אינטגרלים נפח

סעיף א1

תחום הגדרה f(x):

0 ≤ x ≤ 7

תחום הגדרה g(x):

x ≤ 7

סעיף א2

x_D = 2 , x_B = 7

סעיף ב1

נפח מקסימלי – a = 1.62

סעיף ב2

נפח מינימלי- a = 1

נתחיל עם f(x):

צריך שהביטוי בתוך השורש יהיה אי שלילי, לכן נפתור את אי השוויון:

-x² + 7x ≥ 0

x(7 – x) ≥ 0

x(7 – x) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 7

המקדם של x² שלילי לכן סקיצת הפרבולה היא:

לכן אי השוויון מתקיים עבור:

0 ≤ x ≤ 7

וזה תחום ההגדרה של f(x).

כעת נמצא את תחום ההגדרה עבור g(x):

הביטוי בתוך השורש צריך להיות אי שלילי, לכן נפתור את אי השוויון:

14 – 2x ≥ 0  / + 2x

14 ≥ 2x  / : 2

x ≤ 7

תחום הגדרה:

x ≤ 7

תשובה סופית:

תחום הגדרה f(x):

0 ≤ x ≤ 7

תחום הגדרה g(x):

x ≤ 7

כדי למצוא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך בין הפונקציות B,D נפתור:

-x² + 7x = 14 – 2x  / + x² – 7x

x² – 9x + 14 = 0

(x – 2)(x – 7) = 0

x₁ = 2 , x₂ = 7

נציב בפונקציה המקורית ונראה כי שתי התשובות נכונות.

רואים בסקיצה הנתונה כי x_D < x_B , לכן:

x_D = 2 , x_B = 7

נתון כי:

1 ≤ a ≤ 2

לכן בהכרח הנפח מתחיל לפני הנקודה D ומסתיים לאחר הנקודה D.

את חישוב הנפח נחלק ל 2:

הנפח הירוק: נוצר על יד f(x) מ a ועד 2.

הנפח הכחול: נוצא על ידי g(x) מ 2 ועד a + 1.

חישוב הנפח מסיבוב השטח הירוק

הנפל הכחול:

  

למציאת נק’ הקיצון נגזור את g(a) על פי המשתנה a ונשווה את הנגזרת לאפס:

g ‘ (a) = πa² – 9πa + 12π = 0  / : π

a² – 9a + 12 = 0

נפתור בעזרת מחשבון ונקבל:

a₁ = 0.5 * (9 + √33) = 7.37

נפסל כי לא בתחום הנתון של a

a₂ = 0.5 * (9 – √33) = 1.62

חשודה כקיצון

a = 2	1.62 < a < 2	a = 1.62	1 < a < 1.62	a = 1	תחום
					g ‘ (a)
					g(a)

נציב בנגזרת a עבור כל אחד מהתחומים:

g ‘ (a) = πa² – 9πa + 12π = π(a² – 9a + 12)

g ‘ (1.5) = π(1.5² – 9 * 1.5 + 12) = 0.75π > 0

g ‘ (1.8) = π(1.8² – 9 * 1.8 + 12) = -0.96 < 0

a = 2	1.62 < a < 2	a = 1.62	1 < a < 1.62	a = 1	תחום
	-0.96 < 0		0.75π > 0		g ‘ (a)
מינימום	יורדת	מקסימום	עולה	מינימום	g(a)

עבור a = 1.62 מתקבל נפח מקסימלי.

עבור a = 2 , a = 1 יש נק’ מינימום. נציב ערכים אלה בפונקציה כדי לבדוק מתי מתקבל המינימום המוחלט של הפונקציה:

8.16π < 9π

לכן הנפח המינימלי מתקבל עבור a = 1

תשובה סופית:

נפח מקסימלי – a = 1.62

נפח מינימלי- a = 1