בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 482 קיץ 2020

בדף זה הצעה לפתרון בגרות 4 יחידות שאלון 482 קיץ 2020 מועד א.

השאלון עצמו לא מופיע בדף ויש להורידו מהאינטרנט.

שאלה 1:

 

 

תרגיל 1

פתרון

סעיף א:

דרך הפתרון היא הצבה של n = 1 בנוסחאות האיבר הכללי שקיבלנו.

נציב n = 1 בנוסחאות הנתונות:

a_n = -8n + 5
a₁ = -8*1 +5
a₁ = -3

b_n = -4n + 3
b₁ = -4*1 + 3
b₁ = -1

סעיף ב:

דרך הפתרון היא לבטא את c_n באמצעות המשוואה שקיבלנו.
ואת c_{n+ 1}  באמצעות c_n  ואז מוכיחים שההפרש  c_n+1 – c_n לא תלוי ב n (כלומר לא תלוי במיקום האיבר).

1.נמצא ביטוי ל – c_n ו c_n+1

c_n = a_n + b_n
c_n = -8n + 5 – 4n + 3
c_n = 8 – 12n

לכן:

c_n+1 = 8 – 12(n + 1)
c_n+1 = -4 – 12n

2.על מנת להוכיח כי מדובר בסדרה חשבונית נראה כי ההפרש – c_n+1 – c_n הוא קבוע ואינו תלוי ב – n:

c_n+1 – c_n = -4 – 12n – ( 8 – 12n)
c_n+1 – c_n = -12

מכיוון שההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע, מדובר בסדרה חשבונית, שהפרשה הוא d = -12.

3.על מנת למצוא את האיבר הראשון בסדרה c נציב n = 1 בנוסחה:

c_n = 8 – 12n
c₁ = 8 – 12*1
c₁ = -4

תשובה:
d = -12
c₁ = -4

סעיף ג:

דרך הפתרון היא מציאת הנעלם k בסדרה a ואז חישוב c_k בעזרת הנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית:

1.נציב a_k = -75 בנוסחת האיבר הכללי הנתונה של a_n על מנת למצוא את k:

a_n = -8n + 5
-75 = -8k + 5
-8k = -80
k = 10

2.נמצא את סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה c_n.

ניעזר בנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית:

נציב:
d = -12
c₁ = -4

S₁₀ = 5(2*-4 + 9*-12)
S₁₀ = -580

תשובה:
S₁₀ = -580

שאלה 2:

 

סעיף א:

דרך הפתרון: ידועות לנו שתי צלעות, SA = 3a,  AC = 4a.
נחפש משולש הכולל את הצלעות הידועות (או חלקן) ואת הגובה המבוקש.

פתרון

1. מכיוון שמדובר בפרמידה ישרה, הגובה SO פוגש את מישור הבסיס בנקודת מפגש האלכסונים.
2. האלכסונים במלבן חוצים זה את זה לכן:
   AO = OC = 2a

נתבונן במשולש AOS:

נשתמש במשפט פיתגורס:

AO² + OS² = AS²
(2a)² + OS² = (3a)²
4a² + OS² = 9a²
OS² = 5a²
OS = √5*a

תשובה:
OS = √5*a

 

סעיף ב:

חלק 1:

דרך הפתרון היא שימוש בפונקציית הקוסינוס במשולש ABC.

נתבונן במשולש ABC:

נשתמש בפונקציית הקוסינוס:

0.5AC = AB
AB = 0.5*4a
AB = 2a

תשובה:
AB = 2a

 

חלק 2:

דרך הפתרון היא:

1. מציאת האורך של OE באמצעות שימוש בתכונות קטע אמצעים במשולש ABC.
2. שימוש במשפט פיתגורס במשולש SOE.

נתבונן שוב במשולש ABC,

1. הנקודה E היא אמצע הקטע BC מכיוון מכיוון ש -SE הוא גובה במשולש שווה שוקיים SBC
2. מאמצע הקטע AC (הנקודה O) נעביר קטע לאמצע BC (הנקודה E).
3. OE הוא קטע אמצעים, ישר היוצא מאמצע צלע אחת לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.

אורך קטע האמצעים שווה למחצית אורך הבסיס לכן:
OE = 0.5AB
OE = a

נתבונן במשולש SOE:

נשתמש במשפט פיתגורס:

OS² + OE² = SE²
SE² = (√5*a)² + a²
SE² = 6a²
SE = √6*a

תשובה:
SE = √6*a

סעיף ג:

דרך הפתרון היא שימוש בפונקציית הטנגנס במשולש SOE

נתבונן שוב במשולש SOE:

נשתמש בפונקציית הטנגנס:
נסמן את הזווית בין OE ל -SE כ- β, זווית זו היא בעצם הזווית בין מישור הבסיס ל – SE:

tan(β) = √5
β = tan^-1(√5)
β = 65.905

תשובה:
β = 65.905

סעיף ד:

נראה כי המשולשים SOE ו – SOG חופפים:

1. SO – צלע משותפת לשני המשולשים.
2. הזוויות SOG ו SOE שתיהן ישרות מכיוון ש – SO מאונך למישור הבסיס של הפרמידה.
3. OE = OG מכיוון ש – O היא מרכז המלבן ABCD.

לכן המשולשים חופפים (משפט חפיפה צלע זווית צלע)

השלם שווה לסכום חלקיו לכן:

S_SGE = S_SOE + S_SOG
S_SGE = 2S_SOE

נחשב את  שטח המשולש SOE:

0.5*S_SOE = √5*a*a*0.5 = √5*a²

S_SGE = 2S_SOE = √5*a²

S_SGE = 2*√5*a²*0/5
S_SGE = √5*a²

נציב S_SGE = √80:

S_SGE = √5*a²
√80 = √5*a²
a² = √16
a² = 4

a = 2   או   a = -2.

תשובה: a מייצג צלע ולכן גודלו חיובי, התשובה השלילית נפסלת.
a = 2

 

שאלה 3:

סעיף א:

חלק 1:

1.נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון:

f(x) = cos(x) + 0.5cos(2x)
f ‘ (x) = -sin(x) -0.5*2*sin(2x)
f ‘ (x) = -sin(x) – sin(2x) = 0

נשתמש בזהות:
sin(2x) = 2sin(x)*cos(x)

f ‘ (x) = -sin(x) – sin(2x) = 0
f ‘ (x) = -sin(x) – 2sin(x)*cos(x) = 0
sin(x)*(1 + 2cos(x)) = 0

נקבל שתי אופציות לפתרון:

אופציה 1:
sin(x) = 0
x = πk

נציב k = 0:
x = πk
x = 0

נציב k = 1:
x = πk
x = π

אופציה 2:

1 + 2cos(x) = 0
cos(x) = -0.5

נשתמש בזהות:
cos (a) = cos (-a)

ונקבל נקבל שני פתרונות:

x = 2π/3 + 2πk
x = -2π/3 + 2πk

נתבונן בפתרון הראשון:
נציב k = 0:

x = 2π/3 + 2πk
x = 2π/3

נתבונן בפתרון השני:
נציב k = 0:

x = -2π/3 + 2πk
x = -2π/3 (מחוץ לתחום הנתון)

נציב k = 1:

x = -2π/3 + 2πk
x = -2π/3 + 2π
x = 4π/3 (מחוץ לתחום)

לסיכום הנקודות החשודות הן:
x = 0
x = π
x = 2π/3

2.על מנת למלא את הטבלה נציב ערכים הנמצאים בין הנקודות החשודות בנגזרת.

5π/4	π<x<5π/4	π	2π/3<x<π	2π/3	0<x<2π/3	0
		0		0		0	f ‘ (x)
		–					f(x)
							1

 

:0 < x < 2π/3  בתחום 

f ‘ (x) = -sin(x) – sin(2x)
f ‘ (π/3) = -sin(π/3) – sin(2*π/3)
f ‘ (π/3) = -√3/2 – √3/2 < 0

לכן הנגזרת שלילית בתחום זה והפונקציה יורדת.
לכן ב – x = 0 נקודת מקסימום.

: 2π/3 < x < π  בתחום

f ‘ (x) = -sin(x) – sin(2x)
f ‘ (5π/6) = -sin(5π/6) – sin(2*5π/6)
f ‘ (π/3) = -0.5 + √3/2 > 0

לכן הנגזרת חיובית בתחום זה והפונקציה עולה.
לכן ב- x = 2π/3 יש נקודת מינימום

:π < x < 5π/4  בתחום 

f ‘ (x) = -sin(x) – sin(2x)
f ‘ (9π/8) = -sin(9π/8) – sin(2*9π/8)
f ‘ (9π/8) = -0.32 < 0

לכן הנגזרת שלילית בתחום זה והפונקציה יורדת.

לכן ב- x =π יש נקודת מקסימום וב – x = 5π/4 יש נקודת מינימום.

כך נראית הטבלה לאחר המילוי:

5π/4	π<x<5π/4	π	2π/3<x<π	2π/3	0<x<2π/3	0
	–	0	+	0	–	0	f ‘ (x)
	יורדת	-0.5	עולה	-0.75	יורדת	1.5	f(x)
min		max		min		max

3.נציב בפונקציה את ערכי ה- x  של נקודת הקיצון שמצאנו:

x = 0:

f(x) = cos(x) + 0.5cos(2x)
f(0) = cos(0) + 0.5cos(2*0)
f(0) = 1 + 0.5
f(0) = 1.5
לכן נקודת המקסימום היא:
max(0,1.5)

x = 2π/3:

f(x) = cos(x) + 0.5cos(2x)
f(2π/3) = cos(2π/3) + 0.5cos(2*2π/3)
f(2π/3) = -0.5 + 0.5*(-0.5)
f(2π/3) = -0.75
לכן נקודת המינימום היא:
min(2π/3,-0.75)

x = π:

f(x) = cos(x) + 0.5cos(2x)
f(π) = cos(π) + 0.5cos(2π)
f(π) = -1 + 0.5
f(π) = -0.5
לכן נקודת המקסימום היא:
max(π,-0.5)

x = 5π/4:

f(x) = cos(x) + 0.5cos(2x)
f(5π/4) = cos(5π/4) + 0.5cos(2*5π/4)
f(π) = -√2/2 +0
f(π) = -√2/2
לכן נקודת המינימום  היא:
min(5π/4, -√2/2)

תשובה:
max(0,1.5)
min(2π/3,-0.75)
max(π,-0.5)
min(5π/4, -√2/2)

 

חלק 2:

ניעזר שוב בטבלה מהחלק הקודם של הסעיף:

5π/4	π<x<5π/4	π	2π/3<x<π	2π/3	0<x<2π/3	0
	–	0	+	0	–	0	f ‘ (x)
	יורדת	-0.5	עולה	-0.75	יורדת	1.5	f(x)
min		max		min		max

על פי הטבלה תחומי הירידה הם:

 0 < x < 2π/3
π < x < 5π/4

תחומי העליה הם:

2π/3 < x < π

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש במידע שמצאנו בסעיף הקודם.

שיקולים לגרף:

נקודות הקיצון:

max(0,1.5)
min(2π/3,-0.75)
max(π,-0.5)
min(5π/4, -√2/2)

תחומי ירידה:

 0 < x < 2π/3
π < x < 5π/4

תחומי עליה:

2π/3 < x < π

 

סעיף ג:

חלק 1:

על מנת למצוא את המשיק עלינו לדעת שיפוע ונקודה.

הנקודה
נקודת המינימום הפנימית היא:

min(2π/3,-0.75)

השיפוע
בנקודת המינימום הפנימית שיפוע הפונקציה הוא 0 מכיוון שבנקודה זו הנגזרת מתאפסת.

לכן הישר המשיק בנקודה זו הוא ישר בעל ערך y קבוע השווה לערך הפונקציה בנקודה.

לכן משוואת המשיק היא:

y = -0.75

תשובה:
y = -0.75

חלק 2:

דרך הפתרון היא שימוש באינטגרל על מנת למצוא את השטח המבוקש

ראשית נוסיף לשרטוט הקודם את המשיק ונסמן את השטח המבוקש:

נשתמש באינטגרציה על מנת לחשב שטח זה.
גבולות האינטגרציה הם מ – x = 0 עד x = 2π/3:

תשובה:
השטח המוגבל על ידי הפונקציה, המשיק וציר ה – y הוא:

 

שאלה 4

סעיף א1

f(x) = 4x*ln(x)

נדרוש שמה שבתוך ה – ln יהיה גדול מאפס:

x > 0

תשובה:
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x > 0

סעיף א2

דרך הפתרון היא להשתמש בעובדה כי בחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0, ובחיתוך עם ציר x מתקיים y =0.

חיתוך עם ציר ה y
בנקודת החיתוך עם ציר y מתקיים x = 0.
אבל הפונקציה מוגדרת רק עבור ערכיי x המקיימים:
x > 0
לכן אין חיתוך עם ציר y.

חיתוך עם ציר ה x
בחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0, נציב בפונקציה:

f(x) = 4x*ln(x)
4x*ln(x) = 0

נקבל שני פתרונות:

פתרון 1:
4x = 0
x = 0
פתרון זה נפסל מכיוון שהוא נמצא מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה.

פתרון 2:
ln(x) = 0
x = e⁰
x = 1

לכן החיתוך עם ציר x הוא:

(1,0)

תשובה:

חיתוך עם ציר y: אין.

חיתוך עם ציר x:

(1,0)

סעיף א3

1.נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון:

f(x) = 4x*ln(x)

f ‘ (x) = 4ln(x) + 4 = 0
ln(x) + 1 = 0
ln(x) = -1
x = e^-1
זו הנקודה החשודה כקיצון.

2.נציב ערכים הנמצאים בתחומים המתוארים בטבלה על מנת למלא את הטבלה:

x > e-1	e-1	0 < x < e-1	0
	0	–	לא מוגדר	f ‘ (x)
			לא מוגדר	f(x)

 

:0 < x < e^-1

f ‘ (x) = 4ln(x) + 4
f ‘ (e^-2) = 4ln(e^-2) + 4
f ‘ (e^-2) = 4*-2 + 4 = -4 < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

x > e^-1:

f ‘ (x) = 4ln(x) + 4
f ‘ (1) = 4ln(1) + 4
f ‘ (1) = 4 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

מסקנה: לכן בנקודה x = e^-1  יש נקודת מינימום.

הטבלה נראית כך:

x > e-1	e-1	0 < x < e-1	0
+	0	–	לא מוגדר	f ‘ (x)
עולה	-4e-1	יורדת	לא מוגדר	f(x)
	min			1

3.נמצא את ערך ה y של הקיצון

נציב x = e^-1 בפונקציה על מנת למצוא את שיעור ה – y של נקודת המינימום:

f(x) = 4x*ln(x)
f(e^-1) = 4*e^-1*ln(e^-1)
f(e^-1) = -4e^-1

לכן נקודת המינימום היא:
min(e^-1,-4e^-1)

תשובה:
min(e^-1,-4e^-1)

 

סעיף א4

דרך הפתרון היא שימוש במידע שמצאנו בסעיפים הקודמים, כמו כן נשתמש בטבלה על מנת לבדוק האם בנקודה x = 0 יש אסימפטוטה.

שיקולים לגרף:

נקודת קיצון:
min(e^-1,-4e^-1)

תחומי עליה:

x > e^-1

תחומי ירידה:

0 < x < e^-1

נבדוק בעזרת טבלה האם יש אסימפטוטה ב x = 0.

נציב ערכי x שהולכים ומתקרבים ל 0 ונראה כיצד מתנהגת הפונקציה.

0.001	0.0001	0.00001	0	x
?	?	?	לא מוגדר	f(x)

x = 0.001:

f(x) = 4x*ln(x)
f(0.001) = 4*0.001*ln(0.001) = -0.027

x = 0.0001:

f(x) = 4x * ln(x)
f(0.0001) = 4*0.0001*ln(0.0001) = -0.0036

x = 0.00001:

f(x) = 4x*ln(x)
f(0.00001) = 4*0.00001*ln(0.00001) = -0.00046

ניתן לראות בעזרת הטבלה שככל שערכיי ה – x מתקרבים לאפס ערך הפונקציה מתקרב לאפס.
לכן מדובר בנקודת אי הגדרה ולא באסימפטוטה.

0.001	0.0001	0.00001	0	x
-0.027	-0.0036	-0.00046	לא מוגדר	f(x)

 

סעיף ב:

חלק 1:

שיקולים לגרף:

g(x) = -2f(x)
לכן g(x) היא תמונת ראי של f(x) סביב ציר x (בגלל סימן המינוס), ומתיחה של f(x) (בגלל ההכפלה ב – 2)

חלק 2:

ראשית נמצא את נקודת הקיצון של g(x).
מכיוון ש – g(x) היא תמונת ראי מתוחה של f(x) סביב ציר x, ומכיוון של – f(x) נקודת מינימום ב – x = e^-1, ל -g(x) נקודת מקסימום ב – x = e^-1.
נציב x = e^-1 ב – g(x), נזכור כי:
f(e^-1) = -4e^-1

g(x) = -2f(x)
g(e^-1) = -2f(e^-1)
g(e^-1) = -2*-4e^-1
g(e^-1) = 8e^-1

לכן נקודת המקסימום של g(x) היא:
max(e^-1,8e^-1)

המרחק בין נקודת הקיצון של f(x) לנקודת הקיצון של g(x)  הוא הפרש שיעורי ה – y (מכיוון ששיעור ה – x זהה בשתי הנקודות):

d = 8e^-1 – (-4e^-1)
d = 12e^-1

תשובה:
המרחק הוא:
d = 12e^-1

 

שאלה 5

סעיף א:

נדרוש שהמכנה של הפונקציה יהיה שונה מאפס:

e^x – 1 ≠ 0
e^x ≠ 1
e^x ≠ e⁰
x ≠ 0

תשובה:
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x ≠ 0

 

סעיף ב:

שאלה זו היא בנושא הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת.

1.מציאת ערך  x של הקיצון
כאשר הנגזרת f ‘ (x) חותכת את ציר ה x זו נקודת קיצון עבור הפונקציה.

לכן x = ln(2) זו נקודת קיצון.

2.זיהוי סוג הקיצון
משמאל לנקודה x = ln(2) הנגזרת שלילית ולכן הפונקציה יורדת.
מימין לנקודה x = ln(2) הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה עולה.

אלו מאפיינים של נקודת מינימום.

3.מציאת ערך y של הקיצון

נציב x = ln(2) על מנת למצוא את שיעור ה y של נקודת המינימום:

לכן נקודת המינימום היא:
min(ln(2),4a)

תשובה:
min(ln(2),4a)

טבלה
זו לא חובה, אבל אם היינו פותרים בעזרת טבלה זה היה נראה כך:

x > ln(2)	ln(2)	0 < x < ln(2)	0	x < 0
+	0	–	לא מוגדר	–	f ‘ (x)
עולה	4a	יורדת	לא מוגדר	יורדת	f(x)
	min

 

סעיף ג:

הרעיון של הפתרון:

שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודת ההשקה.

1.מציאת נגזרת הפונקציה

2.נציב x = ln(3) בנגזרת:

נתון ששיפוע המשיק בנקודה זו הוא 9, לכן גם ערך הנגזרת ב x = ln(3) הוא 9.
זו המשוואה המתאימה:

9a = 36

a = 4

תשובה:
a = 4

סעיף ד1

חיתוך עם ציר ה y
אין חיתוך עם ציר y  מכיוון שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x ≠ 0
ובחיתוך עם ציר y דרוש x = 0.

חיתוך עם ציר x.
בחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0.
נציב f(x) = 0:

e^2x = 0
למשוואה זו אין פתרון מכיוון שלפונקציה מעריכית אין חיתוך עם ציר x.

דרך פתרון נוספת
לפונקציה יש תחום הגדרה יחיד:

בתחום זה יש נקודת מינמים שהיא:
לכן נקודת המינימום היא:
min(ln(2),16)

כלומר הערך הנמוך ביותר של הפונקציה הוא 16, ולכן היא לא חותכת את ציר ה x.

תשובה:
לפונקציה אין חיתוך עם הצירים.

ד 2

אסימפטוטה אנכית

הפונקציה אינה מוגדרת ב – x = 0 מכיוון שבנקודה זו המכנה מתאפס.
המונה אינו מתאפס ב x = 0.

מכיוון שב – x = 0 המכנה מתאפס והמונה לא מתאפס, מדובר באסימפטוטה אנכית.

דרך נוספת לזהות אסימפטוטה אנכית – באמצעות טבלה:

0.001	0.0001	0.00001	0	-0.00001	-0.0001	-0.001	x
4006	40006	400006	לא מוגדר	-399994	-39994.0004	-3994.004	f(x)

נציב את הערכים מהטבלה בפונקציה:

x = -0.001:

x = -0.0001:

x = -0.00001:

ניתן לראות כי כאשר ערכי ה – x מתקרבים לאפס משמאל הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

x = 0.00001:

x = 0.0001:

x = 0.001:

ניתן לראות כי כאשר ערכי ה- x מתקרבים לאפס מימין הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית:
x = 0

תשובה:
האסימפטוטה האנכית היא:
x = 0

סעיף ד3:

שיקולים לגרף:

נקודת מינימום:
min(ln(2),4a)
נציב – a = 4:
min(ln(2),16)

תחומי ירידה:

x < 0
0 < x < ln(2)

תחומי עלייה:

x > ln(2)

הפונקציה אינה חותכת את הצירים.

על פי הטבלה בסעיף הקודם:
כאשר ערכי ה – x מתקרבים לאפס משמאל הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.
כאשר ערכי ה – x מתקרבים לאפס מימין הפונקציה שואפת לאינסוף.

סעיף ה:

דרך הפתרון היא שימוש בגרף הפונקציה ובגרף הנתון של הנגזרת לזיהוי תחומי חיוביות ושליליות.

על פי הגרף מהסעיף הקודם תחום השליליות של f(x) הוא:

x < 0

על פי הגרף הנתון של הנגזרת, תחום השליליות של הנגזרת הוא:

x < 0
0 < x < ln(2)

החפיפה בין תחום השליליות של הפונקציה לתחום השליליות של הנגזרת הוא:
x < 0

דרך פתרון נוספת:
נמצא את תחום השליליות של הפונקציה:

4e^2x(e^x – 1) < 0
e^x – 1 < 0
e^x < 1
x < 0

תחום השליליות של הפונקציה הוא:
x < 0

על פי הגרף הנתון של הנגזרת, תחום השליליות של הנגזרת הוא:

x < 0
0 < x < ln(2)

החפיפה בין תחום השליליות של הפונקציה לתחום השליליות של הנגזרת הוא:
x < 0

תשובה:
x < 0