פתרון בגרות 471 חורף 2024

סעיף א

ק”ג S = 0.9

סעיף ב

4.606 ק”ג

סעיף ג1

1.74%

סעיף ג2

348 תינוקות

סעיף ד

המשקל הממוצע הוא 3.534 ק”ג

לפי טבלת התפלגות נורמלית שבדף הנוסחאות:

ולכן סטיית התקן היא 0.9 ק”ג.

לפי טבלת התפלגות נורמלית שבדף הנוסחאות:

ולכן משקלו של אורי הוא 4.606 ק”ג

ולכן אחוז התינוקת הנולדים במשקל נמוך מאוד בעיר זו הוא 1.74%

נכפיל את ההסתברות שתינוק יולד במשקל נמוך מאוד שחישבנו בסעיף הקודם במספר התינוקות שנולדו בעיר זו בשנה מסוימת:

0.0174 • 20,000 = 348

ולכן על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית נולדו 348 תינוקות במשקל נמוך מאוד בשנה זו.

לפי טבלת התפלגות נורמלית שבדף הנוסחאות:

ולכן המשקל הממוצע של התינוקות בעיר שבה נולד שחר הוא 3.534 ק”ג

סעיף א1

הממוצע של אחוז הילדים באותן מדינות הוא 21.5545.

סעיף א2

סטיית התקן של אחוז הילדים באותן מדינות היא 8.86.

סעיף ב

ולכן אחוז הילדים במדינה הוא 16.3%.

סעיף ג

לא

נציב את הנתונים במשוואת ישר הרגרסיה:

נשווה בין המשוואות:

הממוצע של אחוז הילדים באותן מדינות הוא 21.5545.

נציב את הנתונים בנוסחת שיפוע ישר הרגרסיה m:

סטיית התקן של אחוז הילדים באותן מדינות היא 8.86.

המשתנה x מייצג את אחוז הגידול השנתי באוכלוסיה ולכן אם גודל האוכלוסיה נשאר קבוע אז x = 0

ולכן נציב x = 0 במשוואת ישר הרגרסיה ונמצא את y שהוא אחוז הילדים במדינה:

y = 11.3 • 0 + 16.3

y = 16.3

ולכן אחוז הילדים במדינה הוא 16.3%.

אם נציב x = 2 במשוואת ישר הרגרסיה נקבל:

y = 11.3 • 2 + 16.3

y = 38.9

אבל לא נתון לנו שהמדינה היא אחת מ-12 המדינות המשתתפות במחקר ולכן לא ניתן להסיק שאחוז הילדים במדינה זו הוא בדיוק 38.9.

סעיף א

סעיף ב 1

סעיף ב 2

סעיף ג

נבנה דיאגרמת עץ:

ההסתברות המבוקשת היא של ענף 2:

תשובה: 17/40.

חישוב בעזרת הסתברות משלימה

האפשרות לקלוע פעם אחת לפחות היא המשלימה להחטיא 2 פעמים.

חישוב בדרך נוספת

ההסתברות המבוקשת היא סכום הענפים 2,3,4.

סעיף א

y = 0.5x + 8

סעיף ב

A (4,0)

B (- 16,0)

C (- 1, 10)

D (4,10)

סעיף ג1

∠ABD = 26.565°

סעיף ג2

∠BCD = 146.3º

סעיף ד

F (9,10) או F (-11,10)

נתון שהאלכסון BD מאונך לאלכסון AC ולכן:

m_BD • m_AC = – 1

m_BD • – 2 = – 1

m_BD = 0.5

נמצא את נקודת החיתוך בין שני הישרים M.

הנקודה נמצאת על ציר ה y ולכן בנקודה x = 0.

נציב x = 0 במשוואת AC כדי למצוא את M:

y = -2x + 8

y = -2 • 0 + 8

y = 8

M (0,8)

נמצא את משוואת הישר BD:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 8 = 0.5 (x – 0)

y = 0.5x + 8

משוואת הישר BD היא y = 0.5x + 8.

נקודה A:

נקודה זו היא נקודת החיתוך עם ציר ה-x של הישר AC.

לכן נציב y = 0 במשוואת AC:

y = -2x + 8

0 = -2x + 8

2x = 8

x = 4

A (4,0)

נקודה B:

נקודה זו היא נקודת החיתוך עם ציר ה-x של הישר BD.

לכן נציב y = 0 במשוואת BD:

0 = 0.5x + 8

– 0.5x = 8

x = – 16

B (- 16,0)

נקודה D:

נתון שAD לציר ה x ולכן לנקודה A ולנקודה D יש את אותו ערך x,

נציב את ערך ה-x בנקודה A שהוא 4 במשוואת BD על מנת למצוא את ערך ה-y של הנקודה D:

y = 0.5x + 8

y = 0.5 • 4 + 8

y = 10

D (4,10)

CD מקביל לAB, (כלומר לציר ה-x) ולכן לנקודות D ו-C יש את אותו ערך y,

לכן נציב y = 10 במשוואת AC על מנת למצוא את ה-x של הנקודה C:

y = -2x + 8

10 = – 2x + 8

2x = – 2

x = – 1

C (-1, 10)

על מנת למצוא את זווית ABD נחשב את AB ו-AD ולאחר מכן נחשב את הזווית באמצעות tan במשולש ABD:

מציאת זווית BCD

הזווית הזו לא שייכת למשולש ישר זווית ומורכב יותר למצוא אותה.
נראה כמה דרכים. למצוא אותה.

דרך ראשונה: על ידי שימוש בסעיף הקודם ופיצול הזווית

∠BDC = ∠ABD = 26.565

ולכן במשולש ישר זווית CMD.

∠DCM = 180 – 90 – 26.565 = 63.435

נותר לנו לחשב את זווית BCM.

ולשם כך נחשב 2 מהצלעות במשולש ישר זווית BCM.

M (0,8)

C (-1, 10)

B (- 16,0)

MC = √[(0 – -1)² + (8 – 10) ² ] = √5

MB = √[(0 – -16)² + (8 – 0) ² ] = √320

∠ BCM = 82.874°

נחשב את הזווית המבוקשת:

∠BCD =  82.874 + 63.435 = 146.31

דרך נוספת: על ידי משפט הקוסינוסים.

הנקודות B,C,D ידועות לנו, לכן ניתן לחשב את האורך של שלושת הצלעות ולחשב את

על מנת למצוא את זווית BCD נמצא את BD, CD ו-BC

ולאחר מכן נחשב את הזווית BCD באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש BCD:

משפט פיתגורס במשולש ABD:

נוסחת דיסטנס:

משפט הקוסינוסים במשולש BCD:

דרך שלישית: על ידי בניית עזר ופיצול

נוריד גובה מהקודקוד C ל-AB ונסמן את נקודת החיתוך ביניהם ב-E

CD || BE כי CD מקביל לציר ה-x. ולכן זווית ECD שווה לזווית CEA שוות ל-90º משום שמדובר בזוויות חד צדדיות.

נחשב tan במשולש BCE:

נחבר את הזוויות על מנת למצוא את הזווית BCD:

∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 56.3º + 90º = 146.3º

נעביר את הגובה אל הצלע המקבילה לצירים במשולש – הצלע CD.

אורך הגובה הוא כערך ה y של הנקודה C – שהוא 10.

CD = 5

לכן שטח המשולש הוא:

S_BCD = 0.5 * 10 * 5 = 25

תשובה: שטח המשולש 25 יחידות ריבועיות.

אורך הגובה לצלע CF שווה לאורך הגובה לצלע CD (זה אותו גובה).

לכן כדי ששטח משולש BFC יהיה כפול גודל הצלע אליה מגיע הגובה צריך להיות כפול.

CF = 2CD = 2 * 5 = 10

מכוון ש CF הוא ישר מקביל לציר ה x ההבדל בין הנקודות C,F הוא רק בערכי x.

אם הנקודה F נמצאת משמאל ל C אז:

-1 – 10  = -11

F (-11, 10)

אפשרות שנייה ( לא ביקשו בשאלה)

הנקודה F נמצאת מימין ל C ואז היא:

-1 + 10  = 9

F (9, 10)

סעיף א

16.67

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג1

הוכחה

סעיף ג2

R = 5

סעיף ד

x² + (y – 5)² = 25

סעיף ה

כן, מרכז המעגל החוסם את הדלתון הוא (2.5 ,5)

נמצא את הנקודות A,B

הנקודה A נמצאת על ציר ה-y ולכן נציב x = 0 במשוואת המשיק על מנת למצוא אותה:

4 • 0 + 3y = 40

3y = 40

y = 13.33

A (0 , 13.33)

הנקודה B נמצאת על ציר ה-x ולכן נציב y = 0 במשוואת המשיק על מנת למצוא אותה:

4x + 3 • 0 = 40

4x = 40

x = 10

B (10 , 0)

נמצא את אורך AB:

נשתמש ביחס הדמיון כדי לחשב את הרדיוס.

וכדי שנוכל למצוא צלע עלינו לדעת 3 צלעות אחרות.

נחשב קודם את AD, AO ו-BO:

מיחס הדמיון של המשולשים מהסעיף הקודם:

x_m = 5 – 0 = 5

y_m = 0

M (0 , 5)

R = 5 מהסעיף הקודם

נציב במשוואת המעגל:

הוכחנו בסעיף ג1:

∠O = ∠D = 90°

ואם במרובע יש זוג צלעות נגדיות שסכומן 180º אז המרובע הוא בר חסימה במעגל ולכן הדלתון MDBO הוא בר חסימה במעגל.

  הוא ישר זווית וידוע שקוטר נשען על זווית ישרה ולכן ΔOBM

BM הוא קוטר, מרכז המעגל נמצא באמצע הקוטר ולכן נמצא את אמצע הקטע BM:

ולכן מרכז המעגל החוסם הוא (2.5 , 5)

סעיף א

x = 0 – max

סעיף ב

עלייה: x < 0 ו-x ≠ – 4

ירידה: x > 0 ו-x ≠ 4

סעיף ג

הביטוי השלישי

סעיף ד

(0 , 1) (√8 , 0) (-√8 , 0)

סעיף ה

סעיף ו

1/3

כאשר לנגזרת יש נקודת חיתוך עם ציר x לפונקציה המקורית יש נקודת קיצון.

לכן שיעור ה-x של נקודת הקיצון הוא 0 .

משמאל לנקודת הקיצון הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

מימין לנקודת הקיצון הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

ולכן x = 0 קיצון מסוג מקסימום.

כאשר הנגזרת חיובית הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת.

כאשר x < 0 ו-x ≠ – 4 הנגזרת חיובית ולכן בתחום זה הפונקציה עולה.

כאשר x > 0 ו-x ≠ 4 הנגזרת שלילית ולכן בתחום זה הפונקציה יורדת.

נזהה למה שואף השבר הבא כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

לכן לפונקציות 1,3 יש אסימפטוטה y = 2.

פונקציה 1 מוגדרת לכל x לכן נפסלת.

לפונקציה 3 תחום הגדרה כמבוקש, לכן היא הפונקציה.

נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים על ידי הצבת x=0 ו-y=0:

(0 , 1)

השטח המבוקש מסומן באדום.

מכוון שהשטח נמצא מתחת לציר ה x נוסיף סימן מינוס.

סעיף א

x ≤ 5

סעיף ב

(0 , 0) (0 , 5)

סעיף ג

(0 , 0) min

(2√min (4 , 16

(0 , 5) min

סעיף ד

סעיף ה

c = 2.63

-2x + 10 ≥ 0

-2x ≥  -10 / : -2

x ≤ 5

נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים על ידי הצבת x=0 ו-y=0:

על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:

שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0:

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = 0 , x = 4 , x = 5

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-1) = -25

f ‘ (2) = 20

f ‘ (4.5) = -11.25

נציב x = 4 בפונקציה המקורית בעזרת המחשבון על מנת למצוא את ערך ה-y:

2√f (4) = 16

(0 , 0) min

(2√min (4 , 16

(0 , 5) min

על מנת שגרף הפונקציה g (x) ישיק לישר y = 20 הוא צריך להשיק לאחת מנקודות הקיצון משום ששיפוע הישר הוא 0.

ה y של נקודת הקיצון היחידי שרלוונטי הוא:

22.63 = 2√y = 16

מכיוון ש c הוא פרמטר חיובי.

לכן c = 2.63 על מנת שהערך ה-y ירד ל-20.

סעיף א

x = 1

y = 2

סעיף ב

A ( -2 , 5)

סעיף ג

שטח המלבן הוא 9.

אסימפטוטה האנכית

x = 1 מאפס את המכנה ובנוסף לא מאפס את המונה.

לכן זו אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה האופקית

y = 2 משום שכאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף מכנה השבר שואף לאינסוף ומונה השבר נשאר 9.

לכן 9 חלקי מספר ששואף לאינסוף שווה ל-0.

נוסיף את האיבר החופשי 2 ונקבל y = 2 אופקית.

נסמן את ה-x של הנקודה A בתור t , t יהיה קטן מ-0 כי הוא ברביע 2.

נציב את ה t בפונקציה על מנת לקבל את ערך ה-y של הנקודה A.

ונבנה פונקציה שמייצגת את היקף המלבן ולאחר מכן נגזור אותה ונשווה ל-0:

שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0:

הנקודה החשודה לקיצון היא t = -2

נציב בעזרת המחשבון בנגזרת:

14- = (3-) ‘P

10 = (1-) ‘P

נציב t = -2 בעזרת המחשבון בפונקציה המקורית על מנת למצוא את ערך ה-y של A:

5 = (P (-2

(min A (-2 , 5

אורך המלבן:

1 – (-2) = 3

רוחב המלבן:

5 – 2 = 3

שטח המלבן:

3 • 3 = 9