פתרון בגרות 382 קיץ 2024

סעיף א

1400

סעיף ב

3080

סעיף ג

154

במחיר חבילת הנופש כלול המחיר של הלינה ושל הטיסה.

נתון שמחיר של חבילה הוא 3290 ש”ח, ושמחיר הלינה גבוה ב-35% ממחיר הטיסה.

לכן מחיר הלינה הוא פי 1.35 ממחיר הטיסה.

נסמן את מחיר הטיסה ב-x, אז מה שמרכיב את מחיר החבילה הוא הסכום של הלינה והטיסה:

x + 1.35 x = 3290

2.35 x = 3290

x = 1400

מצאנו את מחיר הטיסה בחבילת הנופש, והוא 1400 ש”ח.

מחיר המלון בחבילת הנופש לא משתנה בהנחה שיוסי קיבל.

נחשב אותו מהסעיף הקודם:

1.35 x = 1.35 * 1400 = 1890

אז מחיר המלון הוא 1890 ש”ח.

יוסי מקבל הנחה של 15% על מחיר הטיסה בחבילת הנופש, לכן מחיר הטיסה החדש הוא פי 0.85 מהמחיר שחישבנו בסעיף א:

0.85 x  = 1190

מחיר הטיסה לאחר ההנחה הוא 1190 ש”ח.

אז מחיר החבילה כולה לאחר ההנחה של יוסי:

1890 + 1190 = 3080

מחיר חבילת הנופש לאחר ההנחה שיוסי קיבל היא 3080 ש”ח.

נסמן את מספר החבילות שמיכאל מזמין ב-y.

נתון שיוסי הזמין 11 חבילות יותר ממיכאל, כלומר (y + 11) חבילות.

בסעיף הקודם מצאנו שיוסי משלם 3080 ש”ח לחבילה, ונתון כי מיכאל משלם 3300 ש”ח לחבילה בחברה אחרת.

אם הסכומים ששניהם שילמו שווים, מתקיים:

(y + 11) * 3080 = y * 3300

3080 y + 33800 = 3300 y

33800 = 220 y

154 = y

מצאנו את מספר החבילות שמיכאל קנה, והן 154 חבילות נופש.

סעיף א1

3

סעיף א2

y = – 0.33 + 2

סעיף ב

(6, 0)

סעיף ג

(-6 , 4)

סעיף ד

y = 3x + 22

סעיף ה

45.3∼

נתונות הנקודות:

A(4,14)

E(0,2)

אז נמצא את השיפוע AE לפי הנוסחה:

m_AE = 3

מצאנו את השיפוע של הישר AE, והוא 3.

נמצא את משוואות הישר BC.

נתון AE גובה לצלע BC, לכן: AE⊥BC .

שיפועים של ישרים מאונכים מקיימים:

m_AE * m_BC = – 1

3 * m_BC = – 1

m_BC = – 0.33

הנקודה E נמצאת על הישר BC, נשתמש בה למציאת משוואת הישר:

y – y_E = m_BC ( x – x_E)

y – 2 = – 0.33 ( x – 0)

y = – 0.33x + 2

מצאנו את משוואת הישר BC.

נמצא את הנקודה C.

C היא החיתוך של BC עם ציר האיקס, לכן נציב y = 0 במשוואה של BC שמצאנו בסעיף א2.

y = – 0.33x + 2

0 = – 0.33x + 2

0.33 x = 2

x = 6

אז מצאנו את שיעורי הנקודה C:

C (6 , 0)

נמצא את שיעורי הנקודה B.

נתון כי ABC שווה שוקיים, והישר AE גובה שלו לצלע BC.

במשולש שווה שוקיים הגובה מתלכד עם התיכון לצלע, לכן E אמצע הקטע BC.

נשתמש בנוסחה של נקודת אמצע קטע:

0 = x_B + 6

x_B = – 6

4 = y_B

מצאנו את שיעורי הנקודה B:

B (- 6, 4)

הוסיפו ישר BF מקביל לגובה AE.

לישרים מקבילים יש את אותו שיפוע, לכן השיפוע של BF הוא גם כן 3, כפי שמצאנו בסעיף א1.

הנקודה B היא על הישר BF, לכן נשתמש בנוסחה למציאת משוואת ישר:

y – y_B = m_BF ( x – x_B )

y – 4 = 3 (x + 6)

y = 3x + 22

מצאנו את משוואת הישר BF.

נמצא את היקף המשולש FBE.

את הנקודות B,E כבר מצאנו, נמצא את F ואז נשתמש בנוסחה לאורך קטע של כל צלע.

הנקודה F היא החיתוך של הישר BF עם ציר ה-y, אז נציב x = 0 במשוואת הישר מסעיף ד:

y = 3x + 22

y = 3 * 0 + 22

y = 22

אז שיעורי הנקודה F:

F ( 0, 22)

הנקודות F ו- E שתיהן על ציר ה-y, לכן אורך הקטע FE:

FE = y_F – y_E = 22 – 2 = 20

FE = 20

נמצא את BE ו-FB עם הנוסחה לאורך קטע:

BE² = (x_B – x_E )² + (y_B – y_E )²

BE² = (- 6 – 0)² + (4 – 2)²

BE² = 36 + 4 = 40

BE = √40 = 2√10

BF² = (x_B – x_F )² + (y_B – y_F )²

BF² = (- 6 – 0)² + (4 – 22)²

BF² = 36 + 324 = 360

BF = √360 = 6√10

נחבר את אורכי הצלעות לקבל ההיקף:

P_FBE = FE + BF + BE =

= 20 + 2√10 + 6√10 =

= 20 + 8√10 ≈ 45.3

מצאנו את היקף המשולש FBE, והוא בקירוב 45.3 .

סעיף א

M (0 , 12)

סעיף ב

x² + (y – 12)² = 100

סעיף ג

y_A = 18

סעיף ד1

y = 2.25x

סעיף ד2

C (3, 6.75)

סעיף ה

S_MCO = 18

נמצא את הנקודה M.

נתונה משוואת הישר MC:

y = – 1.75x + 12

M החיתוך של MC עם ציר ה-y, אז נציב במשוואה x = 0:

y_M = – 1.75 * 0 + 12 = 12

מצאנו את שיעור M:

M (0 , 12)

נתון : R = 10

מצאנו את M מרכז המעגל, אז משוואת המעגל היא:

(x – x_M)² + (y – y_M)² = R²

x² + (y – 12)² = 100

הנקודה A נמצאת על המעגל, לכן שיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המעגל:

x_A² + (y_A – 12)² = 100

נתון כי x_A = 8, וכי y_A > 12. נמצא את y_A.

64 + (y_A – 12)² = 100

(y_A – 12)² = 36

y_A – 12 = – 6

y_A = 6

נפסל כי נתון ששיעור הY של A גדול מ-12

y_A – 12 = 6

y_A = 18

מצאנו את שיעור ה-y של הנקודה A, והוא 18.

A ( 8 , 18)

נמצא את המשוואה של הישר AO.

השיפוע:

נשתמש בנקודה O למציאת המשוואה:

y – y_O = m_AE (x – x_O)

y = 2.25x

מצאנו את משוואת הישר AO.

נמצא את שיעורי הנקודה C.

C נקודת החיתוך של הישר AO שמצאנו את משוואתו בסעיף ד1, והישר MC הנתון לנו.

השוואה בין משוואות הישר תתן לנו את שיעור ה- x של החיתוך, כלומר של C.

-1.75x + 12 = 2.25x

12 = 4x

x = 3

אז שיעור ה-X של C הוא 3, שיעור ה-y:

y_C = 2.25 * x_C = 2.25 * 3 = 6.75

מצאנו את שיעורי הנקודה C:

C (3, 6.75)

נמצא את השטח של המשולש MCO.

הגובה לצלע MO הוא המרחק של C מציר ה-y, כלומר שיעור ה-x שלו:

נסמן את הגובה מקודקוד C ב-h.

h = X_C – 0 = 3

MO הוא המרחק של M מהראשית, כלומר שיעור ה-y שלו:

MO = Y_M – 0 = 12

לסיכום שטח המשולש MCO:

S_MCO = 0.5 * h * MO =

= 0.5 * 3 * 12 = 18

S_MCO = 18

מצאנו את שטח המשולש MCO, והוא 18.

סעיף א

x ≥ 0

סעיף ב

(0, – 7)

סעיף ג

max ( 6.25 , 5.5)

סעיף ד

גרף 1

סעיף ה1

2 נקודות חיתוך

סעיף ה2

k > 5.5

נתונה הפונקציה:

f(x) = 10√x – 2x – 7

תחום ההגדרה שלה יהיה כשהביטוי בתוך השורש הוא גדול/שווה לאפס:

x ≥ 0

נמצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y-

נציב x = 0:

f(0) = 10√0 – 2*0 – 7 = – 7

מצאנו את נקודת החיתוך:

(0, – 7)

נמצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה.

הנגזרת:

נמצא מתי היא מתאפסת:

√x = 2.5

x = 6.25

נבדוק את סוג הקיצון בנקודה באמצעות טבלה:

מצאנו את נקודת הקיצון הפנימית:

max ( 6.25 , 5.5)

נמצא איזה גרף מתאר את f(x).

לפונקציה שלנו יש נקודת חיתוך עם ציר y:

(0, – 7)

לכן גרפים 2,3 נפסלים.

בנוסף, מצאנו שיש לפונקציה נקודת קיצון מסוג מקסימום, לכן גרפים 3,4 נפסלים.

הגרף הנותר הוא 1, לכן הוא הגרף המתאים.

נמצא כמה נקודות חיתוך יש לישר y = 4 עם גרף הפונקציה. לפונקציה נקודת מקסימום אחת, לכן יש 3 אפשרויות לחיתוך (כמו פרבולה):

נקודה חיתוך אחת בנקודת הקיצון, 2 נקודות חיתוך מתחת לנקודת הקיצון, או שאין חיתוך בכלל והישר מעל לנקודת הקיצון.

במקרה הזה, הישר y = 4 מתחת לנקודת הקיצון, כי 4 < 5.5 לכן יש ביניהם 2 נקודות חיתוך.

נמצא עבור אלו ערכי k אין נקודות חיתוך בין הפונקציה לבין הישר y = k:

כפי שהסברנו בסעיף הקודם, אין נקודות חיתוך בין הישר לפונקציה אם הישר גבוה יותר מנקודת הקיצון מסוג מקסימום של הפונקציה.

לכן עבור k > 5.5 לא יהיו נקודות חיתוך בין הפונקציה לישר.

סעיף א1

11-

סעיף א2

y = – 11x + 54

סעיף ב

S = 60.75

השרטוט הוא של הפונקציה (הקו העבה):

f(x) = – x³ + 16x

דרך A נקודה על הפונקציה מעבירים משיק (הקו הדק). שיעור ה- x של A הוא 3.

שיפוע המשיק יהיה השיפוע של הפונקציה בנקודה A, נמצא באמצעות הנגזרת:

f ‘ (x) = – 3x² + 16

f ‘ (3) = – 3 * 3² + 16 = – 11

אז שיפוע המשיק הוא 11-.

נמצא את הנקודה A כדי למצוא את משוואת המשיק.

f (3) = – 3³ + 16 * 3 = 21

A (3, 21)

אז משוואת המשיק:

y – y_A = m ( x – x_A )

y – 21 = – 11 (x – 3)

y = -11x + 33 + 21

y = – 11x + 54

מצאנו את משוואת המשיק.

נחשב את השטח המסומן בכחול באמצעות אינטגרל.

מדובר בשטח הכלוא בין 2 פונקציות, לכן נבצע את האינטגרל על ההפרש ביניהן.

במקרה שלנו המשיק מעל הפונקציה בכל התחום של השטח, לכן החיסור יהיה בין המשיק לבין הפונקציה.

גבולות האינטגרל יהיו בין ציר ה-y, כלומר x = 0

ועד x_A כלומר עד x = 3.

מצאנו את השטח הכלוא בין המשיק והפונקציה:

S = 60.75

סעיף א

50 – x

78 – x

סעיף ב

x = 32

סעיף ג

S = 2048

אורך צלעות המלבן המקווקוו הן אורכי הצלעות הנתונים לנו בחיסור x:

הצלע הקצרה:

50 – x

הצלע הארוכה:

78 – x

נמצא x עבורו סכום השטחים המקווקווים מינימלי.

שטח הריבוע הוא x²  ,

ושטח המלבן הוא

(50 – x)(78 – x)

נגדיר פונקציה של סכום השטחים:

S(x) = x² + (50 – x)(78 – x) =

= x² + x² – 128x + 3900 =

= 2x² – 128x + 3900

נגזור ונמצא מתי השטחים מינימליים:

S ‘ (x) = 4x – 128

S ‘ (x) = 0

4x – 128 = 0

4x = 128

x = 32

נבדוק באמצעות טבלה שהערך מינימלי:

S ‘ (x) = 4 * 10 – 128 = – 88 = (-)

S ‘ (x) = 4 * 40 – 128 = 32 = (+)

אז עבור x = 32 סכום השטחים מינימלי.

סכום השטחים הלבנים יהיה ההפרש בין שטח המלבן כולו, לבין שטח החלקים המקווקווים המינימלי.

שטח המלבן כולו-

50 * 78 = 3900

שטח החלקים המקווקווים עבור x = 32:

S (x) = = 2x² – 128x + 3900

S (32) = = 2*(32)² – 128*32 + 3900 = 1852

אז סכום השטחים הלבנים:

S = 3900 – 1852

S = 2048

סכום השטחים הלבנים הוא 2048.