1.62 a = 1 תחום
g ‘ (a)
g(a)

נציב בנגזרת a עבור כל אחד מהתחומים:

g ‘ (a) = πa² – 9πa + 12π = π(a² – 9a + 12)

g ‘ (1.5) = π(1.5² – 9 * 1.5 + 12) = 0.75π > 0

g ‘ (1.8) = π(1.8² – 9 * 1.8 + 12) = -0.96 < 0

a = 2 1.62 < a < 2 a = 1.62 1 < a < 1.62 a = 1 תחום
-0.96 < 0 0.75π > 0 g ‘ (a)
מינימום יורדת מקסימום עולה מינימום g(a)

עבור a = 1.62 מתקבל נפח מקסימלי.

עבור a = 2 , a = 1 יש נק’ מינימום. נציב ערכים אלה בפונקציה כדי לבדוק מתי מתקבל המינימום המוחלט של הפונקציה:

8.16π < 9π

לכן הנפח המינימלי מתקבל עבור a = 1

תשובה סופית:

נפח מקסימלי – a = 1.62

נפח מינימלי- a = 1

 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *