נתון כי:
1 ≤ a ≤ 2
לכן בהכרח הנפח מתחיל לפני הנקודה D ומסתיים לאחר הנקודה D.
את חישוב הנפח נחלק ל 2:
הנפח הירוק: נוצר על יד f(x) מ a ועד 2.
הנפח הכחול: נוצא על ידי g(x) מ 2 ועד a + 1.

חישוב הנפח מסיבוב השטח הירוק


הנפל הכחול:

למציאת נק’ הקיצון נגזור את g(a) על פי המשתנה a ונשווה את הנגזרת לאפס:
g ‘ (a) = πa² – 9πa + 12π = 0 / : π
a² – 9a + 12 = 0
נפתור בעזרת מחשבון ונקבל:

a1 = 0.5 * (9 + √33) = 7.37
נפסל כי לא בתחום הנתון של a
a2 = 0.5 * (9 – √33) = 1.62
חשודה כקיצון
a = 2 |
1.62 < a < 2 |
a = 1.62 |
1 < a < 1.62 |
a = 1 |
תחום |
|
|
|
|
|
g ‘ (a) |
|
|
|
|
|
g(a) |
נציב בנגזרת a עבור כל אחד מהתחומים:
g ‘ (a) = πa² – 9πa + 12π = π(a² – 9a + 12)
g ‘ (1.5) = π(1.5² – 9 * 1.5 + 12) = 0.75π > 0
g ‘ (1.8) = π(1.8² – 9 * 1.8 + 12) = -0.96 < 0
a = 2 |
1.62 < a < 2 |
a = 1.62 |
1 < a < 1.62 |
a = 1 |
תחום |
|
-0.96 < 0 |
|
0.75π > 0 |
|
g ‘ (a) |
מינימום |
יורדת |
מקסימום |
עולה |
מינימום |
g(a) |
עבור a = 1.62 מתקבל נפח מקסימלי.
עבור a = 2 , a = 1 יש נק’ מינימום. נציב ערכים אלה בפונקציה כדי לבדוק מתי מתקבל המינימום המוחלט של הפונקציה:


8.16π < 9π
לכן הנפח המינימלי מתקבל עבור a = 1
תשובה סופית:
נפח מקסימלי – a = 1.62
נפח מינימלי- a = 1