פתרון בגרות 482 חורף 2023

סעיף א

יעל הלכה 22 מטרים בדקה ה55 .

סעיף ב 1

יעל הלכה 56 דקות מתחילת המסלול ועוד סופו.

סעיף ב 2

יעל הלכה בדקה האחרונה 20 מטרים.

סעיף ג

שירה הלכה בכל דקה 75 מטרים.

סעיף ד

הן נפגשו בפעם הראשונה לאחר 6 דקות.

1.נזהה את סוג הסדרה חשבונית או הנדסית.

2.עלינו למצוא את האיבר שבמקום ה 55 לכן נציב בנוסחת האיבר הכללי.

a_n = a₁ + (n – 1) • d

מדובר בסדרה חשבונית משום שבכל דקה קטן המרחק שהיא הלכה ב 2 מטר.

s_n = 4,200

a₁ = 130

d = -2

a_n = a₁ + (n – 1) • d

2- • (1 – a₅₅ = 130 + (55

a₅₅ = 22

יעל הלכה 22 מטרים בדקה ה55 .

1.נתון לנו סכום הסדרה לכן נציב בנוסחת הסכום.

2.בסדרה זו האיברים הם המרחקים שהן הלכו בכל דקה.

ומספר דקות ההליכה הוא מספר האיברים ( n )

על מנת לחשב כמה דקות היא הלכה נצטרך למצוא מהו ה-n שעבורו s_n = 4,200

נבנה משוואה בעזרת הנוסחה לסכום סדרה חשבונית:

נפתור בעזרת מחשבון ונקבל:

n = 75 או   n = 56

האפשרות n = 75 נפסלת כי בדקה הראשונה היא הלכה 130 מטר.

ואם נוריד 74 * 2 מהמרחק שהלכה בדקה הראשונה נקבל שהמרחק שהיא הלכה בדקה האחרונה שלילי.

לכן n = 56.

יעל הלכה 56 דקות מתחילת המסלול ועוד סופו.

a₅₆ = ?

a₁ = 130

d = -2

n = 56

נציב בנוסחה למציאת איבר בסדרה חשבונית:

a_n = a₁ + (n – 1) • d

a₅₆ = 130 + (56 – 1) • (-2)

a₅₆ = 20

יעל הלכה בדקה האחרונה 20 מטרים.

נתון ששירה הלכה בכל דקה מרחק קבוע ושהן הגיעו לסוף המסלול באותו זמן.

שירה הלכה 4,200 מטרים במשך 56 דקות

4,200 : 56 = 75

לכן שירה הלכה בכל דקה 75 מטרים.

נחשב את המרחק שכל אחת מיהן הלכה בנפרד ואז נשווה בין המרחקים.

נגדיר:

n הזמן בדקות שעבר מהרגע שיעל יצאה לדרך ועד שפגשה בשירה.

n + 4 הזמן ששירה הלכה עד הפגישה כי היא יצאה 4 דקות לפני יעל.

בסעיף הקודם מצאנו ששירה הולכת 75 מטרים בכל דקה ולכן היא הלכה:

 75 • (n + 4) = 75n + 300

נחשב כמה יעל הלכה בעזרת נוסחה לסכום סדרה חשבונית:

נשווה בין המרחקים על מנת לבדוק מתי הן נפגשו:

75n + 300 = – n² +131n

n² – 56n + 300 = 0

נפתור בעזרת מחשבון:

n = 6  או n = 50

ולכן הן נפגשו בפעם הראשונה לאחר 6 דקות.

סעיף א

AC = 2a

סעיף ב

הזווית בין האלכסון ‘AC לבין בסיס התיבה ABCD היא 36.87°.

סעיף ג

a = 6

סעיף ד

נפח הפירמידה:

54 √ 3

סעיף ה 1

הטענה לא נכונה.

סעיף ה 2

הטענה נכונה.

ABCD הוא מלבן

ABC הוא משולש ישר זווית.

נמצא את AC בעזרת פיתגורס.

a² + (√3 • a)²  =  AC²

a² + 3a² = AC²

4a² = AC² / √

AC = 2a

מבקשים שנחשב את “גודל הזווית שבין אלכסון התיבה, AC ,ובין הבסיס ABCD “

מדובר בזווית השייכת למשולש ישר זווית שבו אנו יודעים שתי צלעות ולכן ניתן לחשב אותה.

נמצא את הזווית באמצעות tan במשולש ישר זווית ‘ACC:

הזווית בין האלכסון ‘AC לבין בסיס התיבה ABCD היא 36.87°.

שטח מעטפת של התיבה:

 2 • CC’ • (AB + BC) =

2 • 1.5a • (a + √3a)

ונתון ששטח המעטפת הוא:

 108 • (1 + √3)

נשווה ביניהם:

2 • 1.5a • (a + √3a) =  108 • (1 + √3)

 3a² •(1 + √3) = 108 • (1 + √3) / : 3 •(1 + √3)

 a² = 36

a = -6 נפסל

a = 6

נחשב את גובה הפירמידה באמצעות tan במשולש AFO:

אם נוציא את המשולש מהסרטוט הגדול הוא יראה כך:

שטח הבסיס ABCD הוא:

6 • √3 • 6 = 36 √3

נפח הפירמידה:

( 36 √3 • 4.5 ) : 3 = 54 √ 3

על מנת לחשב את נפח הפירמידה OAA’D’D נוריד גובה לAA’D’D ונסמן אותו בh, אורך הגובה יהיה בדיוק חצי מאורך התיבה

הנפחים של הפירמידות שווים לכן הטענה לא נכונה.

הטענה נכונה.

נסתכל על הסרטוט ונראה כי מדובר בזווית ACD, נסתכל במשולש ACD ונראה כי הניצב AD שמול הזווית שווה למחצית מהיתר AC

ולכן זווית ACD היא 30º.

סעיף א

גרף 1 מתאר את גרף הפונקציה f (x), גרף 2 מתאר את גרף הנגזרת f ‘ (x).

סעיף ב

נקודות הקיצון הן:

(0 , -0.5) max

(0.33π , -0.75) min

(π , 1.5) max

(1.5π , -0.5) min

סעיף ג

  -0.5 < k < 1.5

-0.75 < k < -0.5

סעיף ד

השטח הכלוא על ידי גרף פונקציית הנגזרת f ‘ (x) ועל ידי ציר ה-x הוא 2.5.

התכונה העיקרית שבעזרתה מבדילים בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת היא שכאשר הנגזרת חותכת את ציר ה x לפונקציה יש נקודת קיצון.

כי כאשר הנגזרת חותכת את ציר ה x הפונקציה עוברת בין עלייה / ירידה.

גרף 1 מתאר את גרף הפונקציה f (x), גרף 2 מתאר את גרף הנגזרת f ‘ (x).

בכל פונקציה ובמיוחד בפונקציה טריגונומטרית צריך לשים לב האם יש נקודות קיצון בקצוות.

f (x) = 0.5cos(2x) – cos(x)

נגזור את הפונקציה:

f ‘ (x) = -sin(2x) + sin(x)

נשווה ל-0 על מנת למצוא נקודות קיצון:

0 = -sin(2x) + sin(x)

נשתמש בזהות (sin(2x) = 2sin(x)cos(x:

0 = -2sin(x)cos(x) + sin(x)

sin(x)[-2cos(x) + 1] = 0

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

sin(x) = 0

x = 0 + 2πK

x = π + πk

x = 0

x = π

לפי תחום ההגדרה.

-2cos(x) + 1 = 0

-2cos(x) = -1 /: -2

cos(x) = 0.5

x = 0.33π + 2πk

x = -0.33π + 2πK

x = 0.33π

לפי תחום ההגדרה.

הנקודות החשודות לקיצון הן:

x = 0, 0.33π, π, 1.5π

נציב בנגזרת באמצעות המחשבון:

f ‘ (0.2π) = -0.36

f ‘ (0.5π) = 1

f ‘ (1.3π) = -1.76

נמצא את ערך ה-y של נקודות הקיצון בעזרת הצבת ערך ה-x בפונקציה המקורית:

f (0) = 0.5cos(2•0) – cos(0) = -0.5

f (0.33π) = 0.5cos(2•0.33π) – cos(0.33π) = -0.75

f (π) = 0.5cos(2•π) – cos(π) = 1.5

f (1.5π) = 0.5cos(2•1.5π) – cos(1.5π) = -0.5

נקודות הקיצון הן:

(0 , -0.5) max

(0.33π , -0.75) min

(π , 1.5) max

(1.5π , -0.5) min

ניתן לראות בגרף שלישר y = k ולגרף הפונקציה f (x) יהיו שתי נקודות משותפות בשני תחומים, אחד בין המקסימום בקצה התחום לבין נקודת המינימום הפנימית ותחום נוסף בין נקודת המינימום בקצה התחום לבין נקודת המקסימום הפנימית ולכן:

  -0.5 < k < 1.5

-0.75 < k < -0.5

יש שטח אחד מעל ציר ה x ושטח אחר מתחת לציר ה x.

יש לחשב כל אחד מיהם בנפרד.

על מנת לחשב את השטח הכלוא על ידי גרף פונקציית הנגזרת f ‘ (x) ועל ידי ציר ה-x נצטרך להפריד לשני שטחים:

השטח הכלוא על ידי גרף פונקציית הנגזרת f ‘ (x) ועל ידי ציר ה-x הוא 2.5.

סעיף א 1

תחום ההגדרה:

x ≠ – √2 , √2

סעיף א 2

x = – √2 , √2

סעיף ב

(0 , -0.5)

סעיף ג

min (2 , 0.5e⁴) ,  max (-1 , -e^-2)

סעיף ד

סעיף ה

c = 3 + e^-2

c = 3 – 0.5e⁴

הפונקציה לא מוגדרת כאשר המכנה שווה 0.

x² – 2 ≠ 0

x² ≠ 2 / √

תחום ההגדרה:

x ≠ – √2 , √2

x = – √2 , √2 הן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה f (x)

משום שהן מאפסות את המכנה אך לא מאפסות את המונה.

נציב x = 0 על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה-y:

נקודת החיתוך עם ציר ה-y:

 (0 , -0.5)

נציב y = 0 על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

ולכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה-x.

נגזור את הפונקציה ולאחר מכן נשווה את הנגזרת ל-0 (שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0 ולכן נשווה רק את מונה הנגזרת ל-0)

על מנת למצוא את ה-x החשודים לקיצון:

ה-x החשודים לקיצון הם: x = -1 , 2

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-2) = 0.15

f ‘ (-1.2) = 0.12

f ‘ (0) = -4

f ‘ (1.5) = -50.21

f ‘ (3) = 3227.43

נמצא את ערכי ה-y של נקודות הקיצון ע”י הצבת ערכי ה-x בפונקציה:

 max (-1 , -e^-2)

min (2 , 0.5e⁴)

נקודות הקיצון הן:

min (2 , 0.5e⁴) ,  max (-1 , -e^-2)

על מנת שלפונקציה g (x) = f (x) + c תהיה נקודת קיצון על הישר y = 3 נצטרך להוסיף לערכי ה-y של נקודות הקיצון עד שיגיעו ל y = 3:

אם נסתכל על ערך ה-y שלה של נקודת המקסימום שהוא ^2-e- נחשב כמה צריך להוסיף על מנת להגיע לy =3:

3 – (-e^-2) = 3 + e^-2

ולכן:

c = 3 + e^-2

כעת אם נסתכל על ערך ה-y שלה של נקודת המינימום שהוא 0.5e⁴ נחשב כמה צריך להוסיף על מנת להגיע ל y =3:

3 – 0.5e⁴

ולכן במקרה זה:

c = 3 – 0.5e⁴

סעיף א

a = 4

סעיף ב

x > 0

סעיף ג

(e , 0)

סעיף ד

(e² , -1) min

סעיף ה

סעיף ו

x = e מינימום

x = e³ מקסימום

נזכור כי:

ln e³  = 3

על פי הכלל:

ln e^x  = x

(ln e³)² – a • lne³ + 3 = 0

9 – 3a + 3 = 0

12 = 3a

4 = a

לא נכון

f (x) = (lnx)² – a • lnx + 3

על מנת למצוא את הפרמטר a נציב את הנקודה (e³ , 0) במשוואת הפונקציה.

0 = (ln•e³)² – a • lne³ + 3

 a • lne³ = 3 + (ln•e³)² / :lne³

a = 4

f (x) = (lnx)² – 4 • lnx + 3

תחום ההגדרה:

x > 0

נשווה את הפונקציה ל-0:

 (lnx)² – 4 • lnx + 3 = 0

נפתור בעזרת משתנה t:

t = lnx

 t² – 4t + 3 = 0

( t – 1) (t – 3) = 0

t = 3

t = 1

lnx = 3

x = e³

lnx = 1

x = e

ולכן נקודת החיתוך הנוספת עם ציר ה-x היא:

(e , 0)

נגזור את הפונקציה ולאחר מכן נשווה את הנגזרת ל-0 (שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0 ולכן נשווה רק את מונה הנגזרת ל-0)

על מנת למצוא את ה-x החשודים לקיצון:

ה-x החשוד לקיצון הוא: x = e

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (2) = -2.61

f ‘ (8) = 0.16

נציב את ה-x בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת הקיצון:

f (e²) =  (lne²)² – 4 • lne² + 3

f (e²) = -1

(e² , -1) min

נתון g ‘ (x) = – f (x)

כלומר הפכו את הפונקציה f (x)

ידוע ששיעורי ה-x של נקודות החיתוך של הנגזרת עם ציר ה-x הן שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה.

ולכן שיעורי ה-x של נקודות החיתוך עם ציר ה-x של f (x) הן שיעורי נקודות הקיצון של g (x)

כלומר: x = e , e³ 

את סוג הקיצון אנו נקבע לפי תחומי החיוביות ושליליות של f (x) אך נהפוך מכיוון שמדובר ב f (x)-

f (x) חיובית כאשר x < e , x > e³ ולכן לאחר שנהפוך את f (x) אז g (x) תרד בתחום הזה .

f (x) שלילית כאשר e < x < e³  ולכן לאחר שנהפוך את f (x) אז g (x) תעלה בתחום הזה .

ולכן:

x = e מינימום

x = e³ מקסימום