בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 481 קיץ 2021

נגדיר את המהירות של ארז וקרן כשני משתנים.
עבור כל יום נבנה משוואה וכך נקבל שתי משוואות עם שני נעלמים.

נגדיר כ t את זנן הנסיעה של ארז.
לכן:
t – 0.75  הוא זמן הנסיעה של קרן.

שניהם ביחד עברו 36 קילומטרים, נבנה מכך משוואה.

כמו בסעיף ב, רק שהפעם המרחק שעברו הוא לא 36 קילומטרים.

סעיף א

מהירותה של קרן היא 15 קמ”ש, מהירותו של ארז היא 12 קמ”ש.

סעיף ב

8:45

סעיף ג

8:15

דרך הפתרון היא:

• נגדיר את שתי המהירויות כשני משתנים.
• נבנה מכל יום בה הם נעו משוואה.

פתרון

נגדיר משתנים:
v₁ – מהירותה של קרן

v₂ – מהירותו של ארז

1.עבור יום ראשון:

נתון כי ביום ראשון קרן וארז יצאו ב-7:00 ונפגשו ב-8:20.

20 : 60 = 1 : 3

לכן שניהם רכבו 3 / 4 שעות.

ידוע כי S = T * V , לכן:

המרחק בין הבתים הוא 36.
לכן סכום המרחקים שהם עברו הוא 36.

2.עבור היום השני

נתון כי ארז רכב 21 ק”מ.

לכן נסיק כי קרן רכבה:

15 = 21 – 36

נשים את הנתונים בטבלה:

כדי להשלים את הטבלה נשתמש בנוסחה:

עבור קרן:

T = 15 / v₁

עבור ארז:

T = 21 / v₂

נשלים את הטבלה:

נתון כי קרן יצאה 45 דקות אחרי ארז, לכן זמן נסיעתה יהיה קטן ב-45 דקות מזמן נסיעתו של ארז.

נהפוך את 45 דקות לשעות על ידי חלוקה ב 60:

4 / 3 = 60 / 45

קרן יצאה אחרי, לכן נסעה פחות.
עלינו להוסיף לזמן נסיעתה 3/4 גדי שיהיה שווה לארז.

3.נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים

נבודד את v₁ במשוואה הבאה:

4v₁ + 4v₂ = 108  / :4

v₁ + v₂ = 27

v₁ = 27 – v₂

נציב במשוואה השנייה:

60v₂ + 3v₂(27 – v₂) = 84(27 – v₂)

60v₂ + 81v₂ -6v₂² = 2268 – 84v₂ 

141v₂ – 3v₂² = 2268 – 84v₂    / – 141v₂ + 3v₂²

3v₂² – 225v₂ + 2268 = 0   / : 3

v₂ – 75v₂ + 756 = 0

נקבל שתי אפשרויות פתרון ל v₂:

v₂₍₁₎ = 0.5 * (75 + 51) = 63

v₂₍₂₎ = 0.5 * (75 – 51) = 12

נציב את שני הערכים שמצאנו במשוואה המתארת את v₁.

v₁ = 27 – v₂

v₁₍₁₎ = 27 – 63 = -36

פתרון זה לא אפשרי, כי גודל מהירות חייב לצאת חיובי

v₁₍₂₎ = 27 – 12 = 15

תשובה סופית:

מהירותה של קרן היא 15 קמ”ש, מהירותו של ארז היא 12 קמ”ש.

כזכור מהטבלה בסעיף א, זמן נסיעתו של ארז ביום ב’ הוא:

21 / v₂

נציב את ערך v₂ שמצאנו מהסעיף הקודם:

T = 21 / 12 =  7 / 4

ארז רכב  1.75 שעות.

לכן הוא רכב 1:45 שעות. הוא יצא ב-7:00, לכן הם נפגשו בשעה 8:45

נתחיל בסקיצת התנועה המבוקשת.

החץ הירוק מסמל את הדרך שקרן עשתה והאדום את הדרך שארז עשה:

נגדיר משתנים:

t₁ – זמן הנסיעה של קרן

t₂ – זמן נסיעתו של ארז

בסעיף ב’ מצאנו כי קרן נסעה שלושת רבעי שעה פחות, לכן:

t₂ = t₁ + 0.75

נכין את הטבלה עם הנתונים הידועים לנו:

נשתמש בנוסחה:

S = TV

המרחק בניהם היה 13.5 קילומטר.

לכן סכום הדרכים שעברו + 13.5 שווה 36 קילומטר.

15t₁ + 12(t₁ + 0.75) + 13.5 = 36

15t₁ + 12t₁ + 9 + 13.5 = 36

27t₁ + 22.5 = 36    / – 22.5

27t₁ = 13.5

t₁ = 0.5

קרן רכבה חצי שעה. היא יצאה ב-7:45, ולכן השעה הדרושה היא 8:15

חפשו ישר העובר דרך E ואתם יכולים למצוא את משוואתו.

מצורף עוד רמז לסעיף זה.

ניתן למצוא את משוואת AC וכך למצוא את הנקודה E.

עבור BD יש לנו נקודה ושיפוע.

BEC הוא משולש ישר זווית ואנו יודעים את אורך אחד הניצבים שלו.

סעיף א1

E (0 , 2)

סעיף א2

משוואת BD היא : y = 2x + 2

סעיף ב1

5√BE = 3

סעיף ב2

(8 , 3) B

סעיף ג

(x + 0.5)² + (y – 6)² = 16.25

נמצא את משוואת AC וכך נמצא את הנקודה E.

נתחיל במציאת שיפוע הישר AC.

אלכסוני המעוין מאונכים אחד לשני. מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1- .

מכוון שהשיפוע של BD הוא 2.

אז אם השיפוע של AC הוא m אז מתקיים:

2m = -1   / : 2

m = -0.5

נמצא את משוואת AC על פי שיפוע ונקודה

m = -0.5
C(4,0)

y = mx + b
0 = -0.5 * 4 + b
0 = -2 + b
2 = b

משוואת AC היא:
y = -0.5x + 2

נמצא את הנקודה E בעזרת משוואת הישר AC.

בנקודה E מתקיים y = 0.

0 = -0.5x + 2
0.5x = 2
x = 4

לכן שיעורי הנקודה E הם (2 , 0)

עבור BD יש לנו נקודה ושיפוע.

m = 2
E (0,2)

נמצא את משוואת BD על פי שיפוע ונקודה.

y = mx + b
2 = 2 * 0 + b
b = 2

משוואת BD היא : y = 2x + 2

המרובע ABCD הוא מעוין, לכן אלכסוניו מאונכים.
לכן המשולש BEC הוא משולש ישר זווית. לכן שטחו הוא:

S = 0.5 * BE * EC

את EC ניתן למצוא ולאחר מיכן נציב במשוואת שטח המשולש ונמצא את BE.

1.נמצא את אורך EC בעזרת הנקודות

C(4 , 0) , E(0 , 2)

ונוסחת מרחק בין שתי נקודות:

2.הצבה בנוסחת שטח משולש

נציב את
EC = 2√5
S = 15
בנוסחת שטח המשולש:

S = 0.5 * BE * EC

0.5 * 2√5 * BE = 15   / : √5

5√BE = 3

1.נמצא את ערך ה x של הנקודה B

בסעיף א 2 מצאנו כי משוואת הישר BD היא y = 2x + 2

לכן נקודה B תהיה מהצורה:

(x , 2x + 2)B

כמו כן מצאנו:
E (0,2)

EB = √3*5

נציב את שלושת הנתונים הללו בנוסחת מרחק בין שתי נקודות (האורך של EB):

3√5 = √5x
x = 3

2.נציב במשוואת הישר BD:
y = 2x + 2
y = 2 * 3 + 2 = 8

לכן שיעורי נקודה B הם: (8 , 3)

3.מציאת מרכז המעגל

הזווית E = 90 מעלות.
לכן AB הוא קוטר (על פי המשפט “זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר”).

על מנת למצוא את משוואת המעגל עלינו למצוא את מרכז המעגל – שנמצא באמצע בקוטר, אמצע AB.

לאחר מיכן בעזרת המרחק של המרכז מאחד הקודקודים נמצא את אורך הרדיוס.

מציאת הנקודה A.

C(4 , 0) , E(0 , 2)

לכן על פי נוסחת אמצע קטע.

x_A = -4

y_A = 4

(A( -4, 4

נמצא את מרכז המעגל באמצע AB.

B(3,8)

מרכז המעגל הוא:

(-0.5, 6)

אורך הרדיוס הוא מרחק הנקודה מהנקודה C(-4 , 4) .

r² = (-4 – (-0.5) ]² + (4 – 6)² = 12.25 + 4 = 16.25

לכן משוואת המעגל היא:

(x + 0.5)² + (y – 6)² = 16.25

בעזרת הנתון שמספר הכדורים השחורים גדול פי 3 ממספר הכדורים הלבנים ניתן למצוא את המספר של כל אחד מיהם.

יש 3 דרכים להוציא שני כדורים באותו צבע:

1. הוצאת שני כדורים לבנים
2. הוצאת שני כדורים אדומים
3. הוצאת שני כדורים שחורים

צריך לחשב את ההסתברות של כל אחד מההסתברויות ולחבר.

החישוב דומה לסעיף ב, רק שהפעם זה ללא החזרה וההסתברות משתנה בין ההוצאות.

זו שאלת הסתברות מותנית.

על מנת לחשב אותה עלינו למצוא שתי הסתברויות:

1. ההסתברות שהכדור הראשון לבן והשני בצבע אחר.
2. ההסתברות להוציא שני כדורים בצבע שונה.

את ההסתברות השנייה קל יותר לחשב בעזרת הסתברות משלימה.

זו ההסתברות שעלינו לחשב

סעיף א

0.15 זו ההסתברות להוציא כדור לבן.

סעיף ב

P = 0.385

סעיף ג1

תשובה סופית: ההסתברות להוצאת שני כדורים באותו צבע ללא החזרה היא 0.35.

סעיף ג2

P = 0.206

חישוב מספר הכדורים בקופסא מכל צבע

יש בקופסה 20 כדורים ו-40% מהם אדומים, לכן כמות הכדורים האדומים היא:

0.4 * 20 = 8

8 כדורים אדומים.

כמות הכדורים הלבנים והשחורים(ביחד):
12 = 8 – 20

נתון כי יש פי 3 כדורים שחורים מלבנים. נגדיר משתנה:

x – כמות הכדורים הלבנים

3x – כמות הכדורים השחורים

נבנה משוואה לפי המשתנים שהגדרנו וכמות הכדורים השחורים והלבנים שחישבנו:

x + 3x = 12

4x = 12   / : 4

x = 3

בקופסה יש 3 כדורים לבנים מתוך 20.
לכן ההסתברות להוציא כדור לבן מהקופסה היא:

0.15 = 20 : 3

תשובה: 0.15 זו ההסתברות להוציא כדור לבן.

יש 3 דרכים להוציא שני כדורים באותו צבע:

1. הוצאת שני כדורים לבנים
2. הוצאת שני כדורים אדומים
3. הוצאת שני כדורים שחורים

נחשב את ההסתברויות של כל אחד מהאירועים

נשים לב כי מחזירים את הכדור שהוציאו לקופסה, לכן ההסתברות להוציא כדור בצבע מסוים זהה בהוצאה הראשונה והשנייה.

הוצאת שני כדורים לבנים

בסעיף קודם חישבנו את ההסתברות להוציא כדור לבן(0.15), לכן ההסתברות להוציא שני כדורים לבנים:

P₁ =0.15² = 0.0225

הוצאת שני כדורים אדומים

נתון כי 40% מהכדורים בקופסה אדומים, לכן ההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.4. לכן ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים היא:

P₂ = 0.4² = 0.16

הוצאת שני כדורים שחורים

מספר הכדורים השחורים הוא:

9 = 3 * 3

ההסתברות להוצאת כדור שחור אחד:

0.45 = 20 : 9

לכן ההסתברות להוצאת שני כדורים שחורים:

P₃ = 0.45² = 0.2025

חיבור ההסתברויות

ההסתברות הכוללת היא:

P = P₁ + P₂ + P₃ = 0.0225 + 0.16 + 0.2025 =0.385

בסעיף זה נחשב הוצאה ללא החזרה:

בקופסא יש 20 כדורים.

8 אדומים
3 לבנים.
9 שחורים.

ההסתברות להוציא 2 אדומים ללא החזרה

(לאחר ההוצאה הראשונה נשארו 19 כדורים בקופסא מתוכם 7 אדומים).

ההסתברות להוציא 2 לבנים ללא החזרה

(לאחר ההוצאה הראשונה נשארו 19 כדורים בקופסא מתוכם 2 לבנים).

ההסתברות להוציא 2 שחורים ללא החזרה

(לאחר ההוצאה הראשונה נשארו 19 כדורים בקופסא מתוכם 8 שחורים).

חיבור ההסתברויות

ההסתברות להוציא שני כדורים באותו צבע שווה לחיבור ההסתברויות

P = P₁ + P₂ + P₃ = 0.015 + 0.147 + 0.189 = 0.35

תשובה סופית: ההסתברות להוצאת שני כדורים באותו צבע ללא החזרה היא 0.35.

דרך הפתרון

זו שאלת הסתברות מותנית.

על מנת לחשב אותה עלינו למצוא שתי הסתברויות:

1. ההסתברות שהכדור הראשון לבן והשני בצבע אחר.
2. ההסתברות להוציא שני כדורים בצבע שונה.

זו ההסתברות שעלינו לחשב

פתרון

1.ההסתברות להוציא שני כדורים בצבע שונה

בסעיף הקודם מצאנו כי ההסתברות להוציא שני כדורים באותו צבע היא 0.35.

לכן ההסתברות להוציא צבעים שונים:

1 – 0.35 = 0.65

2.הוצאת כדור לבן וגם כדור שני בצסע אחר

שתי האפשרויות הן:

1. לבן ולאחריו שחור.
2. לבן ולאחריו אדום.

נחשב את שתי ההסתברויות הללו

3.הוצאת לבן ולאחריו שחור.

4.הוצאת לבן ולאחריו אדום

לכן ההסתברות להוציא ראשון לבן ושני בצבע אחר היא:

P = P₁ + P₂ = 0.063 + 0.071 = 0.134

לכן ההסתברות להוצאת כדור לבן בהוצאה ראשונה אם ידוע שהוצאנו שני כדורים בצבעים שונים היא:

P = 0.134 : 0.65 = 0.206

השתמשו בזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.

לסעיף זה שני שלבים:

1. חפיפת משולשים.
2. הוכחת שוויון צלעות על ידי חיסור קטע שווה מקטעים שווים.

דרך הפתרון:

1. נמצא את דמיון המשולשים ΔFME ו- ΔDME
2. נגדיר Mf = x ובאמצעותו נוכל להגדיר את שני חלקי היחס.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

היחס הוא 1.4.

תחילה נוכיח משולשים חופפים: ΔAEB ≅ ΔDFC

כעת נוכיח EC = BF:

דרך הפתרון:

1. נמצא את דמיון המשולשים ΔFME ו- ΔDME
2. נגדיר Mf = x ובאמצעותו נוכל להגדיר את שני חלקי היחס.

פתרון

תחילה נמצא את יחס הדמיון בין המשולשים ΔFME ו- ΔDME

1. AD = BC = 10 – צלעות נגדיות שוות במלבן
2. EC = BF = 3  – הוכח בסעיף הקודם.

EF = BC – (BF + EC) = 10 – (3 + 3) = 4

נמצא את יחס הדמיון בין המשולשים:

נגדיר:
MF = x
ועל פי יחס הדמיון:
MD = 2.5x

DF = MD + MF = 2.5x + x = 3.5x

לכן היחס המבוקש הוא:

תשובה:  היחס הוא 1.4.

דרך הפתרון:

1. נמצא את זווית BAD בעזרת תכונות המקבילית.
2. נשתמש במשפט הקוסינוסים למציאת a.

כך נראים הנתונים במשולש DBC

רמז לפתרון

• בסעיף הקודם מצאנו את זוויות משולש DBC והן יסיעו לנו לפתור את סעיף זה.
• במיוחד הזווית DBC = 15.37 השייכת גם למשולש בו אנו יודעים את השטח.

כך נראים הנתונים במשולש BDE

סעיף א

a = 8

סעיף ב

∠DBC = 15.37^o , ∠BDC = 52.63^o , ∠DCB = 112^o

סעיף ג

דרך הפתרון:

1. נמצא את זווית BAD בעזרת תכונות המקבילית.
2. נשתמש במשפט הקוסינוסים למציאת a.

פתרון

נתחיל במציאת זווית BAD:

כך נראים הנתונים במשולש ABD:

כעת נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ΔABD. נוסחת משפט הקוסינוסים:

BD² = AB² + AD² – 2AB * AD * COS∠DAB

28² = a² + (3a)² – 2 * a * 3a * cos112

784 = 10a² + 2.247a²
784 = 12.247a²   / : 12.247

a² = 64

a₁ = 8 , a₂ = -8

גודל לא יכול להיות שלילי, לכן הפתרון a₂ = -8 לא רלוונטי, לכן התשובה היא:

a = 8

במשולש DBC אנו יודעים 3 צלעות וזווית. לכן ניתן להשתמש במשפט הסינוסים.

כך נראים הנתונים במשולש שבו אנו צריכים למצוא את הזוויות.

נסמן:

∠CBD =x

נתחיל בכך שנבטא את זוויות המשולש ΔBCD בעזרת x. בנוסף, נציב את a שמצאנו למציאת צלעות המקבילית

כעת למציאת x נשתמש במשפט הסינוסים:

x = 52.63

נמצא את הזווית השלישית בעזרת סכום זוויות במשולש:

∠DBC = 180 – 112 – 52.63 = 15.37

תשובה סופית:

∠DBC = 15.37^o , ∠BDC = 52.63^o , ∠DCB = 112^o

• בסעיף הקודם מצאנו את זוויות משולש DBC והן יסיעו לנו לפתור את סעיף זה.
• במיוחד הזווית DBC = 15.37 השייכת גם למשולש בו אנו יודעים את השטח.

כך נראים הנתונים במשולש BDE

תחילה, נמצא את אורך DC

כעת נשתמש בנוסחת שטח משולש ובזוויות שמצאנו למציאת אורך DE. ממנו נחסר את DC למציאת CE

SΔBDE = 0.5 * BD * DE * sin ∠BDC

הצבת גדלים ידועים:

356 = 0.5 * 28 * DE * sin52.63

356 = 11.12 *  DE   / : 11.12

DE = 32

EC = DE – DC = 31.78 – 8 = 24

המשמעות של קיצון ב x = -3 היא שבנקודה זו הנגזרת מתאפסת.

צריך להציב k = 9 ולמצוא מתי המכנה מתאפס.

סעיף א

k = 9

סעיף ב1

x ≠ -6 , x ≠ -2

סעיף ב2

אסימפטוטה אופקית: y = 0

אסימפטוטה אנכית: x = -6,  x = -2

סעיף ב3

מינימום – (4 , 3-)

מקסימום – (1 , 0)

סעיף ב4

סעיף ג

סקיצה IV

המשמעות של קיצון ב x = -3 היא שבנקודה זו הנגזרת מתאפסת.

למציאת הפרמטר נגזור את הפונקציה.

הנגזרת היא נגזרת של מנה.

ב x = -3 ערך הנגזרת מתאפס,
נציב x = -3 בנגזרת ונקבל:

נכפיל את המשוואה פי 9 ונקבל:

9 – k = 0

k = 9

בהצבת k = 9: נקבל את הפונקציה:

ההגבלה היחידה על x היא שהמכנה לא יתאפס, לכן תחום ההגדרה הוא:

x ≠ -6 , x ≠ -2

הערה
בחלק זה יצרנו מהפונקציה מכנה משותף אך זה לא הכרחי.

1.מציאת אסימפטוטות אופקיות:

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף

12 שבמונה זניח לעומת 8x.

8x + 12 שבמכנה זניחים לעומת x²

לכן כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף להיות ערך השבר הבא:

כאשר x שואף לאינסוף המונה והמכנה שואפים לאינסוף.

אבל החזקה על המשתנה שבמכנה גדולה יותר מבמונה (2 לעומת 1) ולכן המכנה שואף “חזק” יותר לאינסוף והשבר כולו שואף ל 0.

ולכן y = 0 זו אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

הסבר בדרך נוספת לאסימפטוטה אופקית

כאשר x שואף לאינסוף:

כאשר x שואף למינוס אינסוף:

לכן האסימפטוטה האופקית היא y = 0

2.מציאת אסימפטוטות אנכיות:

x = -6 , x = -2 מאפסים את המכנה. נציב אותם במונה לבדוק אם הם מאפסים את המונה:

x = – 6:

8 * (-6) + 12 = -36

x = -2:

4- = 12 + (2-) * 8

שני הערכים לא מאפסים את המונה, לכן אלו שתי אסימפטוטות אנכיות.

תשובה סופית:

אסימפטוטה אופקית: y = 0

אסימפטוטה אנכית: x = -6,  x = -2

נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0 למציאת נק’ חשודות לקיצון:

נכפיל במכנה המשותף ונקבל:

(x + 6)² = 9(x + 2)²

x² + 12x + 36 = 9x² + 36x + 36    / – x² – 12x – 36

8x² + 24x = 0

8x(x + 3) = 0

x₁ = 0 , x₂ = -3

אלו שני הערכים החשודים כקיצון.

כך נראית הטבלה לפני שממלאים אותה.

נבדוק את ערכי הנגזרת בסביבת הערכים החשודים כקיצון:

כך נראית הטבלה לאחר שמילאנו אותה:

לפונקציה יש נקודות קיצון ב: x₁ = 0 , x₂ = -3.

נמצא את ערכי ה y של נקודות הקיצון:

נקודות קיצון:

מינימום – (4 , 3-)

מקסימום – (1 , 0)

נרכז את הנתונים הידועים לנו:

תחום הגדרה: x ≠ -6 , x ≠ -2

אסימפטוטה אופקית: y = 0

אסימפטוטה אנכית: x = -6,  x = -2

נקודות קיצון:

מינימום – (4 , 3-)

מקסימום – (1 , 0)

לכן סקיצה של הפונקציה תהיה:

\

בסעיף ב 3 מצאנו תחומי חיוביות ושליליות של הנגזרת, לכן גם של g(x). נשתמש במידע זה כדי לבחור את הסקיצה המתאימה.

המידע מסעיף ב 3:

הסקיצה היחידה בה תחומי החיוביות והשליליות תואמים את הטבלה היא סקיצה IV , לכן זו התשובה.

כאשר מכפלת שני איברים שווה ל 0 זה אומר שכל אחד מיהם יכול להיות שווה 0.

x – 1) (x + 4) = 0)

אז יש שתי אפשרויות פתרון:
x – 1 = 0   או   x + 4 = 0

משרטטים על פי התנאים הבאים:

חיתוך עם ציר x:

(0 , 1-) , (0 , 0.5)

חיתוך עם ציר y:

(1- , 0)

מקסימום: (0 , 1-)

מינימום: (1- , 0)

הורדת הפונקציה למטה מוסיפה לשטח שחושב בסעיף ד מלבן.
נסו לשרטט את ההורדה ולזהות את המלבן.

סעיף א

חיתוך עם ציר x:

(0 , 1-) , (0 , 0.5)

חיתוך עם ציר y:

(1- , 0)

סעיף ב

מקסימום: (0 , 1-)

מינימום: (1- , 0)

סעיף ג

סעיף ד

השטח הכלוא בין הגרף והצירים ברביע השלישי הוא 0.5.

סעיף ה

S גדול מהשטח שחישבתי בסעיף ד’ ב- 4 יחידות.

f(x) = (x² + 2x + 1) * (2x – 1)

מציאת חיתוך עם ציר x:

נשווה את הפונקציה ל-0:

(x² + 2x + 1) * (2x – 1) = 0

מהמשוואה הזאת יוצאות שתי משוואות:

x² + 2x + 1 = 0

2x – 1 = 0

פתרון הראשונה:

x² + 2x + 1 = 0

(x + 1)² = 0

x + 1 = 0

x = -1

פתרון המשוואה השנייה:

2x – 1 = 0  / + 1

2x = 1    / : 2

x = 0.5

לכן חיתוך עם ציר x:

(0 , 1-) , (0 , 0.5)

מציאת חיתוך עם ציר y:

נציב x = 0:

f(x) = (x² + 2x + 1) * (2x – 1)

f(0) = (0² + 2 * 0 + 1) * (2 * 0 – 1) = 1 * (-1) = -1

לכן חיתוך עם ציר y:

(1- , 0)

תשובה סופית:

חיתוך עם ציר x:

(0 , 1-) , (0 , 0.5)

חיתוך עם ציר y:

(1- , 0)

נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0 כדי למצוא את נקודות הקיצון.

הנגזרת היא נגזרת מכפלה:

f(x) = (x² + 2x + 1) * (2x – 1)

f ‘ (x) = (2x + 2) * (2x – 1) + (x² + 2x + 1) * 2

f ‘ (x) = 4x² – 2x + 4x -2 + 2x² + 4x + 2 = 6x² + 6x

6x² + 6x = 0

6x(x + 1) = 0

x₁ = 0 , x₂ = -1

נציב את הנתונים בטבלה:

f ‘ (x) = 6x² + 6x

f ‘ (-2) = 6 * (-2)² + 6 * (-2) = 6 * 4 – 12 = 24 – 12 = 12 > 0

f ‘ (-0.5) = 6 * (-0.5)² + 6 * (-0.5) = 6 * (-0.25) – 3 = -1.5 – 3 = -4.5 < 0

f ‘ (1) = 6 * 1² + 6 * 1 = 6 + 6 = 12 > 0

לשתי הערכי x של נקודות הקיצון מצאנו את ערכי y בסעיף א, לכן נקודות הקיצון הן:

מקסימום: (0 , 1-)

מינימום: (1- , 0)

נאסוף את הנתונים שמצאנו עד כה:

חיתוך עם ציר x:

(0 , 1-) , (0 , 0.5)

חיתוך עם ציר y:

(1- , 0)

מקסימום: (0 , 1-)

מינימום: (1- , 0)

השטח הדרוש:

למציאת השטח נחשב אינטגרל מסוים בין נקודת החיתוך לציר x לנקודת החיתוך עם ציר y.

יש לשים לב כי בגלל שהפונקציה היא שלילית בתחום זה, האינטגרל יצא שלילי ולכן גודל השטח הוא הערך המוחלט של האינטגרל.

לצורך ביצוע האינטגרל נפשט את הפונקציה:

f(x) = (x² + 2x + 1) * (2x – 1)
2x³ – x² + 4x² – 2x + 2x – 1 =
2x³ + 3x² – 1

= | (0.5 * 0⁴ + 0³ – 0 – (0.5 * (-1)⁴ + (-1)³ – (-1) ) | =
| 0 – (0.5 – 1 + 1) | =
| -0.5 | = 0.5

השטח הכלוא בין הגרף והצירים ברביע השלישי הוא 0.5.

בסעיף זה, הפונקציה g(x) זהה לפונקציה f(x), למעט העובדה שהיא מוזזת 4 יחידות למטה בציר x.

כדי להבין כמה גדול S מהשטח שחישבנו בסעיף ד,  נשרטט סקיצה של g(x) והשטח S:

השטח המקווקו הוא השטח שחישבנו בסעיף הקודם.
s₁ הוא השטח שנוסף בעקבות ההזזה.

s₁  הוא מלבן שאורך צלע אחת שלו היא 4.
וצלע שנייה שלו היא 1(הערך המוחלט של ערך x של נק’ החיתוך עם ציר x). לכן:

S1 = 4 * 1 = 4

תשובה סופית:

S גדול מהשטח שחישבתי בסעיף ד’ ב- 4 יחידות.

הערה לגבי הקווים בשרטוט שלמעלה:

הקו המקווקו האדום – קו העובר דרך נק’ המקסימום של g(x) ומקביל לציר x

הקו המקווקו השחור- אנך לציר x מנק’ המקסימום של g(x)

עבור משולש ΔAOC:

• נביע את הנקודה C באמצעות t על ידי הצבת t בפונקציה.
• גובה המשולש הוא ערך ה x של C.
• בסיס המשולש הוא ערך ה y של A.

בצורה דומה נחשב את שטח המשולש השני.

נחבר את שטחי המשולשים וזו הפונקציה המתארת את השטח המבוקש.
נמצא לפונקציה זו מקסימום.

סעיף א

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≤ 3.

סעיף ב

S_AOC = 3t

סעיף ג1

לכן עבור t = 2.25 הפונקציה מקבלת מקסימום, וסכום שטחי המשולשים הוא מקסימלי.

סעיף ג2

לכן סכום שטחי המשולשים המקסימלי הוא 11.25

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא שהביטוי בתוך השורש צריך להיות אי-שלילי:

9 – 3x ≥ 0   / + 3x

9 ≥ 3x    / : 3

x ≤ 3

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≤ 3.

דרך הפתרון

• נביע את הנקודה C באמצעות t על ידי הצבת t בפונקציה.
• גובה המשולש הוא ערך ה x של C.
• בסיס המשולש הוא ערך ה y של A.

פתרון

נתחיל עם שטח ΔAOC:

נשרטט סקיצה של הפונקציה והמשולש שאת שטחו אנו מחפשים. בנוסף נבנה בניית עזר: CD הוא גובה לצלע AO במשולש ΔAOC:

לפי נוסחת שטח משולש:

S = 0.5 * AO * CD

1.מציאת AO:

בגלל ש-AO הוא ציר y, אורכו הוא ההפרש בין ערכי ה-y של שתי הנקודות.

למציאת ערך y של נקודה A נציב בפונקציה x = 0:

f(0) = 2 * √9 = 2 * 3 = 6

לכן המרחק מהנקודה O (ראשית הצירים) הוא:

AD = Y_A – Y_O = 6 – 0 = 6

2.מציאת CD:

בגלל ש-CD הוא מקביל לציר x (מאונך לציר y), אז אורכו הוא הפרש ערכי ה-x של שתי הנקודות C,D.

X_D = 0 בגלל שהיא על ציר Y

X_C = t סימון שנתון לנו

CD = t – 0 = t

3.ביטוי שטח המשולש:

S_AOC = 0.5 * AO * CD = 0.5 * 6 * t = 3t

כך נראות הנקודות והמשולש בשרטוט:

כעת נמצא את שטח המשולש ΔBOC.

נבנה בניית עזר- CE הוא גובה לצלע BO במשולש ΔBOC

נוסחת שטח המשולש:

S_BOC = 0.5 * CE * OB

1.מציאת אורך OB:

מכיוון ש-OB היא על ציר x, אורך הצלע הוא ההפרש בין ערכי x של שתי הנקודות.

למציאת ערך x של B נשווה את הפונקציה ל-0

9 – 3x = 0   / + 3x

9 = 3x   / : 3

x = 3

OB = x_B – x_O = 3 – 0 = 3

2.מציאת אורך CE

מכיוון ש-CE מקביל לציר (מאונך לציר x), אורך הצלע הוא ההפרש בין ערכי y של שתי הנקודות.

y_E = 0 בגלל שהוא על ציר x.

למציאת ערך y של C נציב x = t בפונקציה:

לכן האורך של CE הוא :

נציב את הערכים שמצאנו נוסחת שטח המשולש:

תשובה סופית:

S_AOC = 3t

כך נראה המשולש וערכי הנקודות:

נגדיר פונקציה חדשה, g(t) שהיא סכום שטחי המשולשים:

למציאת הסכום המקסימלי נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:

9 – 3t = 2.25    / + 3t – 2.25

3t = 6.75    / : 3

t = 2.25

זו הנקודה החשודה כקיצון.
נבדוק בסביבת הנקודה.

עבור t = 0

עבור t = 2.5

לכן עבור t = 2.25 הפונקציה מקבלת מקסימום, וסכום שטחי המשולשים הוא מקסימלי.

למציאת הסכום המקסימלי, נציב את ערך t שמצאנו בסעיף הקודם בפונקציה g(t) שהיא סכום שטחי המשולשים:

לכן סכום שטחי המשולשים המקסימלי הוא 11.25