אינטגרלים נפח

בדף זה נעבור על הנוסחאות לחישוב נפח.
נלמד שני סוגים של חישוב נפח:

1. נפח הנמצא בין פונקציה לבין ציר ה x.
2. נפח הנמצא בין שתי פונקציות.

1.נפח המוגבל בין פונקציה לבין ציר ה x

כאשר הפונקציה נמצאת רק מעל או רק מתחת לציר ה x בין הנקודות a,b

כאשר מסובבים גרף של פונקציה מסביב לציר ה x נוצר נפח של גוף סיבוב.
את הנפח מהנקודה A שעל הפונקציה ועד הנקודה B שעל הפונקציה ניתן לחשב על ידי הנוסחה:

כאשר הפונקציה נמצאת גם מעל וגם מתחת לציר ה x

כאשר הפונקציה נמצאת גם מעל ציר ה x וגם מתחת לציר ה x עדיין מחשבים את הנפח באותה צורה ולא מתחשבים בכך שחלק נמצא מעל ציר ה x וחלק מתחת.

הנפח של הפונקציה הבאה מ A ועד C (האזור המקווקו) מתקבל על ידי הנוסחה:

ואין צרך לפצל את החישוב לשני תחומים.

2.נפח המוגבל בין שתי פונקציות

בחלק זה נלמד 3 סוגים של חישוב נפח:

1. כאשר פונקציה אחת נמצאת מעל אחרת בין שתי נקודות.
2. כאשר הפונקציות נחתכות ואין פונקציה אחת שנמצאת תמיד מעל השנייה.
3. כאשר שתי הפונקציות נמצאות מתחת לציר ה x.

1.כאשר פונקציה אחת נמצאת מעל אחרת בין שתי נקודות

כאשר נתונות שתי פונקציות.
(f(x
(g(x
והפונקציה (f(x )(באדום) נמצאת מעל הפונקציה (g(x (בשחור) בין הנקודות A,B אז הנפח שבין שתי הפונקציות בין הנקודות הללו הוא:

במידה ומעוניינים ניתן לחשב נפח של גוף בנפרד ואז לחסר את הנפחים.
כפי שרואים בנוסחה זו:

השטח המחושב בנוסחאות הללו הוא השטח המקווקו למטה.

2.כאשר הפונקציות נחתכות ואין פונקציה אחת שנמצאת תמיד מעל השנייה

אם אנחנו רוצים לחשב נפח המוגבל בין שתי פונקציות (f(x ו (g(x ובין שתי הנקודות a ו c.
אבל אין פונקציה אחת הנמצאת לאורך כל הדרך מעל השנייה.

במקרה זה צריך לפצל את חישוב הנפח לשני תחומים.

עבור השרטוט הבא:

חישוב הנפח בין a ל c מתקבל על ידי הנוסחה:

3. חישוב נפח בין שתי הפונקציות הנמצאות מתחת לציר ה x ואחת תמיד מעל השנייה

במקרה זה יש שתי אפשרויות:

1. נחסר את שתי הפונקציות ונשים את הביטוי כולו בערך מוחלט. כך לא משנה לנו מה היא הפונקציה התחתונה ומה העליונה.

או

2.או שניקח את הפונקציה הרחוקה מציר ה x ונחסר ממנה את הפונקציה הקרובה לציר ה x

עוד באתר:

• אינטגרלים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.